高中数学解析几何压轴题专项拔高训练(二)

1、高中数学解析几何压轴题专项拔高训练高中数学解析几何压轴题专项拔高训练 一选择题（共一选择题（共 1515 小题）小题） 1已知倾斜角 0 的直线 l 过椭圆 则APB 为（） （ab0）的右焦点交椭圆于 A、B 两点，P 为右准线上任意一点， A钝角B直角C锐角D都有可能 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题 专题： 压轴题 分析： 根据题设条件推导出以AB 为直径的圆与右准线相离由此可知APB 为锐角 解答： 解：如图，设M 为 AB 的中点，过点M 作 MM1垂直于准线于点 M1，分别过A、B 作 AA1、BB1垂直于准 线于 A1、B1两点 则 以 AB 为直径的圆与右准线相离 APB 为锐

2、角 点评： 本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时作出图形，数形结合，往往能收到事半功倍之效果 2 已知双曲线 （） APFRQFR PFRQFRC （a0， b0） 的右焦点为 F， 右准线为 l， 一直线交双曲线于 P Q 两点， 交 l 于 R 点 则 BPFR=QFR DPFR 与AFR 的大小不确定 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题 专题： 计算题；压轴题 分析： 设 Q、P 到 l 的距离分别为 d1，d2，垂足分别为 M，N，则 PNMQ，=，又由双曲线第二定义可知 ，由此能够推导出 RF 是PFQ 的角平分线，所以PFR=QFR 解答： 解：设 Q、P 到 l 的距离分别为 d1

3、，d2，垂足分别为 M，N， 则 PNMQ， =， 又由双曲线第二定义可知， ， ， RF 是PFQ 的角平分线， PFR=QFR 故选 B 点评： 本题考查双曲线的性质和应用，解题时利用双曲线第二定义综合平面几何知识求解 3设椭圆的一个焦点为 F，点 P 在 y 轴上，直线 PF 交椭圆于 M、N， ，则实数 1+2=（） A 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题 专题： 综合题；压轴题 分析： 设直线 l 的斜率为 k，则直线l 的方程是 y=k（xc） 将直线l 的方程代入到椭圆 C 的方程中，消去y 并整 22 22222 2 22 2 理得（b +a k ）x 2a ck x+a c k

4、 a b =0然后利用向量关系及根与系数的关系，可求得1+2的值 解答： 解：设 M，N，P 点的坐标分别为 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，P（0，y0） ， 又不妨设 F 点的坐标为（c，0） 显然直线 l 存在斜率，设直线 l 的斜率为 k， 则直线 l 的方程是 y=k（xc） 22 22222 2 22 2 将直线 l 的方程代入到椭圆 C 的方程中，消去 y 并整理得（b +a k ）x 2a ck x+a c k a b =0 BCD ， 又， 将各点坐标代入得， = 故选 C 点评： 本题以向量为载体，考查直线与椭圆的位置关系，是椭圆性质的综合应用题，解题时要注意公式的

5、合理选 取和灵活运用 4中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线 C1的离心率为 e，直线l 与双曲线 C1交于 A，B 两点，线段AB 中点 M 在 2 一象限且在抛物线 y =2px（p0）上，且 M 到抛物线焦点的距离为p，则 l 的斜率为（） 22 ABCDe 1e +1 考点： 圆锥曲线的综合 专题： 综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程 分析： 利用抛物线的定义，确定M 的坐标，利用点差法将线段AB 中点 M 的坐标代入，即可求得结论 解答： 解：M 在抛物线 y2=2px（p0）上，且 M 到抛物线焦点的距离为p， M 的横坐标为 ，M（ ，p） 设双曲线方程为（a0，b0） ，

6、A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 ， 两式相减，并将线段 AB 中点 M 的坐标代入，可得 故选 A 点评： 本题考查双曲线与抛物线的综合，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题 5已知 P 为椭圆上的一点，M，N 分别为圆（x+3） +y =1 和圆（x3） +y =4 上的点，则|PM|+|PN| 2222 的最小值为（） 57AB 考点： 圆与圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质 专题： 计算题；压轴题 分析： 13C15D 由题意可得：椭圆的焦点分别是两圆（x+3） +y =1 和（x3） +y =4 的圆心，再结合椭圆的定 2222 义与圆的有关性质可得答案 解答： 解

7、：依题意可得，椭圆的焦点分别是两圆（x+3） +y =1 和（x3） +y =4 的圆心， 2222 所以根据椭圆的定义可得： （|PM|+|PN|）min=2 512=7， 故选 B 点评： 本题考查圆的性质及其应用，以及椭圆的定义，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用 6过双曲线=0（b0，a0）的左焦点 F（c，0） （c0） ，作圆 x +y = 22 的切线，切点为 E，延长 FE 交双曲线右支于点 P，若= （+） ，则双曲线的离心率为（） ABCD 考点： 圆与圆锥曲线的综合 专题： 综合题；压轴题 分析： 由= （+） ，知 E 为 PF 的中点，令右焦点为 F，则

