高中数学竞赛讲义+完美数学高考指导(二)

1、高中数学竞赛讲义高中数学竞赛讲义 + +完美数学高考指导完美数学高考指导 ( (二二) ) 高中数学竞赛讲义（十）高中数学竞赛讲义（十） 直线与圆的方程直线与圆的方程 一、基础知识一、基础知识 1解析几何的研究对象是曲线与方程。 解析法的实质是用代数的方法研究几何.首先是通过映射建立曲线与方程的 关系，即如果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间存在一一映射，则方程叫做这条曲线的方程，这条曲 线叫做方程的曲线。如 x22=1 是以原点为圆心的单位圆的方程。 2求曲线方程的一般步骤：(1)建立适当的直角坐标系；(2)写出满足条件的点的集合；(3)用坐标表示条件，列出 方程；(4)化简方程并

2、确定未知数的取值范围；（5）证明适合方程的解的对应点都在曲线上，且曲线上对应点都满足方 程（实际应用常省略这一步）。 3直线的倾斜角和斜率：直线向上的方向与x 轴正方向所成的小于 1800的正角，叫做它的倾斜角。规定平行于x 轴的直线的倾斜角为 00，倾斜角的正切值（如果存在的话）叫做该直线的斜率。根据直线上一点及斜率可求直线方程。 4直线方程的几种形式：（1）一般式：0；（2）点斜式： 0(0)；（3）斜截式：；（4）截距式： ；（5） 两点式：；（6）法线式方程： （其中 为法线倾斜角，为原点到直线的距离）； （7）参数式： （其中 为该直线倾斜角）， t 的几何意义是定点 P0（x0,

3、y0）到动点P（x, y）的有向线段的数量（线 段的长度前添加正负号，若P0P 方向向上则取正，否则取负）。 5到角与夹角：若直线 l1, l2的斜率分别为 k1, k2，将 l1绕它们的交点逆时针旋转到与l2重合所转过的最小正角叫 l1到 l2的角； l1与 l2所成的角中不超过 900的正角叫两者的夹角。 若记到角为 ， 夹角为 ， 则 6平行与垂直：若直线 l1与 l2的斜率分别为 k1, k2。且两者不重合，则 l12的充要条件是 k12；l1 k1k21。 7两点 P1(x1, y1)与 P2(x2, y2)间的距离公式：1P2。 =. l2的充要条件是 8点 P(x0, y0)到直

4、线 l: 0 的距离公式：。 9直线系的方程：若已知两直线的方程是l1：A111=0 与 l2：A222=0，则过 l1, l2交点的直线方程为 A111+ (A222=0； 由 l1与 l2组成的二次曲线方程为（A111）（A222）=0；与 l2平行的直线方程为 A110(). 10二元一次不等式表示的平面区域，若直线l 方程为 0. 若 B0，则0 表示的区域为 l 上方的部分，0)。其圆心为 则过点 P 的切线方程为 ，半径为。若点 P(x0, y0)为圆上一点， 14根轴：到两圆的切线长相等的点的轨迹为一条直线（或它的一部分），这条直线叫两圆的根轴。给定如下三 个不同的圆：x220,

5、 1, 2, 3. 则它们两两的根轴方程分别为(D12)(E12)(F12)=0; (D23)(E23)(F23)=0; (D31)(E31)(F31)=0。不难证明 这三条直线交于一点或者互相平行，这就是著名的蒙日定理。 二、方法与例题 1坐标系的选取：建立坐标系应讲究简单、对称，以便使方程容易化简。 例 1 在 中，900，过 A 引中线的垂线与交于点E，求证：。 证明见图 10-1，以 A 为原点，所在直线为 x 轴，建立直角坐标系。设点B，C 坐标分别为（0,2a）,(2a,0)， 则点 D 坐标为（a, 0）。直线方程为，直线方程为 2a，设直线和的斜率分别为k1, k2，则k12。

6、 因为，所以 k1k21.所以，所以直线方程为，由解得点 E 坐标为。 所以直线斜率为 0 因为 k13=0. 所以180 ，即。 例 2半径等于某个正三角形高的圆在这个三角形的一条边上滚动。证明：三角形另两条边截圆所得的弧所对的 0 圆心角为 60 。 证明以 A 为原点，平行于正三角形的边的直线为x 轴，建立直角坐标系见图10-2，设D 的半径等于边上的 高， 并且在 B 能上能下滚动到某位置时与， 的交点分别为 E， F， 设半径为 r， 则直线， 的方程分别为 设D 的方程为() .设点 E，F 的坐标分别为(x11),(x22)，则 222 ,. ，分别代入并消去 y 得 所以 x1

7、, x2是方程 4x2-222=0 的两根。 由韦达定理 2 ，所以 =(x12)2+(y12)2=(x12)2+3(x12)2 =4(x12)2-4x1x22-(m22)2. 2 / 56 所以。所以600。 2到角公式的使用。 例 3 设双曲线 1 的两支为 C1，C2，正 三顶点在此双曲线上，求证：P，Q，R 不可能在双曲线的同一支上。 证明假设 P，Q，R 在同一支上，不妨设在右侧一支 C1上，并设 P，Q，R 三点的坐标分别为 且 0x1x2-1，在（1）区域里，求函数 f()的最大值、最小值。 3 / 56 解 （1）由已知得或 解得点(x, y)所在的平面区域如图 10-4 所示

