高中数学题库B函数对数与对数函数

1、已知：f x ln 1 xln1 x. （1）求f (0);（2）判断此函数的奇偶性;（3）若f a ln2 ，求a的值. 答案：答案： （1）因为f x ln 1 xln1 x 所以f (0)=ln(1 0) ln(10) 00 0 （2）由1 x 0，且1 x 0 知1 x 1 所以此函数的定义域为： （-1，1） 又f (x) ln(1 x) ln(1 x) (ln(1 x) ln(1 x) f (x) 由上可知此函数为奇函数. （3）由f a ln2 知ln1 aln1 a ln 1 a 1且 1 a ln2得 1 a 1 a11 2 解得a 所以a的值为： 31 a3 来源：09 年

2、湖北宜昌月考一 题型：解答题，难度：中档阅读下列文字，然后回答问题： 对于任意实数x，符号x表示x的整数部分，即x是不超过x的最大整数” 。在实数 轴 R（箭头向右)上x是在点x左侧的第一个整数点，当x是整数时x就是x。这个函数 x叫做“取整函数” ，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。 从x的定义可得下列性质：x1x x x1 与x有关的另一个函数是x，它的定义是x x-x , x称为x的“小数部分”， 这也是一个很常用的函数。 问题根据上文可知：x的取值范围是； -5.2=_； 问题求log21log22log23log24 log21024的和。 答案：答案： 问题： x的取值范围是

3、0 , 1 5.2 =6 问题： 1 N 2 0 2 1 2 N 2 23 2 2 N 2 原式01(222)2(2322) 9(21029)10 log2N 9 29 N 210 10 10 N 2 =9210(29 28 2)10 8204 来源：1 题型：解答题，难度：较难 定义在 R 上的单调函数 f(x)满足 f(3)=log 2 3 且对任意 x，yR 都有 f(x+y)= f(x)+ f(y) (1)求证 f(x)为奇函数； (2)若 f(k3 x)+f(3x-9x-2)0 对任意 xR 恒成立，求实数 k 的取值范围 答案：答案： (1)证明：f(x+y)=f(x)+ f(y)

4、(x，yR)， 令 x=y=0，代入式，得 f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0 令 y=-x，代入式，得 f(x-x)= f(x)+ f(-x)，又 f(0)=0，则有 0= f(x)+f(-x)即 f(-x)=-f(x)对任意 xR 成立，所以 f(x)是奇函数 (2)解：f(3)=log 2 30，即f(3)f(0)，又f(x)在 R 上是单调函数，所以f(x)在 R 上是增函 数，又由(1)f(x)是奇函数 f(k3 )-f(3 -9 -2)=f(-3 +9 +2)，k3 -3 +9 +2， 3 2x xxxxxxxx -(1+k)3 +20 对任意 xR 成立 x x

5、令 t=3 0，问题等价于 t2-(1+k)t+20 对任意 t0 恒成立 R 恒成立 命题意图与思路点拨： ：问题(2)的上述解法是根据函数的性质f(x)是奇函数且在 xR 上是增函数， 把问题转化成二次函数f(t)=t2-(1+k)t+2 对于任意 t0 恒成立 对二次函数 f(t) 进行研究求解本题还有更简捷的解法： 分离系数由 k3 x-3x+9x+2 得 上述解法是将 k 分离出来，然后用平均值定理求解，简捷、新颖 来源：1 题型：解答题，难度：较难 设 x，y，zR+，且 3x= 4y= 6z。 (1)求证： 111 ；(2) 比较 3x，4y，6z 的大小 zx2y 答案：答案：

6、 （1）证明：设 3x= 4y= 6z=k （k0），则x log 3 k, y log 4 k, y log 6 k 1111 log k 6log k 3 log k 2 zxlog 6 klog 3 k 111111 log k 4 log k 2 2y2log 4 k2zx2y 3111 4y 6z （2）同（1） ，3x ； 46log k 3log k 33log k 4log k 6 33 44 3x4y1 来源：1 题型：解答题，难度：较难 已知函数f (x)对任意实数 x 都有f (x 1) f (x) 1，且当x0,2时，f (x) | x 1|。 当x2k,2k 2(k