8、O 为 FF的中点，则 PF=2OE=a，能推导出在 Rt PFF中，PF +PF =FF ，由此能求出离心率 解答： 解：若= （+） ， 222 E 为 PF 的中点，令右焦点为 F，则 O 为 FF的中点， 则 PF=2OE=a， E 为切点， OEPF PFPF PFPF=2a PF=PF+2a=3a 在 Rt PFF中，PF +PF =FF 222 即 9a +a =4c 离心率 e= = 故选：A 222 点评： 本题考查圆与圆锥曲线的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件 7设椭圆的左焦点为 F，在 x 轴上 F 的右侧有一点 A，以FA为直径的圆与椭圆在

9、 x 轴上 方部分交于 M、N 两点，则 AB 的值为（） CD 考点： 圆与圆锥曲线的综合 专题： 计算题；压轴题 分析： 若以 FA为直径的圆与椭圆大 x 轴上方的部分交于短轴端点，则M、N 重合（设为M） ，此时A 为椭圆的右 焦点，由此可知=，从而能够得到结果 解答： 解：若以 FA为直径的圆与椭圆大 x 轴上方的部分交于短轴端点， 则 M、N 重合（设为 M） ，此时 A 为椭圆的右焦点，则 = 故选 A 点评： 本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意合理地选取特殊点 8 已知定点 A （1， 0） 和定直线 l： x=1， 在 l 上有两动点 E， F 且满足 （O 为坐标原点

10、） ，且动点 P 的轨迹方程为（） 22 ABy =4x（x0）y =4x ， 另有动点 P， 满足 2 Dy =4x（x0） 2 Cy =4x 考点： 圆锥曲线的轨迹问题 专题： 计算题；压轴题 分析： 设 P（x，y） ，欲动点 P 的轨迹方程，即寻找 x，y 之间 的关系式，利用向量间的关系求出向量 坐标后垂直条件即得动点P 的轨迹方程 解答： 解：设 P（x，y） ，E（1，y1） ，F（1，y2） （y1，y2均不为零） 由 由 由 y1=y，即 E（1，y） 2 、的 y =4x（x0） 故选 B 点评： 本题主要考查了轨迹方程的问题本题解题的关键是利用了向量平行和垂直的坐标运算求

11、得轨迹方程 9已知抛物线过点 A（1，0） ，B（1，0） ，且以圆 x +y =4 的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程（） ABCD +=1（y0）+=1（y0）=1（y0）=1（y0） 22 考点： 圆锥曲线的轨迹问题 专题： 综合题；压轴题 分析： 设出切线方程， 表示出圆心到切线的距离求得a 和 b 的关系， 再设出焦点坐标， 根据抛物线的定义求得点A， B 到准线的距离等于其到焦点的距离，然后两式平方后分别相加和相减，联立后，即可求得x 和 y 的关系 式 解答： 解：设切线 ax+by1=0，则圆心到切线距离等于半径 =2 a +b = 22 ， 设抛物线焦点为（x，y） ，根

12、据抛物线定义可得 平方相加得：x +1+y =4（a +1） 平方相减得：x=4a， 22 222 把代入可得：x +1+y =4（+1） 即： 焦点不能与 A，B 共线 y0 抛物线的焦点轨迹方程为 故选 B 点评： 本题以圆为载体，考查抛物线的定义，考查轨迹方程，解题时利用圆的切线性质，抛物线的定义是关键 10如图，已知半圆的直径|AB|=20，l 为半圆外一直线，且与BA 的延长线交于点 T，|AT|=4，半圆上相异两点M、 N 与直线 l 的距离|MP|、|NQ|满足条件，则|AM|+|AN|的值为（） 22201816ABCD 考点： 圆与圆锥曲线的综合；抛物线的定义 专题： 计算题

13、；压轴题 22 分析： 先以 AT的中点 O 为坐标原点， AT的中垂线为 y 轴， 可得半圆方程为 （x12）+y =100， 根据条件得出 M， N 在以 A 为焦点，PT 为准线的抛物线上，联立半圆方程和抛物线方程结合根与系数的关系，利用抛物线的 定义即可求得答案 解答： 解：以 AT的中点 O 为坐标原点，AT的中垂线为 y 轴， 22 可得半圆方程为（x12） +y =100 又，设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， M，N 在以 A 为焦点，PT 为准线的抛物线上；以AT的垂直平分线为 y 轴，TA方向为 x 轴建立坐标系，则 有 抛物线方程为 y =8x（y0） ，联立半

14、圆方程和抛物线方程， 2 消去 y 得：x 16x+44=0 x1+x2=16， |AM|+|AN|=|MP|+|NQ|=x1+x2+4=20 故选 B 2 点评： 本小题主要考查抛物线的定义、圆的方程、圆与圆锥曲线的综合等基础知识，考查运算求解能力，考查数 形结合思想、化归与转化思想属于基础题 11椭圆 A 考点： 圆锥曲线的共同特征 专题： 综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程 分析： 利用双曲线、椭圆的定义，建立方程，求出 |PF1|=，|PF2|= 论 解答： 解：不妨令 P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1|PF2|=2 由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2 与双曲线

15、 B 有公共的焦点 F1，F2，P 是两曲线的一个交点，则cosF1PF2=（） CD ，再利用余弦定理，即可求得结 由可得|PF1|= |F1F2|=4 cosF1PF2= ，|PF2|= = 故选 A 点评： 本题考查圆锥曲线的共同特征，利用双曲线、椭圆的定义，建立方程是关键 12曲线 A 考点： 直线与圆锥曲线的关系 专题： 计算题；压轴题 分析： 如图， 求出 BC 的斜率， 根据圆心到切线的距离等于半径， 求得切线 BE 的斜率 k， 由题意可知， kkKBC， 从而得到实数 k 的取值范围 解答： 22 解：曲线即x +（y1） =4， （y1） ，表示以 A（0，1）为圆心，以