8、，其中各直线方程如图所示。：25；：21；：1；：4. (2) f(x, y)是直线 l: 在 y 轴上的截距，直线l 与阴影相交，因为a-1，所以它过顶点C 时，f(x, y)最大，C 点坐标为 （-3，7），于是 f(x, y)的最大值为 37. 如果-12， 则 l 通过 B（3，1）时，f(x, y)取最小值为-31. 6参数方程的应用。 例 7 如图 10-5 所示，过原点引直线交圆x2+(1)2=1 于 Q 点，在该直线上取P 点，使 P 到直线 2 的距离等于，求 P 点的轨迹方程。 解 设直线的参数方程为（t 参数）。 代入已知圆的方程得 t2?2 =0. 所以 0 或 2 。

9、所以 2 |，而. 所以 2 |，而 2 |. 所以 2 2 |. 化简得 2 或 2 或 1. 22 当2 时，轨迹方程为 x =4；当 =1 时，轨迹方程为 0. 7与圆有关的问题。 例 8点 A，B，C 依次在直线 l 上，且，过 C 作 l 的垂线，M 是这条垂线上的动点，以 A 为圆心，为半径作圆，1 与 2 是这个圆的切线，确定 1T2 垂心 的轨迹。 解见图 10-6，以 A 为原点，直线为 x 轴建立坐标系，H 为与圆的交点，N 为 T1T2与的交点，记 1。 以 A 为圆心的圆方程为 x =16，连结 1，2。因为2 又因为T ，1，所以 22 2，T12，所以21，同理12

10、，又12，所以12 是菱形。所以 2。 121 。设点 H 坐标为（）。 点 M 坐标为(5, b)，则点 N 坐标为，将坐标代入，再由得 在上取点 K，使，所求轨迹是以 K 为圆心，为半径的圆。 例 9 已知圆 x22=1 和直线 2 相交于 A，B，且，与x 轴正方向所成的角是 和 ，见图 10-7，求证：( + )是定 值。 证明 过 D 作于 D。则直线的倾斜角为，因为，所以 2?, 所以。所以 例 10已知O 是单位圆，正方形的一边是O 的弦，试确定的最大值、最小值。 4 / 56 解 以单位圆的圆心为原点，的中垂线为x 轴建立直角坐标系，设点A，B 的坐标分别为 A( )( )，由

11、题设 2 ，这里不妨设 A 在 x 轴上方，则 (0, ).由对称性可设点 D 在点 A 的右侧（否则将整个图形关于 y 轴作对称即 可），从而点 D 坐标为( +2 )， 所以 = 因为，所以 当时，1；当时， 例 11 当 m 变化且 m0 时，求证：圆(21)2+(1)2=4m2的圆心在一条定直线上，并求这一系列圆的公切线的方程。 证明由消去 m 得 21=0.故这些圆的圆心在直线21=0 上。设公切线方程为，则由相切有 2，对一切 m0 成立。即(-43)m2+2(21)(1)(1)2=0 对一切 m0 成立 所以即当 k 不存在时直线为 1。所以公切线方程和 1. 三、基础训练题 1

12、已知两点 A(-3,4)和 B(3,2)，过点 P(21)的直线与线段有公共点，则该直线的倾斜角的取值范围是. 2已知 0, ，则的取值范围是. 3三条直线 236=0, 2, 32=0 围成一个三角形，当点P(x, y)在此三角形边上或内部运动时，2 的取值范围是. 4若三条直线 44, 0, 234 能围成三角形，则 m 的范围是. 5若 R。直线(2+ )(1+ )2(3+2 )=0 与点 P(-2,2)的距离为 d，比较大小：. 6一圆经过 A(4,2), B(-1,3)两点，且在两个坐标轴上的 四个截距的和为 14，则此圆的方程为. 7自点 A(-3,3)发出的光线 l 射到 x 轴

13、上被 x 轴反射，其反射光线所在的直线与圆C：x22-447=0 相切，则光线l 所 在的方程为. 8D2=4F 且 E0 是圆 x220 与 x 轴相切的条件. 9方程 1= 为. 11已知函数，变量 x, y 满足条件 y2-2x0 和 22，试求 S 的最大值和最小值。 12A，B 是 x 轴正半轴上两点，(a0()|(1) +( 2 ) 0 22 ，a 的最大值与最小值的和是. ，则.6圆 x 60 与直线 23=0 交于 P，Q 两点，O 为原点， 22 7已知对于圆 x +(1) =1 上任意一点 P()，使0 恒成立，m 范围是. 22 8当 a 为不等于 1 的任何实数时，圆

14、x -2 +2(2)2=0 均与直线 l 相切，则直线 l 的方程为. 22 9在 中，三个内角 A，B，C 所对应的边分别为，若, 成等差数列，那么直线 与直线 的位置关系是. 10 设 ()|0 x 2,0 y 2() 10 2 4 是 坐 标 平 面 上 的 点 集 ， 所围成图形的面积是. 11求圆 C1：x22+269=0 与圆 C2：x22-621=0 的公切线方程。 12设集合直线 l 与直线 2x 相交，且以交点的横坐标为斜率。 （1）点(-2,2)到 L 中的哪条直线的距离最小？ （2）设 a，点 P(-2, a)到 L 中的直线的距离的最小值设为，求的表达式。 13已知圆C

15、：x22-680 和 x 轴交于原点 O 和定点 A，点B 是动点，且900，交C 于 M，交C 于 N。求的中点 P 的轨迹。 五、联赛一试水平训练题五、联赛一试水平训练题 1在直角坐标系中纵横坐标都是有理数的点称为有理点。若a 为无理数，过点(a,0)的所有直线中，每条直线上至 少存在两个有理点的直线有条。 2等腰 的底边在直线 0 上，顶点 A(2,3)，如果它的一腰平行于直线42=0，则另一腰所在的直线方程为. 3若方程 22+(82)42+(6)(34)3=0表示表示条互相垂直的直线，则. 4直线 75=0 分圆 x22=1 所成的两部分弧长之差的绝对值是. 5直线 1 与曲线有交点