7、Z)时，求f (x)的表达式。 证明f (x)是偶函数。 试问方程f (x) log4 实数根，请说明理由。 1 0是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有 x 答案：答案： f(x)=x 2k 1(2kx2k+2, kZ) 略方程在1，4上有 4 个实根 来源： 题型：解答题，难度：较难 若函数 y=f(x)定义域、值域均为R，且存在反函数。若f(x)在(-,+ )上递增，求证： y=f-1(x)在(-,+ )上也是增函数。 答案：答案： 设 x1x2, 且 y1=f-1(x1), y2=f-1(x2)， 则 x1=f(y1), x2=f(y2)， 若 y1y2， 则因为 f(x)

8、在(-,+ ) 上递增，所以 x1x2与假设矛盾，所以 y1y2。 即 y=f-1(x)在(-,+ )递增。 来源：08 年数学竞赛专题三 题型：解答题，难度：中档 已知函数f(x) log 2 (x 1)，当点 M（x，y）在yf(x)的图象上运动时，点 N(x a1 ,2y)（aR）在函数yg(x)的图象上运动. 2 （）求yg(x)的解析式； （）若函数F (x)g(x)f(x)的极小值为 4，求函数F (x)的单调区间； （）若在x0,1时，g( x)f(2x)恒成立，求参数 a 的取值范围. 答案：答案： （）g(x) 2log 2 (2xa). （）F (x)的单调递增区间为0,)

9、，单调递减区间为( 1,0. （）a 23. 来源： 题型：解答题，难度：较难 设 f (x)=| lgx | ，实数 a,b 满足 0ab,f (a)=f (b)=2f ab ，求证： 2 （1）a4+2a2-4a+1=0,b4-4b3+2b2+1=0； （2）3b4. 答案：答案： 证明： （1）依题设，有|lga|=|lgb|，又 ab，故 lga=-lgb，可得 ab=1，从而 0a11，故 g(b)=b3-3b2-b-1=0 若 1b3，则 g(b)=b2(b-3)-(b+1)0. 仍与式矛盾。 综上所述，可知 3b0， 即 +-a， nn n 1 2 n 1 设 g(x)= +，

10、nnn 因为 g(x)在（-,+）递减， 所以当 x1 时，g(x)-a 恒成立等价于 g(1)-a, 即 化简得 xxx xxx 12n1 -a，+ nnn n11 n -a，所以 a 的取值范围是 a. n2 来源：08 年数学竞赛专题四 题型：解答题，难度：中档 当 a 为何值时，方程 lg2x =2 有一解，二解，无解？ lg(x a) 答案：答案： (x a)2 2x x a 方程等价于x 0. x 1 2 x2+2(a-1)x+a2=0. =4(1-2a) 0，所以 a . 1 2 1) 当 a 1111 时， 无解，（2） 当 a=时， x=不符方程。（3） 当 a0, x10

11、且x 1 ，有 2 个根。 22 若 a=0，则满足方程的解为x1=0, x2=2. ）当 0a ）当 a0 时，x2=1-a- 1 2a-a 且x 2 综上所述，当 a 1 。 2 11 时无解，当 0a0, a1，试求使方程 loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的 k 的取值范围。 答案：答案： (x ak)2 x2 a2 由对数性质知，原方程的解x 应满足x ak 0. x 2 a2 0 若、同时成立，则必成立， (x ak)2 x2a2 故只需解. x ak 0 由可得 2kx=a(1+k2)， a(1 k2)1 k2 当 k=0 时，无解；当 k0 时，的解是 x=，代

12、入得k. 2k2k 若 k1，所以 k0，则 k21，所以 0k0，所以 y=2, x=4. 所以方程组的解为 x1 1 x2 4 y ; y . 1 1 2 2 来源：08 年数学竞赛专题四 题型：解答题，难度：较难 已知 x1, ac1, a1, c1. 且 logax+logcx=2logbx，求证 c2=(ac)logab. 答案：答案： 由题设 logax+logcx=2logbx，化为以 a 为底的对数，得 log a x log a x2log a x ， log a clog a b 因为 ac0, ac1，所以 logab=logacc2，所以 c2=(ac)logab. 注