16、2 为半径的圆位 （|x|2）与直线 y=k（x2）+4 有两个交点时，实数 k 的取值范围是（） B（ ，+） CD 于直线 y=1 上方的部分（包含圆与直线y=1 的交点 C 和 D） ，是一个半圆，如图： 直线 y=k（x2）+4 过定点 B（2，4） ，设半圆的切线 BE 的切点为 E，则 BC 的斜率为 KBC= 设切线 BE 的斜率为 k，k0，则切线BE 的方程为y4=k（x2） ，根据圆心A 到线 BE 距离等于半径 得 2=，k=， 由题意可得 kkKBC， 故选 A k ， 点评： 本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，倾斜角和斜率的关系，体现了数形结合的数学思想

17、， 判断 kkKBC，是解题的关键 13设抛物线y =12x 的焦点为 F，经过点P（1，0）的直线l 与抛物线交于 A，B 两点，且 （） A 考点： 直线与圆锥曲线的关系 专题： 计算题；压轴题 分析： 根据向量关系，用坐标进行表示，求出点A，B 的坐标，再利用抛物线的定义，可求|AF|+|BF| 解答： 解：设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 P（1，0） 2 ，则|AF|+|BF|= B8CD =（1x2，y2） ， ， =（x11，y1） 2（1x2，y2）=（x11，y1） 2 将 A（x1，y1） ，B（x2，y2）代入抛物线 y =12x，可得 又2y2=y1 4x

18、2=x1又x1+2x2=3 解得 ， |AF|+|BF|= 故选 D 点评： 本题重点考查抛物线的定义，考查向量知识的运用，解题的关键是确定点A，B 的横坐标 14已知双曲线上的一点到其左、右焦点的距离之差为4，若已知抛物线 y=ax 上的 2 两点 A（x1，y1） ，B（x2，y2）关于直线 y=x+m 对称，且 A 考点： 直线与圆锥曲线的关系 专题： 综合题；压轴题 分析： ，则 m 的值为（） DBC y1=2x1， y2=2x2， A 点坐标是 （x1， 2x1） ， B 点坐标是 （x2， 2x2）A， B 的中点坐标是 （ 2222 ，） 因为 A， B 关于直线 y=x+m

19、对称， 所以 A， B 的中点在直线上， 且 AB 与直线垂直 由此能求得 m 解答： 解：y1=2x12，y2=2x22， 22 A 点坐标是（x1，2x1） ，B 点坐标是（x2，2x2） ， A，B 的中点坐标是（，） ， =+m， 因为 A，B 关于直线 y=x+m 对称， 所以 A，B 的中点在直线上， 且 AB 与直线垂直 22 =+m， x1+x2 因为 22 +m，x2+x1= ， ， 2 所以 xx1+x2=（x1+x2） 2x1x2= ， 代入得，求得 m= 故选 B 点评： 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解 题时

20、要注意合理地进行等价转化 15已知双曲线 的值为（） 4A 上存在两点 M，N 关于直线 y=x+m 对称，且 MN 的中点在抛物线 y =9x 上，则实数 m 2 B4C0 或 4D0 或4 考点： 直线与圆锥曲线的关系 专题： 综合题；压轴题 分析： 根据双曲线 2 上存在两点 M，N 关于直线 y=x+m 对称，求出 MN 中点 P（ ， m） ，利用 MN 的中点在抛物线 y =9x 上，即可求得实数 m 的值 解答： 解：MN 关于 y=x+m 对称MN 垂直直线 y=x+m，MN 的斜率1，MN 中点 P（x0，x0+m）在 y=x+m 上， 且在 MN 上 设直线 MN：y=x+

21、b，P 在 MN 上，x0+m=x0+b，b=2x0+m 由消元可得：2x +2bxb 3=0 22 Mx+Nx=b，x0= ，b= MN 中点 P（ ， m） MN 的中点在抛物线 y =9x 上， 2 m=0 或 4 故选 D 点评： 本题考查直线与双曲线的位置关系，考查对称性，考查抛物线的标准方程，解题的关键是确定MN 中点 P 的坐标 二解答题（共二解答题（共 1515 小题）小题） 16已知椭圆 C： （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若 A1，A2分别是椭圆长轴的左右端点， Q 为椭圆上动点， 设直线 A1Q 斜率为 k，且 求直线 A2Q 斜率的取值范围； （3）若 Q 为椭

22、圆上动点，求 cosF1QF2的最小值 考点： 椭圆的简单性质；椭圆的应用 专题： 压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程 分析： （1）根据椭圆的离心率为，且经过点（3，1） ，求椭圆 C 的标准方程； ，F1，F2是其左右焦点，离心率为，且经过点（3，1） ， （2）设 A2Q 的斜率为 k，Q（x0，y0） ，则可得 kk=，利用，即可求 直线 A2Q 斜率的取值范围； （3）利用椭圆的定义、余弦定理，及基本不等式，即可求cosF1QF2的最小值 解答： 解： （1）椭圆的离心率为，且经过点（3，1） ，建立方程，求出几何量，即可 ， 椭圆 C 的标准方程为（3 分） （2）设 A2Q 的斜