16、，则 k 的取值范围是. 6经过点 A(0,5)且与直线 20, 20 都相切的圆方程为. 7在直角坐标平面上，同时满足条件：y3x, yx, 100 的整点个数是. 8平面上的整点到直线 2 的距离中的最小值是. 9(10 )的定义域为 R，直线()+10 的倾斜角为. 10已知 f(x) -65，满足 2 的点()构成图形的面积为. 11已知在 边上作匀速运动的点 D，E，F，在 0 时分别从 A，B，C 出发，各以一定速度向B，C，A 前进，当时刻 1 时，分别到达 B，C，A。 （1）证明：运动过程中 的重心不变； 6 / 56 （2）当 面积取得最小值时，其值是 面积的多少倍？ 22

17、 12已知矩形，点 C(4,4)，点 A 在圆 O：x =9(x00)上移动，且，两边始终分别平行于x 轴、y 轴。求矩形面积 的最小值，以及取得最小值时点A 的坐标。 22 13已知直线l: 和圆 C：x +20 相交于不同两点 A，B，点P 在直线 l 上，且满足2,当 b 变化时，求点P 的轨迹方 程。 六、联赛二试水平训练题六、联赛二试水平训练题 22 1设点 P()为曲线|5520 上任意一点，求 x 的最大值、最小值。 2给定矩形（长为 b，宽为 a），矩形（长为 c、宽为 d），其中 adc1F22c). 第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数 e(

18、0e1)的点的轨迹（其中定点不 在定直线上），即 (0eb0)， 参数方程为（为参数）。 若焦点在 y 轴上，列标准方程为 7 / 56 (ab0)。 3椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆 ， a 称半长轴长，b 称半短轴长，c 称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(a, 0), (0, b), ( c, 0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为，与右焦点对应的准线为；定义中的比 e 称为离心率，且，由 c222知 0eb0), F1(, 0), F2(c, 0)是它的两焦点。 若 P(x, y)是椭圆上的任意一点， 则 1,2. 5几个常用结论：

19、1）过椭圆上一点 P(x0, y0)的切线方程为 ； 2）斜率为 k 的切线方程为 3）过焦点 F2(c, 0)倾斜角为的弦的长为 ； 。 6双曲线的定义，第一定义： 满足 122a(2a0)的点 P 的轨迹； 第二定义：到定点的距离与到定直线距离之比为常数e(1)的点的轨迹。 7双曲线的方程：中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线方程为 ， 参数方程为（为参数）。 焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为 。 8双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线 (a, b0), 8 / 56 a 称半实轴长，b 称为半虚轴长，c 为半焦距，实轴的两个端点为(, 0), (a, 0). 左、右焦点

20、为 F1(,0), F2(c, 0)，对应的 左、右准线方程分别为离心率，由 a222知 e1。两条渐近线方程为，双曲线 与有相同的渐近线，它们的四个焦点在同一个圆上。若，则称为等轴双曲线。 9双曲线的常用结论，1）焦半径公式，对于双曲线 曲线上的任一点，若P 在右支上，则 1,2；若 P（）在左支上，则1，2. ，F1（,0）, F2(c, 0)是它的两个焦点。设P()是双 2) 过焦点的倾斜角为 的弦长是。 10抛物线：平面内与一个定点F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫焦点，直线l 叫做抛 物线的准线。若取经过焦点 F 且垂直于准线 l 的直线为 x 轴，x 轴

21、与 l 相交于 K，以线段的垂直平分线为 y 轴，建立直 角坐标系，设，则焦点 F 坐标为，准线方程为，标准方程为 y2=2(p0)，离心率 1. 11抛物线常用结论：若P(x0, y0)为抛物线上任一点， 1）焦半径； 2）过点 P 的切线方程为 y0(0)； 3）过焦点倾斜角为 的弦长为。 12极坐标系，在平面内取一个定点为极点记为 O，从 O 出发的射线为极轴记为轴，这样就建立了极坐标系，对 于平面内任意一点 P，记 , ，则由（ ， ）唯一确定点 P 的位置，（ ， ）称为极坐标。 13圆锥曲线的统一定义： 到定点的距离与到定直线的距离的比为常数e 的点 P，若 0e1，则点 P 的轨

22、迹为双曲线的一支；若1，则点 P 的轨迹为抛物线。这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为 。 二、方法与例题 1与定义有关的问题。 例 1已知定点 A（2，1），F 是椭圆 的坐标。 的左焦点，点 P 为椭圆上的动点，当 35 取最小值时，求点 P 解见图 11-1，由题设 5, 4,3,.椭圆左准线的方程为，又因为， 所以点 A 在椭圆内部，又点 F 坐标为（-3，0），过 P 作垂直于左准线，垂足为Q。由定义知，则。 9 / 56 所以 353()=3()3(左准线于 M)。 所以当且仅当 P 为与椭圆的交点时，35 取最小值，把 1 代入椭圆方程得，又 xb0）坐标为(, 0).设另一焦点为。