13、：指数与对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁。 来源：08 年数学竞赛专题四 题型：解答题，难度：中档 对于正整数 a, b, c(abc)和实数 x, y, z, w，若 ax=by=cz=70w，且 证：a+b=c. 1111 ，求 xyzw 答案：答案： 由 ax=by=cz=70w取常用对数得 xlga=ylgb=zlgc=wlg70. 所以 111111 lga=lg70,lgb=lg70,lgc=lg70， yxzwww 相加得 11 1 11111 ， (lga+lgb+lgc)=lg70，由题设 xyzww xyz 所以 lga+lgb+lgc=lg70，所以 l

14、gabc=lg70. 所以 abc=70=257. 若 a=1，则因为 xlga=wlg70，所以 w=0 与题设矛盾，所以 a1. 又 abc，且 a, b, c 为 70 的正约数，所以只有 a=2, b=5, c=7. 所以 a+b=c. 来源：08 年数学竞赛专题四 题型：解答题，难度：中档 设 p, qR+且满足 log9p= log12q= log16(p+q)，求 q 的值。 p 答案：答案： 令 log9p= log12q= log16(p+q)=t，则 p=9t , q=12t , p+q=16t， 44 所以 9t +12t =16t，即 1+ . 33 t2t 15q12

15、t4 . 记 x= t ，则 1+x=x2，解得x 2p9 3 又 t qq15 . 0，所以= 2pp 来源：08 年数学竞赛专题四 题型：解答题，难度：中档 已知集合M是满足下列性质的函数f x的全体：在定义域内存在x 0 ，使得 f x 0 1 f x 0 f 1成立。 1 是否属于集合M？说明理由； x a (2)设函数f x lg 2 M，求a的取值范围； x 1 (1)函数f x (3)设函数y 2图象与函数y x的图象有交点，证明：函数f x 2 x M 。 xx2 答案：答案： (1)若f x 2 111 2 1 x 0 x 0 1 0，M，在定义域内存在x 0 ，则 x 0

16、1x 0 x 方程x0 x01 0无解，f x 1 M。 x (2)f x lg aaaa M lg lglg ， 22 x21x 12 x1 1 a2x22ax2a1 0 1 a 2时，x ；a 2时，由 0，得 2 a2 6a 4 0 a 35,2 2,35。 a 3 5,35。 (3)f x 0 1 fx 0 f 1 2x01 x 0 12x0 x 0 3 2x02(x 0 1) 22 2 2x01x 0 1， 又函数y 2图象与函数y x的图象有交点，设交点的横坐标为a， a 则2 a 0 2x01 x x 0 1 0，其中x 0 a 1。 x2 f x 0 1 f x 0 f 1，即

17、f x 2 x M 。 来源：08 年高考探索性专题 题型：解答题，难度：中档 设 aR R ，试讨论关于 x 的方程 lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实数解的个数。 答案：答案： x 1 0 3 x 0 原方程等价于。 a x 0 (x 1)(3 x) a x 1 x 3 即等价于。 2 x 5x 3 a 5 13 令 y1=-x2+5x-3, y2=a, 问题转化为求抛物线弧y1=-x2+5x-3=x （1x0 且 a1, f(x)=loga(x+x21)(x1)， （1）求 f(x)的反函数 f-1(x)； nn3 3 （2）若 f-1(n)(nN N +)，求 a 的取

18、值范围。 2 答案：答案： （1）由知得 ay=x+x21，所以ay 1 x x21 x x21. 两式相加，得 x= 1 y -y 1 (a +a )，所以 f-1(x)=(ax+a -x ). 22 因为 x1, 所以x210, x+x211. 所以当 0a1 时，f-1(x)的定义域为0，+） 。 （2）当 nN N+，故 n0，由（1）可知，在 n f-1(n)中 a1，由 f-1(n) 3n3n 得 2 an an3n3n11 ，解之得 an3n. 所以a1，所以 1a3. 来源：08 年数学竞赛专题四 题型：解答题，难度：中档 f (x) lg(axbx)（a1b0） （1）求f