23、率为 k，Q（x0，y0） ，则，（5 分） kk=及（6 分） 则 kk= 又 ， （7 分） 故 A2Q 斜率的取值范围为（）（8 分） ，（3） 设椭圆的半长轴长、 半短轴长、 半焦距分别为 a， b， c， 则有 由椭圆定义，有（9 分） cosF1QF2=（10 分） =（11 分） （12 分） =（13 分） cosF1QF2的最小值为 （当且仅当|QF1|=|QF2|时， 即 Q 取椭圆上下顶点时， cosF1QF2取得最小值） （14 分） 点评： 本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查椭圆的定义，考查余弦定理，考查基本不等式的运用，综合性 强 17已知椭圆 x + 2 =1

24、 的左、右两个顶点分别为A，B双曲线 C 的方程为 x 2 =1设点 P 在第一象限且在双 曲线 C 上，直线 AP 与椭圆相交于另一点 T （）设 P，T 两点的横坐标分别为 x1，x2，证明 x1x2=1； （）设 TAB与 POB（其中 O 为坐标原点）的面积分别为S1与 S2，且 考点： 直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算 专题： 压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程 分析： （）设直线 AP 的方程与椭圆方程联立，确定P、T 的横坐标，即可证得结论； 15，求SS的取值范围 （）利用15，结合点 P 是双曲线在第一象限内的一点，可得1x12，利用三角形的面积公式求 S的不等式，

25、利用换元法，再利用导数法，即可求SS的取值范围面积，从而可得 S 解答： （）证明：设点 P（x1，y1） 、T（x2，y2） （xi0，yi0，i=1，2） ，直线 AP 的斜率为 k（k0） ， 则直线 AP 的方程为 y=k（x+1） ， 代入椭圆方程，消去 y，整理，得（4+k ）x +2k x+k 4=0， 解得 x=1 或 x=，故 x2= 2222 同理可得 x1= 所以 x1x2=1 （）设点 P（x1，y1） 、T（x2，y2） （xi0，yi0，i=1，2） ， 则 因为 =（1x1，y1） ， =（1x1，y1） 222 15，所以（1x1） （1x1）+y115，即 x

26、1+y116 222 因为点 P 在双曲线上，所以，所以 x1+4x1416，即 x14 因为点 P 是双曲线在第一象限内的一点，所以1x12 因为 S1=|y2|，S2= 所以 SS= ， = S=5t 由（）知，x1x2=1，即 设 t=，则 1t4，S 设 f（t）=5t ，则 f（t）=1+=， 当 1t2 时，f（t）0，当 2t4 时，f（t）0， 所以函数 f（t）在（1，2）上单调递增，在（2，4上单调递减 因为 f（2）=1，f（1）=f（4）=0， 所以当 t=4，即 x1=2 时，SS的最小值为 f（4）=0，当 t=2，即 x1=时，SS的最大值为 f （2）=1 所以

27、 SS的取值范围为0，1 点评： 本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化 归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力 18设椭圆 D：=1（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为 A，在 x 轴负半轴上有一点B，满足 ，且 ABAF2 （）若过 A、B、F2三点的圆 C 恰好与直线 l：xy3=0 相切，求圆 C 方程及椭圆 D 的方程； （O 为坐标（）若过点 T（3，0）的直线与椭圆 D 相交于两点 M、N，设 P 为椭圆上一点，且满足 原点） ，求实数 t 取值范围 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭

28、圆的应用 专题： 压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程 分析： （）利用，可得 F1为 BF2的中点，根据 ABAF2，可得 a，c 的关系，利用过 A、B、F2三 点的圆 C 恰好与直线 l：相切，求出 a，即可求出椭圆的方程与圆的方程； （）设直线 MN 方程代入椭圆方程，利用韦达定理及向量知识，即可求实数t 取值范围 解答： 解： （）由题意知 F1（c，0） ，F2（c，0） ，A（0，b） 因为 ABAF2，所以在 Rt ABF2中， 又因为 所以 又 a =b +c ，所以 a=2c 所以 F2（ ，0） ，B（，0） ， 222 ， ，所以 F1为 BF2的中点， Rt ABF2的

29、外接圆圆心为 F1（ ，0） ，半径 r=a， 因为过 A、B、F2三点的圆 C 恰好与直线 l： 所以=a，解得 a=2，所以 c=1，b= 相切， 所以椭圆的标准方程为：，圆的方程为（x+1） +y =1； 22 （）设直线 MN 方程为 y=k（x3） ，M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，P（x，y） ，则 2222 直线方程代入椭圆方程，消去y 可得（4k +3）x 24k x+36k 12=0， =（24k ）4（4k +3） （36k 12）0， k ， 2 222 x1+x2=，x1x2=， ， x1+x2=tx，y1+y2=ty， tx=，ty=， x=，y=， 代入椭圆