23、连结，则。所以(). 所以点 P 的轨迹是以 F，O 为两焦点的椭圆（因为 a），将此椭圆按向量(,0)平移，得到中心在原点的椭圆： 。由平移公式知，所求椭圆的方程为 解法二 相关点法。设点P(), A(x1, y1)，则，即x1=2, y1=2y. 又因为点 A 在椭圆 上，所以代入得关于点 P 的方程为。它表示中心为，焦点分别为 F 和 O 的椭圆。 例 4 长为 a, b 的线段，分别在 x 轴，y 轴上滑动，且 A，B，C，D 四点共圆，求此动圆圆心P 的轨迹。 10 / 56 解 设 P(x, y)为轨迹上任意一点，A，B，C，D 的坐标分别为 A(,0), B(,0), C(0,)

24、, D(0,), 记 O 为原点， 由圆幂定理知，用坐标表示为，即 当时，轨迹为两条直线与； 当 ab 时，轨迹为焦点在x 轴上的两条等轴双曲线； 当 a0, b0)的右焦点 F 作 B1B2轴，交双曲线于B1，B2两点，B2与左焦点 F1连线交 双曲线于 B 点，连结 B1B 交 x 轴于 H 点。求证：H 的横坐标为定值。 证明 设点 B，H，F 的坐标分别为( ), (x0, 0), (c, 0)，则 F1，B1，B2的坐标分别为(, 0), (c, 因为 F1，H 分别是直线 B2F，1 与 x 轴的交点，所以 11 / 56 ), (c,)， 所以 。 由得 代入上式得 即（定值）。

25、 注：本例也可借助梅涅劳斯定理证明，读者不妨一试。 2 例 7设抛物线 y =2(p0)的焦点为 F，经过点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，点 C 在准线上，且轴。证明：直 线经过定点。 证 明 设， 则， 焦 点 为， 所 以， ，。由于，所以 21=0， 即 所以 =0。 因为 ，即直线经过原点。 ， 所以。 所以， 即。 例 8椭圆上有两点 A，B，满足，O 为原点，求证：为定值。 证明设 12,且 , ，则点 A，B 的坐标分别为 A(r1 , r1 )(2 2 )。由 A，B 在椭圆上有 即 12 / 56 +得 4最值问题。 （定值）。 例 9设 A，B 是椭圆 x +3y

26、=1 上的两个动点，且 22 （O 为原点），求的最大值与最小值。 解 由 题 设1 ，, 记 12, ， 参 考 例8可 得=4 。 设 2= , 因为，且 a b ，所以 22 ，所以 br1a，同理 br2 a.所以。 又函数 f(x)在上单调递减， 在上单调递增， 所以当 1 即时， 取最小值 1； 当 或时，取最大值。 例 10设一椭圆中心为原点，长轴在x 轴上，离心率为 大距离为，试求这个椭圆的方程。 ，若圆C：1 上点与这椭圆上点的最 解设 A，B 分别为圆 C 和椭圆上动点。由题设圆心C 坐标为 C 共线，且取最大值时，取最大值，所以最大值为 ，半径 1，因为1，所以当且仅当

27、A，B， 因为；所以可设椭圆半长轴、半焦距、半短轴长分别为2，椭圆方程为，并设点B 坐标 为 B(2 )，则 =(2 ) 22 3t -3 22 4t 3( + 2 ) +3+4t . 22 若，则当 1 时， 取最大值 t +3 22 ，与题设不符。 若 t,则当 =时， 取最大值 3+4t ，由 3+4t =7 得 1. 222 13 / 56 所以椭圆方程为。 5直线与二次曲线。 2 例 11若抛物线 -1 上存在关于直线 0 成轴对称的两点，试求a 的取值范围。 解抛物线 -1 的顶点为(01)，对称轴为 y 轴，存在关于直线 0 对称两点的条件是存在一对点P(x11)， 2 (11)

28、， 满足 y1且 1(1) -1，相减得 x11( 2 ),因为 P 不在直线 0 上，所以 x110,所以 1(x11)，即 x11+ 所以此方程有不等实根，所以，求得，即为所求。 例 12若直线 2 与椭圆 22 相交，（1）求 b 的范围；（2）当截得弦长最大时，求b 的值。 b0，得 。所以当 0 时，最大。 三、基础训练题 1A 为半径是 R 的定圆O 上一定点，B 为O 上任一点，点 P 是 A 关于 B 的对称点，则点 P 的轨迹是. 2 2一动点到两相交直线的距离的平方和为定值m (0)，则动点的轨迹是. 3椭圆上有一点 P，它到左准线的距离是10，它到右焦点的距离是. 4双曲

29、线方程，则 k 的取值范围是. 5椭圆，焦点为 F1，F2，椭圆上的点 P 满足F12=60 ，则 F12的面积是. 0 6直线 l 被双曲线 2 所截的线段恰被点 A（3，-1）平分，则 l 的方程为. 7 的三个顶点都在抛物线y =32x 上，点 A（2，8），且 的重心与这条抛物线的焦点重合，则直线的斜率为. 8已知双曲线的两条渐近线方程为342=0 和 3410=0，一条准线方程为 54=0，则双曲线方程为. 20 9已知曲线 y ，与其关于点（1，1）对称的曲线有两个不同的交点，如果过这两个交点的直线的倾斜角为 45 ， 那么. 10 为等轴双曲线 x上一点， 222 的取值范围是.

30、 11已知椭圆 的面积。 与双曲线有公共的焦点 F1，F2，设 P 是它们的一个焦点，求F12和 1F2 14 / 56 12已知（i）半圆的直径长为 2r；（）半圆外的直线 l 与的延长线垂直，垂足为T，设 2a(2a1)的一个顶点 C（0，1）为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形，这样的三角形最多可作 个. 11求椭圆上任一点的两条焦半径夹角的正弦的最大值。 12设 F，O 分别为椭圆 求椭圆离心率 e 的取值范围。 的左焦点和中心，对于过点 F 的椭圆的任意弦，点 O 都在以为直径的圆内， 15 / 56 13已知双曲线 C1：(a0)，抛物线 C2的顶点在原点 O，C2的焦点是 C1

31、的左焦点 F1。 （1）求证：C1，C2总有两个不同的交点。 （2）问：是否存在过 C2的焦点 F1的弦，使 的面积有最大值或最小值？若存在，求直线的方程与 S的最值，若 不存在，说明理由。 五、联赛一试水平训练题五、联赛一试水平训练题 222 1在平面直角坐标系中，若方程m(x +21)=(23) 表示的曲线为椭圆，则m 的取值范围是. 2设 O 为抛物线的顶点，F 为焦点，且为过 F 的弦，已知， 面积为. 3给定椭圆，如果存在过左焦点 F 的直线交椭圆于P，Q 两点，且，则离心率 e 的取值范围是. 4设 F1，F2分别是双曲线 垂足为 M，则 M 的轨迹为. (ab0)的左、右焦点，P

32、 为双曲线上的动点，过 F1作F12平分线的垂线， 5 一边的两顶点坐标为B（0，）和C（0，），另两边斜率的乘积为，若点T 坐标为(t,0)(t), 则的最小值为. 2 6长为 l(l1)的线段的两端点在抛物线 上滑动，则线段的中点 M 到 x 轴的最短距离等于. 22 7已知抛物线 y =2 及定点 A()(,0)0 2，M 是抛物线上的点，设直线，与抛物线的另一个交点分别为M1，M2， 当 M 变动时，直线 M1M2恒过一个定点，此定点坐标为. 8已知点P（1，2）既在椭圆 小值为. 内部（含边界），又在圆x = 22 外部（含边界），若,则的最 9已知椭圆的内接 的边，分别过左、右焦点

33、 F1，F2，椭圆的左、右顶点分别为 D，E，直线与直线 交于点 P，当点 A 在椭圆上变动时，试求点P 的轨迹。 10设曲线 C1： （用 a 表示）； （a 为正常数）与 C2：y =2()在 x 轴上方有一个公共点 P。（1）求实数 m 的取值范围 2 （2）O 为原点，若 C1与 x 轴的负半轴交于点 A，当 0a时，试求 面积的最大值（用 a 表示）。 11已知直线 l 过原点，抛物线 C 的顶点在原点，焦点在 x 轴正半轴上，若点 A（-1，0）和 B（0，8）关于 l 的 对称点都在 C 上，求直线 l 和抛物线的方程。 六、联赛二试水平训练题六、联赛二试水平训练题 1在四边形中

34、，对角线平分，在上取一点E，与相交于 F，延长交于 G，求证：。 2求证：在坐标平面上不存在一条具有奇数个顶点，每段长都为1 的闭折线，它的每个顶点坐标都是有理数。 3 以 B0和 B1为焦点的椭圆与 0B1 的边交于(0,1)， 在 0 的延长线上任取点 P0， 以 B0为圆心， B0P0为半径作圆弧 交 C1B0的延长线于 Q0；以 C1为圆心，C1Q0为半径作圆弧 Q0P1交 B1A 的延长线于 P1；B1为圆心，B1P1为半径作圆弧 P1Q1交 16 / 56 B1C0的延长线于 Q1；以 C0为圆心，C0Q1为半径作圆弧 Q1，交 0 的延长线于。求证：（1）点与点 P0重合，且圆

35、弧 P0Q0与 P0Q1相内切于 P0；（2）P0，Q0，P1，Q1共圆。 4在坐标平面内，从原点出发以同一初速度 v0和不同发射角（即发射方向与 x 轴正向之间 的夹角） ( 0, , )射出的质点，在重力的作用下运动轨迹是抛物线，所有这些抛物线组成一个抛物线族，若两条抛物线在同 一个交点处的切线互相垂直，则称这个交点为正交点。证明：此抛物线族的所有正交点的集合是一段椭圆弧，并求此 椭圆弧的方程（确定变量取值范围）。 5直角 斜边为，内切圆切，分别于D，E，F 点，交内切圆于 P 点。若 6已知 ，求证：。 ，点 A 为中点，点 Q 在上，又在上找一点R，使 2，上找一点 S，使，求证：2。

36、 高中数学竞赛讲义（十二）高中数学竞赛讲义（十二） 立体几何立体几何 一、基础知识一、基础知识 公理 1 一条直线。上如果有两个不同的点在平面。内则这条直线在这个平面内，记作： 公理 2 两个平面如果有一个公共点，则有且只有一条通过这个点的公共直线，即若P ，则存在唯一的直 线 m，使得 ,且 Pm。 公理 3 过不在同一条直线上的三个点有且只有一个平面。即不共线的三点确定一个平面 推论 l 直线与直线外一点确定一个平面 推论 2 两条相交直线确定一个平面 推论 3 两条平行直线确定一个平面 公理 4 在空间内，平行于同一直线的两条直线平行 定义 1 异面直线及成角：不同在任何一个平面内的两条

37、直线叫做异面直线过空间任意一点分别作两条异面直线 的平行线，这两条直线所成的角中，不超过900的角叫做两条异面直线成角与两条异面直线都垂直相交的直线叫做异 面直线的公垂线，公垂线夹在两条异面直线之间的线段长度叫做两条异面直线之间的距离 定义 2 直线与平面的位置关系有两种； 直线在平面内和直线在平面外 直线与平面相交和直线与平面平行(直线与 平面没有公共点叫做直线与平面平行)统称直线在平面外 定义 3 直线与平面垂直：如果直线与平面内的每一条直线都垂直，则直线与这个平面垂直 定理 1 如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则直线与平面垂直 定理 2 两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平