30、方程可得 3 +4 2 =12， 2 整理得= k ， 0t 4， 实数 t 取值范围是（2，0）（0，2） 点评： 本题考查椭圆方程与圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查直线与椭圆的位置关系，难度大 19已知 F1、F2为椭圆 C： 1，最小值为2 （1）求椭圆 C 的方程； （2）过点作不与 y 轴垂直的直线 l 交该椭圆于 M，N 两点，A 为椭圆的左顶点试判断MAN 是否 的左，右焦点，M 为椭圆上的动点，且的最大值为 2 2 为直角，并说明理由 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题 专题： 计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程 分析： 222 （1）设 M（x，y） ，化简=x

31、+2b a （axa） ，从而求最值，进而求椭圆方程； （2）设直线 MN 的方程为 x=ky6 并与椭圆联立，利用韦达定理求 解答： 解： （1）设 M（x，y） ， 则 y =b 22 的值，从而说明是直角 x ， 2 = x +2b a （axa） ， 取得最小值 2b a =2， 取得最大值 b =1， 2 22 222 则当 x=0 时， 当 x= a 时， a =4， 故椭圆的方程为 2 （2）设直线 MN 的方程为 x=ky ， 联立方程组可得， 化简得： （k +4）y 2.4ky 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 则 y1+y2= 又 A（2，0） ， 2 22

32、=0， ，y1y2=， =（x1+2，y1）（x2+2，y2） =（k +1）y1y2+ k（y1+y2）+ =（k +1） 2 + k+=0， 所以MAN 为直角 点评： 本题考查了圆锥曲线方程的求法及直线与圆锥曲线的位置关系应用，同时考查了向量的应用，属于难题 20如图，P 是抛物线 y =2x 上的动点，点 B，C 在 y 轴上，圆（x1） +y =1 内切于 PBC，求 PBC 面积的最 小值 222 考点： 圆与圆锥曲线的综合 专题： 综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程 分析： 设 P（x0，y0） ，B（0，b） ，C（0，c） ，设 bc直线 PB：yb=，化简，得（y0

33、b）xx0y+x0b=0， 由圆心（1，0）到直线 PB 的距离是 1，知，由此导出（x02）b +2y0bx0=0， 2 同理， （x02）c +2y0cx0=0，所以（bc） = 由此能求出 PBC 面积的最小值 解答： 解：设 P（x0，y0） ，B（0，b） ，C（0，c） ，设 bc 直线 PB 的方程：yb=， 22 ，从而得到 S PBC=， 化简，得（y0b）xx0y+x0b=0， 圆心（1，0）到直线 PB 的距离是 1， 22 ， 22 2 （y0b） +x0=（y0b） +2x0b（y0b）+x0b ， x02，上式化简后，得 2 （x02）b +2y0bx0=0， 2

34、同理， （x02）c +2y0cx0=0， b+c=，bc=， （bc） = 2 ， P（x0，y0）是抛物线上的一点， ， （bc） = 2 ，bc=， S PBC= = =（x02）+ 2+4=8 +4 当且仅当时，取等号 此时 x0=4，y0= PBC 面积的最小值为 8 点评： 本昰考查三角形面积的最小值的求法，具体涉及到抛物线的性质、抛物线和直线的位置关系、圆的简单性 质、均值定理等基本知识，综合性强，难度大，对数学思想的要求较高，解题时要注意等价转化思想的合 理运用 21已知直 L1：2xy=0，L2：x2y=0动圆（圆心为 M）被 L1L2截得的弦长分别为 8，16 （）求圆心

35、M 的轨迹方程 M； 2 （）设直线 y=kx+10 与方程 M 的曲线相交于 A，B 两点如果抛物 y =2x 上存在点 N 使得|NA|=|NB|成立，求 k 的取值范围 考点： 圆与圆锥曲线的综合；直线与圆相交的性质 专题： 综合题；压轴题 分析： 2222 （） 设 M （x， y） ， M 到 L1， L2的距离分别为 d1， d2， 则 d1+4 =d2+8 所以， 由此能求出圆心 M 的轨迹方程 （）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，由，得（1k ）x 20kx180=0AB 的中点为 22 ，AB 的中垂线为，由，得 由此能求出 k 的取值范围 解答： 解： （）设

36、M（x，y） ，M 到 L1，L2的距离分别为 d1，d2，则 d1+4 =d2+8 （2 分） 22 2222 ， 22 x y =80，即圆心 M 的轨迹方程 M：x y =80（4 分） （）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，由 得（1k ）x 20kx180=0 AB 的中点为，（6 分） 22 ， AB 的中垂线为，即，（7 分） 由，得（8 分） 存在 N 使得|NA|=|NB|成立的条件是：有相异二解，并且有解 （9 分） 有相异二解的条件为， 且 k1（10 分） 有解的条件是 3 ，（11 分） 根据导数知识易得时，k k+400， 因此，由可得 N 点存在的条件是

37、：1 或 1k （12 分） 点评： 本题主要考查双曲线标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识考查 运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想 22已知直线 l1：axby+k=0；l2：kxy1=0，其中 a 是常数，a0 （1）求直线 l1和 l2交点的轨迹，说明轨迹是什么曲线，若是二次曲线，试求出焦点坐标和离心率 （2）当 a0，y1 时，轨迹上的点 P（x，y）到点 A（0，b）距离的最小值是否存在？若存在，求出这个最小值 考点： 圆锥曲线的轨迹问题 专题： 综合题；压轴题；分类讨论；转化思想 分析： （1）联立直线 l1和 l2的方程