38、行 定理 3 若两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也和这个平面垂直 定理 4 平面外一点到平面的垂线段的长度叫做点到平面的距离，若一条直线与平面平行，则直线上每一点到平面 的距离都相等，这个距离叫做直线与平面的距离 定义 5 一条直线与平面相交但不垂直的直线叫做平面的斜线由斜线上每一点向平面引垂线，垂足叫这个点在平 面上的射影所有这样的射影在一条直线上，这条直线叫做斜线在平面内的射影斜线与它的射影所成的锐角叫做斜 线与平面所成的角 结论 1 斜线与平面成角是斜线与平面内所有直线成角中最小的角 定理 4 (三垂线定理)若 d 为平面。 的一条斜线， b 为它在平面 a 内的射影， c 为

39、平面 a 内的一条直线， 若 定理：若，则 17 / 56 ， 则 逆 定理 5 直线 d 是平面 a 外一条直线，若它与平面内一条直线b 平行，则它与平面 a 平行 定理 6 若直线。与平面 平行，平面 经过直线 a 且与平面 a 交于直线 6，则 结论 2 若直线。与平面 和平面 都平行，且平面 与平面 相交于 b，则 定理 7 (等角定理)如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，则两个角相等 定义 6 平面与平面的位置关系有两种：平行或相交没有公共点即平行，否则即相交 定理 8 平面 a 内有两条相交直线 a，b 都与平面 平行，则 . 定理 9 平面 与平面 平行，平面 ，

40、 ，则 定义 7 (二面角)，经过同一条直线 m 的两个半平面 , (包括直线 m，称为二面角的棱)所组成的图形叫二面角， 记作 m ， 也可记为 Am 一 B， 等 过棱上任意一点 P 在两个半平面内分别作棱的垂线， ， 则(900) 叫做二面角的平面角 它的取值范围是0， 特别地，若900，则称为直二面角，此时平面与平面的位置关系称为垂直，即 . 定理 10 如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 定理 11 如果两个平面垂直，过第一个平面内的一点作另一个平面的垂线在第一个平面内 定理 12 如果两个平面垂直，过第一个子面内的一点作交线的垂线与另一个平面垂直 定义 8 有两个面

41、互相平行而其余的面都是平行四边形，并且每相邻两个平行四边形的公共边(称为侧棱)都互相平 行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱两个互相平行的面叫做底面如果底面是平行四边形则叫做平行六面体；侧 棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱底面是矩形的直棱柱叫做长方体棱长都相等 的正四棱柱叫正方体 定义 9 有一个面是多边形(这个面称为底面)，其余各面是一个有公共顶点的三角形的多面体叫棱锥底面是正多 边形，顶点在底面的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥 定理 13 (凸多面体的欧拉定理)设多面体的顶点数为V，棱数为 E，面数为 F，则 2 定义 10 空间中到一个定点的距离等于定长的点的轨

42、迹是一个球面球面所围成的几何体叫做球定长叫做球的 半径，定点叫做球心 定理 14 如果球心到平面的距离d 小于半径 R， 那么平面与球相交所得的截面是圆面， 圆心与球心的连线与截面垂 直设截面半径为 r，则 d22R2过球心的截面圆周叫做球大圆经过球面两点的球大圆夹在两点间劣弧的长度叫两 点间球面距离 定义 11 (经度和纬度)用平行于赤道平面的平面去截地球所得到的截面四周叫做纬线 纬线上任意一点与球心的连 线与赤道平面所成的角叫做这点的纬度 用经过南极和北极的平面去截地球所得到的截面半圆周(以两极为端点)叫做经 线，经线所在的平面与本初子午线所在的半平面所成的二面角叫做经度，根据位置不同又分

43、东经和西经 定理 15 (祖 原理)夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个 截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等. 定理 16 (三面角定理)从空间一点出发的不在同一个平面内的三条射线共组成三个角 其中任意两个角之和大于另 一个，三个角之和小于 3600 定理 17 （面积公式）若一个球的半径为R，则它的表面积为S 球面=4 R 2。若一个圆锥的母线长为l，底面半径为 r，则它的侧面积 S 侧= . 定理 18（体积公式）半径为 R 的球的体积为 V 球= ；若棱柱（或圆柱）的底面积为 s，高 h，则它的体积 为；若棱锥（或圆锥）的底面积为s

44、，高为 h，则它的体积为 定理 19如图 12-1 所示，四面体中，记 ， ， ，。 （1）射影定理：S ，其中二面角 DH 为 。 平面于 H。 18 / 56 （2）正弦定理： （3）余弦定理： . . （4）四面体的体积公式 = （其中 d 是 a1, a 之间的距离，是它们的夹角） S (其中 为二面角 BC 的平面角)。 二、方法与例题 1公理的应用。 例 1直线都与直线 d 相交，且，求证：共面。 证明设 d 与分别交于,因为 b 与 d 相交，两者确定一个平面，设为a.又因为，所以两者也确定一个平面，记 为 。因为 A ，所以 A ，因为 Bb，所以 B ，所以 d .又过的平面

45、是唯一的， 所以 ， 是同一个平面， 所以 a .同理 c .即共面。 例 2长方体有一个截面是正六边形是它为正方体的什么条件？ 解 充要条件。先证充分性，设图12-2 中是长方体 1B1C1D1 的正六边形截面，延长，设交点为O，因为直线平 面 1D1D，又 O直线，所以 O平面1D1D，又因为直线 平面 A1B1C1D1，又 O直线，所以 O平面 A1B1C1D1。所以 O直线 C1D1，由正六边形性质知，60 ，所以 为正三角形，因为 1D1，所以 0 =1。所以 R 是 1中点，同 理 Q 是 B1C1的中点，又 11，所以 C11Q，所以11B1，同理1，所以该长方体为正方体。充分性

46、得证。必要性留给读者 自己证明。 2异面直线的相关问题。 例 3正方体的 12 条棱互为异面直线的有多少对？ 解每条棱与另外的四条棱成异面直线，重复计数一共有异面直线 124=48 对，而每一对异面直线被计算两 次，因此一共有24 对。 例 4见图 12-3，正方体，A1B1C1D1棱长为 1，求面对角线 A1C1与 1所成的角。 解连结，B1C，因为 A1 11C，所以 A11C，所以 A11 为平行四边形，所以 A1C1。 所以与 1 所成的角即为 A1C1与 1 所成的角，由正方体的性质 11，所以B160 0。所以 A 1C1 与 1 所成角为 600。 3平行与垂直的论证。 例 5

47、A，B，C，D 是空间四点，且四边形四个角都是直角，求证：四边形是矩形。 19 / 56 证明 若是平行四边形，则它是矩形；若不共面，设过A，B，C 的平面为 ，过 D 作 连结 1，1，因为 0 1 于 D1，见图 12-4， 1，所以1 为矩形，所以 1，又因为1 平面 ，又 ，与 ，所以 1 22 ，所以平面 1，所以1。同理 190 ，但 11，所以 222= 矛盾。所以是平面四边形，所以它是矩形。 例 6一个四面体有两个底面上的高线相交。证明：它的另两条高线也相交。 证明见图 12-5， 设四面体的高线与相交于O， 因为 设四面体另两条高分别为，连结，因为 于，因为平面，所以，所以

48、平面，所以，又 平面， 所以 ，所以 ，平面， 所以 平面，所以 ， 所以平面， 所以。 。设交于P，连结，作 与重合，所以，为 的两条平面，即为四面体的高，所以 高，所以两者相交。 例 7在矩形中，2，E 是中点，沿将 折起，并使，见图 12-6。求证：平面 证明取中点 O，中点M，连结，则，又 所以 ，所以。又因为，所以 平面。又直线 平面。 ，所以平面，所以。又因为， 。因为，所以与不平行，所以与是两条相交直线。所以平面。所以平面平面。 4直线与平面成角问题。 0 例 8见图 12-7，正方形中，E，F 分别是，的中点，G 为的中点，将正方形沿折成120 的二面角，求和平面所成 的角。

49、解设边长 2，因为，又。所以，所以，又，所以120 。过 A 作 0 于 M，则60 ， 0 ，60 = 0 .由余弦定理222-2 =2，所以因为， 所以平面，所以，又，所以平面。所以为与平面所成的角。而。所以与平面所成的角为 . 例 9 见图 12-8，是平面 的一条斜角， 证明因为 ， 于 B，C 在 内，且， ， ， 。证明： . ，所以由三垂线定理，所以 ,又 中， ，所以 ，所以 . 5二面角问题。 00 例 10见图 12-9，设 S 为平面外一点，45 ，60 ，二面角 AC 为直角二面角，求的余弦值。 解作于 M，于 N，连结，因为二面角AC 为直二面角，所以平面平面。又，所

50、以平面，又， 所以由三垂线定理的逆定理有，所以，所以45 60 = 00 。 20 / 56 例 11见图 12-10， 已知直角 的两条直角边 2， 3， P 为斜边上一点， 沿将此三角形折成直二面角AB， 当 时，求二面角 PB 的大小。 解过 P 作 由三垂线定理知 于 D，作交于 E，连结，因为 AB 为直二面角，即平面平面，所以 0 平面，又，所以 ，所以为二面角 PB 的平面角。设 ，则 (90 - ) ，由余弦定理 ，所以 = 所以二面角 PB 的大小为 ，所以 2 =1.又 02 ，所以 = 。 ，设，则.所以 6距离问题。 例 12正方体A1B1C1D1的棱长为 a，求对角线

51、与 1的距离。 解以 B 为原点，建立直角坐标系如图12-11 所示。设 P，Q 分别是 1，上的点，且 各点、各向量的坐标分别为A(a,0,0)(0,0,0)(0,0) ， ， , 所 以， 所 以a 0,a 0. 所 以 。所以为与 1的公垂线段，所以两者距离为 例 13如图 12-12 所示，在三棱维 S中，底面是边长为的正三角形，棱的长为 2，且垂直于底面，E，D 分别是，的中点，求与间的距离。 分析取中点 F，则，从而平面，要求与间的距离就转化为求点C 到平面间的距离。 解设此距离为 h，则由体积公式 计算可得 S3，所以 7凸多面体的欧拉公式。 例 14 一个凸多面体有 32 个面

52、，每个面或是三角形或是五边形，对于 V 个顶点每个顶点均有 T 个三角形面和 P 个五边形面相交，求 10010。 解 因 32，所以 322，所以 30。因为个面相交于每个顶点，每个顶点出发有条棱，所以2(). 由此得 V()=2(30)， 即 V(2)=60. 由于每个三角形面有三条棱，故三角形面有个，类似地，五边形有个，又因为每个面或者是三角 形或者是五边形，所以=32，由此可得3516，它的唯一正整数解为2，代入V(2)=60 得 30，所以10010250。 8与球有关的问题。 例 15 圆柱直径为 4R，高为 22R，问圆柱内最多能装半径为R 的球多少个？ 21 / 56 解 最底

53、层恰好能放两个球，设为球 O1和球 O2，两者相切，同时与圆柱相切，在球 O1与球 O2上放球 O3与球 O4，使O1O2与 O3O4相垂直，且这4 个球任两个相外切，同样在球O3与球 O4上放球 O5与球 O6，直到不能再放为 止。 先计算过 O3O4与过 O1O2的两平行面与圆柱底面的截面间距离为 (22-)Rh. 证明不妨设 A 到面的高线长，与间的距离为 d，作于点 F，于点 N，则，在面内作矩形，连，因为，所 于 M，则由平面知，为点C 到面的距以平面，所以到面的距离为与间的距离d。在 中，为边上的高，边上的高，作 离（因面），于是。在 与 中，由得。又因为 ，所以2。所以 2dh.