38、， 消去参数即可得到交点的轨迹方程， 根据 a 的取值 a0，1a0，a=1， a1 说明轨迹曲线，利用二次曲线判断形状，直接求出焦点坐标和离心率 （2）通过 a0，y1 时，说明轨迹的图形，求出轨迹上的点P（x，y）到点 A（0，b）距离的表达式，通 过配方讨论 b 与 解答： 解： （1）由 的大小，求出|PA|的最小值 22 消去 k，得 y ax =1 当 a0 时，轨迹是双曲线，焦点为 当1a0 时，轨迹是椭圆，焦点为 当 a=1 时，轨迹是圆，圆心为（0，0） ，半径为 1； 当 a1 时，轨迹是椭圆，焦点为 22 ，离心率 ，离心率 ； ； ，离心率 （2）当 a0 时，y1 时

39、，轨迹是双曲线 y ax =1 的上半支 |PA| =x +（yb） = 222 = 当 b 当 b 时，|PA|的最小值为 时，|PA|的最小值为|1b| ； 点评： 本题考查知识点比较多，涉及参数方程，双曲线方程椭圆方程，圆的方程，两点的距离公式等等，涉及分 类讨论思想二次函数的最值，是难度比较大，容易出错的题目，考试常靠题型，多以压轴题为主 23如图，ABCD 是边长为 2 的正方形纸片，沿某动直线l 为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻 折后点 B 都落在边 AD 上，记为B；折痕与AB 交于点 E，以EB 和 EB为邻边作平行四边形EBMB若以B 为原 点，BC 所在直线

40、为 x 轴建立直角坐标系（如下图） ： （） 求点 M 的轨迹方程； （） 若曲线 S 是由点 M 的轨迹及其关于边 AB 对称的曲线组成的， 等腰梯形 A1B1C1D1的三边 A1B1， B1C1， C1D1 分别与曲线 S 切于点 P，Q，R求梯形 A1B1C1D1面积的最小值 考点： 圆锥曲线的轨迹问题；向量在几何中的应用 专题： 计算题；压轴题 分析： （1）设出 M 的坐标，根据两点关于直线对称时两点连线与对称轴垂直，且两点的中点在对称轴上，再根 据平行四边形的对角线对应的向量等于两邻边对应向量的和得到点M 的轨迹方程； （2）利用函数在切点处的导数值为曲线的切线斜率，求出腰A1B1

41、的方程，分别令 y=0 和 y=1 求出与两底 的交点横坐标，利用梯形的面积公式表示出梯形A1B1C1D1面积，利用基本不等式求出其最小值 解答： 解： （1）如图，设 M（x，y） ，B（x0，2） ，又 E（0，b） 显然直线 l 的斜率存在，故不妨设直线l 的方程为 y=kx+b，则 而 BB的中点在直线 l 上， 故， 由于代入即得， 又 0 x02 点 M 的轨迹方程 （2）易知曲线 S 的方程为 （0 x2）（6 分） （2x2） 设梯形 A1B1C1D1的面积为 s，点 P 的坐标为 由题意得，点 Q 的坐标为（0，1） ，直线 B1C1的方程为 y=1 对于 有 直线 A1B1

42、的方程为 即： 令 y=1 得， 所以 当且仅当，即时，取“=”且 ， ，时， 令 y=0 得， ， ， s 有最小值为梯形 A1B1C1D1的面积的最小值为（15 分） 点评： 本题考查两点关于一条直线对称的充要条件；向量运算的几何意义；曲线在切点处的导数值为曲线的切线 斜率；利用基本不等式求函数的最值属于一道难题 24 （1）已知一个圆锥母线长为4，母线与高成 45角，求圆锥的底面周长 （2）已知直线 l 与平面 成 ，平面 外的点 A 在直线 l 上，点 B 在平面 上，且 AB 与直线 l 成 ， 若 =60，=45，求点 B 的轨迹； 若任意给定 和 ，研究点 B 的轨迹，写出你的结

43、论，并说明理由 考点： 圆锥曲线的轨迹问题；旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 专题： 综合题；压轴题 分析： （1）由圆锥的母线长为 4，母线与高成 45角，知高和底面半径与母线构成一个等腰直角三角形， 由勾股定 理可知底面半径为 2，由圆周公式 2R 可算出底面周长 （2）设 l=C，点 A 在平面 上的射影为点 O建立空间直角坐标系， 设|AC|=a，有 A（0，0，asin60） ， C（0，acos60） 设 B（x，y，0） ，则=（0，acos60，asin60） 又由 =（x，y，asin60） 所以 2 |cos45，知acos60y+a sin60=a， 平方整理得，由此知点 B

44、的轨迹 设 l=C，点A 在平面 上的射影为点 O如图建立空间直角坐标系，设|AC|=a，有 A（0，0，asin） ， C（0，acos） ， （0 asin） 所以 |cos=a 222222 ） 设 B（x，y，0） ，则（6 分） 由 =（0，acos，asin） =（x，y， cos知 cos x +（cos cos ） 时，点B 的轨迹为圆；当时，点B 的轨 2222 y +a ysinsin2+a sin （cos sin ）=0故当= 迹为椭圆；当 =时，点 B 的轨迹为抛物线；当 时，点 B 的轨迹为双曲线 解答： 解： （1）圆锥的母线长为 4，母线与高成 45角， 高和底