54、 注：在前面例题中除用到教材中的公理、定理外，还用到了向量法、体积法、射影法，请读者在解题中认真总结。 三、基础训练题 1正三角形的边长为 4，到 A，B，C 的距离都是 1 的平面有个. 2空间中有四个点 E，F，G，H，命题甲：E，F，G，H 不共面；命题乙：直线和不相交，则甲是乙的条件。 3动点 P 从棱长为 a 的正方体的一个顶点出发，沿棱运动，每条棱至多经过一次，则点P 运动的最大距离为。 4正方体A1B1C1D1中，E，F 分别是面 1A1、面的中心，G 为棱1 中点，直线 C1E，与所成的角分别是 ， 。则 + 。 5若为两条异面直线，过空间一点O 与都平行的平面有个。 0 6是

55、直角 斜边上的高，2，将 绕旋转使二面角 AB 为 60 ，则异面直线与所成的角为。 7已知平面，是O 的直径，C 是圆周上一点且 0 ，则二面角 AB 的大小为。 ，5，则.8平面 上有一个 ，105 ， 9在三棱锥 S中， ，平面 两侧各有一点 S，T，使得 0 底面，二面角 AC 为直二面角，若45 ，则经过 A，B，C，S 的球的半径为. 10空间某点到棱长为 1 的正四面体顶点距离之和的最小值为. 11异面直线满足 ，求证： 。 22 / 56 12四面体中，两两垂直，S0，S1，S2，S3分别表示 ， ， ， 的面积，求证： 13正三棱柱A1B1C1中，E 在棱 1上，截面 A1

56、四、高考水平训练题四、高考水平训练题 侧面 1C1C，（1）求证：1；（2）若11B1，求二面角11C1 的平面角。 1三棱柱 1B1C1 中，M 为 A1B1的中点，N 为 B1C 与 1 的交点，平面交 B1C1于 P，则. 2.空间四边形中，1， 3平面平面 ， ，且，则与所成的角为. 00 =直线，点 C ，点 D ，45 ，60 ，且，则直线与平面所成的角为. 4单位正方体A1B1C1D1中，二面角 A1B1大小为. 00 5如图 12-13 所示，平行四边形的顶点A 在二面角 的棱上，点 B，C，D 都在 上，且 2，45 ，60 ， 若在半平面 上射影为为菜，则二面角 . 6已知

57、异面直线成角为 ，点 M，A 在 a 上，点 N，B 在 b 上，为公垂线，且，。则的长度为. 0 7已知正三棱锥 S侧棱长为 4，45 ，过点 A 作截面与侧棱，分别交于M，N，则截面 周长的最小值为. 8l1与 l2为两条异面直线，l1上两点 A，B 到 l2的距离分别为，二面角Al2B 大小为 ，则 l1与 l2之间的距离 为. 222 9在半径为 R 的球 O 上一点 P 引三条两两垂直的弦，则. 10过 的顶点向平面 引垂线 1，1，1，点 A1，B1，C1 ，则与B1A1C1的大小关系是. 000 11三棱锥A中90 ，60 ，45 ，二面角AB 为直角二面角。（1）求直线与平面所

58、成的角；（2）若 M 为中点，E 为中点，求与所成的角；（3）二面角 MB 的大小。 12四棱锥P底面是边长为 4 的正方形，底面，6，M，N 分别是，的中点， （1）求二面角 MC 的大小； （2） 求异面直线与的距离。 13三棱锥S中，侧棱，两两互相垂直， M 为 的重心，D 为中点，作与平行的直线，证明： （1）与相交； （2） 设与的交点为，则为三棱锥 S外接球球心。 五、联赛一试水平训练题五、联赛一试水平训练题 1现有边长分别为3，4，5 的三角形两个，边长分别为4，5，的三角形四个，边长分别为，4，5 的三 角形六个，用上述三角形为面，可以拼成个四面体。 2一个六面体的各个面和一个

59、正八面体的各个面都是边长为a 的正三角形，这两个多面体的内切球的半径之比是 一个既约分数，那么。 3已知三个平面 ， ， 每两个平面之间的夹角都是，且,，命题 甲：；命题乙：相交于一点。则甲是乙的条件。 ，如果 的面积为 1，则能放入这个棱锥的最大球的半径为.4棱锥 M的底面是正方形，且 23 / 56 5将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短 棱长为 2，则最远两个顶点间距离为。 6空间三条直线两两成异面直线，那么与都相交的直线有条。 7一个球与正四面体的六条棱都相切，正四面体棱长为a，这个球的体积为。 22222222 8由曲线 x =4 444 围成的图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V1，满足 x 16 +(2) 4 +(2) 4 的点()组 成的图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积为V2，则。 ，9顶点为 P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆围上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆圆心， 垂足为 B， 10 对任意的平面 ，由 ，垂足为 H，且 4