45、面半径与母线构成一个等腰直角三角形， 即高和底面半径长度一样， 则由勾股定理可知底面半径为2， 则由圆周公式 2R 可算出底面周长 4； （2 分） （2）设 l=C，点 A 在平面 上的射影为点 O如图建立空间直角坐标系， 设|AC|=a，有 A（0，0，asin60） ，C（0，acos60） 设 B（x，y，0） ，则=（0，acos60，asin60） =（x，y，asin60） 又 2 |cos45=a （11 分） 22222222 acos60y+a sin60=a 22 平方整理得 cos 45x +（cos 45cos 60）y +a ysin60sin120+a sin 6

46、0（cos 45sin 60）=0 即， 点 B 的轨迹椭圆；（4 分） 设 l=C，点 A 在平面 上的射影为点 O如图建立空间直角坐标系， 设|AC|=a，有 A（0，0，asin） ，C（0，acos） ， （0 acos，asin） =（x，y，asin） 又 acosy+a sin=a 222222 2 ） 设 B（x，y，0） ，则（6 分）=（0， |cos=acos （11 分） 2222 平方整理得 cos x +（cos cos ）y +a ysinsin2+a sin （cos sin ）=0 22 i当 cos cos =0，即 = 时，上式为抛物线方程； 22 ii当

47、 cos cos 0，即 时，上式为椭圆方程； 22 iii当 cos cos 0，即 时，上式为双曲线方程 （14 分） 故当 = 当 当 = 时，点 B 的轨迹为圆； 时，点 B 的轨迹为椭圆； 时，点 B 的轨迹为抛物线； 当 时，点 B 的轨迹为双曲线（16 分） 点评： 第（1）题考查圆锥的性质和应用，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答 第（2）题考查圆锥曲线的轨迹的求法和判断，对数学思维的要求比较高，要求学生理解 “存在”、“恒成立”， 以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性综合性强，难度大，易出错 25已知椭圆 C 的中心在原点，一个焦点，且长轴长与短轴长的比是

48、（1）求椭圆 C 的方程； （2）若椭圆 C 在第一象限的一点P 的横坐标为 1，过点 P 作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB 分别交椭圆 C 于另外两点 A，B，求证：直线 AB 的斜率为定值； （3）求 PAB面积的最大值 考点： 椭圆的标准方程；直线的斜率；直线与圆锥曲线的综合问题 专题： 压轴题 分析： （1）待定系数法求椭圆的方程 （2）设出 A、B 坐标，利用一元二次方程根与系数的关系，求出A、B 横坐标之差，纵坐标之差，从而求 出 AB 斜率 （3）设出 AB 直线方程，与椭圆方程联立，运用根与系数的关系求AB 长度，计算 P 到 AB 的距离，计算 PAB面积， 使用基本不

49、等式求最大值 解答： 解： （）设椭圆 C 的方程为 由题意，解得 a =4，b =2 22 所以，椭圆 C 的方程为故点 P（1，） （）由题意知，两直线PA，PB 的斜率必存在，设PB 的斜率为 k， 则 PB 的直线方程为 由得， 设 A（xA，yA） ，B（xB，yB） ，则，同理可得 则， 所以直线 AB 的斜率为定值 （）设 AB 的直线方程为，由得 由 由椭圆的方程可得点P（1， 由两点间的距离公式可得 ，得 m 8此时 2 ， ， ， ） ，根据点到直线的距离公式可得P 到 AB 的距离为 = 故= = 2 = 因为 m =4 使判别式大于零，所以当且仅当m=2 时取等号，所以

50、 PAB面积的最大值为 点评： 直线与圆锥曲线的综合问题，注意应用一元二次方程根与系数的关系，式子的化简变形，是解题的难点和 关键 26已知点B（0，1） ，A，C 为椭圆上的两点， ABC 是以 B 为直角顶点的直角三角形 （I）当 a=4 时，求线段 BC 的中垂线 l 在 x 轴上截距的取值范围 （II） ABC 能否为等腰三角形？若能，这样的三角形有几个？ 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质 专题： 综合题；压轴题；圆锥曲线中的最值与范围问题 分析： 2 （I）依题意，可知椭圆的方程为：+y =1，设 C（4cos，sin） ，可求得直线 l 的方程为 y= x+，令 y

51、=0 得 x=cos（cos0） ，利用余弦 cos 的有界性 即可求得线段 BC 的中垂线 l 在 x 轴上截距的取值范围； （II）当等腰直角三角形 ABC 的两条腰 AB 与 BC 不关于 y 轴对称时，设出 AB 的方程为 y=kx+1（k0） ， BC 的方程为 y= x+1，利用直线与方程与椭圆方程联立，利用等腰直角三角形ABC 中的两腰|AB|=|BC|， 借助基本不等式即可求得a 的取值范围；同理可求两条腰AB 与 BC 关于 y 轴对称时 a 的取值范围 解答： 解： （I）a=4， 椭圆的方程为：+y =1，故 B（0，1） ， 2 设 C（4cos，sin） ， 则 BC

52、 的中点 M（2cos， BC 的斜率 kBC=， =， （x2cos） ， ） ， 线段 BC 的中垂线 l 的斜率 k= 直线 l 的方程为：y= y=x+， 令 y=0 得：x=cos（cos0） 1cos1 且 cos0， x=cos且 x0， ，0）（0，线段 BC 的中垂线 l 在 x 轴上截距的取值范围为 （II）当等腰直角三角形 ABC 的两条腰 AB 与 BC 不关于 y 轴对称时，作图如右， 设此时过 B（0，1）的 AB 的方程为 y=kx+1（k0） ，则 BC 的方程为 y= x+1， 由得： （a k +1）x +2a kx=0， 2 222 设该方程两根为 x1，

53、x2，则 x1+x2=，x1x2=0， 则|AB|= =|x1x2| = =|， 同理可求，|BC|=|=|， |AB|=|BC|， | 3 |= 2 22 |， 约分后整理得：k a k +a k1=0， 22 即 a k（k1）=（k1） （k +k+1） ， 当 k=1 时，AB 的方程为 y=x+1，BC 的方程为 y=x+1，此时两直线关于 y 轴对称，与所设不符，故 k1； a = 2 2 =k+ +13（当且仅当 k=1 时取等号） ，又 k1， a 3， a，即当 a时，如图的不关于 y 轴对称等腰直角三角形 ABC 存在， 又不关于 y 轴对称的还有另一个，关于 y 轴对称的

54、必有一个， 因此，当 a时，以 B 为直角顶点的等腰三角ABC 共三个 当 1a时，以 B 为直角顶点的等腰三角ABC 只有一个，此时两腰关于y 轴对称 点评： 本题考查椭圆的性质，着重考查椭圆的参数方程的应用，考查直线的点斜式、截距的综合应用，突出考查 直线与圆锥曲线的位置关系，考查转化思想、方程思想、分类讨论思想的综合应用，考查逻辑思维、创新 思维、综合运算能力，属于难题 27如图，P 是抛物线 C：x =2y 上一点，F 为抛物线的焦点，直线l 过点 P 且与抛物线交于另一点Q，已知P（x1， y1） ，Q（x2，y2） （1）若 l 经过点 F，求弦长|PQ|的最小值； （2）设直线

55、l：y=kx+b（k0，b0）与 x 轴交于点 S，与 y 轴交于点 T 求证： 2 求的取值范围 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题 专题： 综合题；压轴题 分析： （1）由抛物线的方程求出抛物线的焦点，写出过焦点的直线l 的方程，和抛物线方程联立后化为关于x 的 一元二次方程，利用根与系数关系求出P，Q 的横坐标的和，借助于抛物线的定义把弦长|PQ|转化为两点横 坐标的代数式，利用不等式求弦长|PQ|的最小值； （2）分别过 P，Q 作 PPx 轴，QQx 轴，利用平行线截线段成比例定理把要证的等式的左边转化为 直线在 y 轴上的截距与点的纵坐标的比，从而得到要证得结论； 联立，消去 x，得

56、 y 2（k +b）y+b =0，利用根与系数关系得到P，Q 两点的纵坐标的和与积， 的取值范围 222 结合基本不等式代入后得到结论，或利用分类讨论的方法求解 解答： （1）解：F 为抛物线的焦点， 设直线， 联立，得 x 2kx1=0（） 2 则|PQ|= 2 由（）得 x1+x2=2k，带入上式得|PQ|=2k +22，当仅当 k=0 时|PQ|的最小值为 2； （2）证明：如图， 分别过 P，Q 作 PPx 轴，QQx 轴，垂足分别为 P，Q， 则 联立 则 （方法 1） 而 ，消去 x，得 y 2（k +b）y+b =0（） 222 而 y1，y2可取一切不相等的正数的取值范围为（2

57、，+） （方法 2） 当 b0 时，上式=； 当 b0 时，上式= 2 2 由（）式0 得 k +2b0 即 k 2b 于是 综上，的取值范围为（2，+） 点评： 本题考查了直线与圆锥曲线的综合题，考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，直线与圆锥 曲线关系问题，常采用直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系求解，这是处理这类问题的最为常用 的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是难题 28过点 F（0，1）作直线 l 与抛物线 x =4y 相交于两点 A、B，圆 C：x +（y+1） =1 （1）若抛物线在点 B 处的切线恰好与圆 C 相切，求直线

58、 l 的方程； 222 （2）过点 A、B 分别作圆 C 的切线 BD、AE，试求|AB| |AE| |BD| 的取值范围 222 考点： 圆与圆锥曲线的综合 专题： 计算题；综合题；压轴题 分析： （1）先求抛物线过点B 的切线方程，利用点B 处的切线恰好与圆C 相切及点 B 在抛物线即可求得点B 坐 标，从而可求直线方程； 2 （2）由已知，直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为：y=kx+1，与x =4y 联立，再分别表示出各线段长， 222 即可求得|AB| |AE| |BD| 的取值范围 解答： 解： （1）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） 由 x =4y，得 2 ，则过点 B 的切线方程为： 由已知：点 B 处的切线恰好与圆 C 相切， 直线 l 的方程为： ，即点 B 坐标为， （） 法一：由已知，直线 l 的斜率存在，则设直线l 的方程为：y=kx+1， 22 联立 x =4y，得 x 4kx4=0，x1+x2=4k，x1x2=4 222 x1+x2=16k +8 22222 |AB| |AE| |BD| =（22k ）x1x24k（x1+x2）