19、(x)的定义域； （2）判断f (x)在其定义域内的单调性； （3）若f (x)在（1，）内恒为正，试比较a-b与 1 的大小 答案：答案： a 1x0定义域为（0，） b xxxxxx （2）设x2 x1 0，a1b0a 2 a 1 b 1 b 2 b 2 b 1 （1）由a b 0，( ) 1， xx a b x ax2 ax2 ax1bx1 0 ax2bx2 ax1bx1 1 f (x 2 ) f (x 1) 0 f (x)在（0，）是增函数 （3）当x(1，)时，f (x) f (1)，要使f (x) 0，须f (1) 0， 来源： 题型：解答题，难度：中档 已知:lg2=0.3010

20、，lg3=0.4771，求:650是几位数 答案：答案： 650是39位数 来源： a-b1 题型：解答题，难度：中档 lg(6 x)lg(x 2)log 1 (x 2) （1）试画出由方程 （2）若函数 y=ax+ 10 lg2y 1 所确定的函数 y=f(x)图象。 2 1 与 y=f(x)的图象恰有一个公共点，求a 的取值范围。 2 答案：答案： 11 . 原方程可变为 lg(6-x)=lg2y， 22 111 由此得 y=(x-6)2. 注意到 y，故函数 y=f(x)=(x-6)2, x(2, 5) (5, 6)，其中图象 222 （1）易知 x(2, 6), y 是抛物线的一部分。

21、 （2）当直线 y=ax+ 115 经过点 A（2，8）时，a=，当直线 24 y=ax+ 115 1 经过点 B 5, 时，a=0，故当 0a时 24 2 与抛物线的 AB 弧恰有一个公共点。 11 a0,函数f(x)=( x )(e是自然对数的底,e2.718)是奇 2ae 函数. (1) (2) 求 a 的值; 求 f(x)的反函数 f-1(x). B1 y B2 B3 A1 A2OA3x 答案：答案： 1exa1e x a (1)解法解法 1 1f (x)是奇函数,f (x)= f (x),即( x )=( x ), 2ae2ae (a21)(exe x)=0,a21=0,a0,a =

22、1. 1 解法解法 2 2f (x)是 R R 上的奇函数,f (0)=a=0, a0,a =1. a 经验证知当 a =1 时, f (x)是奇函数. 11 (2)由(1)知 y=f (x)=(ex x ),e 2x 2yex1=0, 2e 2y2 y21 e yy21,Q ex 0,ex yy21, 2 x x ln(yy21)(yR),f (x)的反函数为 f1(x)=l n(y+ y2+1 )(xR R). 来源： 题型：解答题，难度：中档 m2x1m 若函数f (x) 为奇函数， 2x1 （1）确定m的值； （2） （文科）（文科）求函数f (x)的值域； （3） （理科）（理科）若

23、f (x) 1，求x的取值范围. 答案：答案： 1 函数的定义域x| x 0 2x1 11 由奇函数的定义，可知f (x) f (x) 0而m x m x 0 212 1 （1）因f (x) m 12x1 0 2m，（6 分）m x12 2 （2） （文科）（文科）Q x 02 1 1Q 2 1 0，1 2 1 0或2 1 0 xxxx 111111 x , x 22 1222 12 1 2 1 （文 12 分） 2 即函数的值域y | y 或y 11 x ，由f (x) 1 22 1 1111 可知 x 1即 x 22 12 12 （3） （理科）（理科）Qf (x) 从而2 1 0或2 1

24、 2x 0或x log 2 （理 12 分） xx3 来源：08 年高考武汉市联考一 题型：解答题，难度：中档 已知 a1, b1，且 lg(a+b)=lga+lgb，求 lg(a-1)+lg(b-1). 答案：答案： ab=(a+b),(a-1)(b-1)=1,故原式为 0. 来源：08 年数学竞赛专题四 题型：解答题，难度：容易 f(x)是定义在（1，+）上且在（1，+）中取值的函数，满足条件；对于任何x, y1 及 u, v0, f(xuyv)f(x) 1 4u 1 4vf(y)都成立，试确定所有这样的函数f(x). 答案：答案： 令 x=y1, u=v= k 0，得 2 1 f(xk)

25、kf(x). 1 令 y=x , r=，则f(y) rf(yr), 即 k k 由，可得f(x)kk=f(x). 令 f(e)=c1， 由 1 f(x)=f(elnx)=f(elnx) lnr ln x 1 ln x =f(e) 1 ln x=c 1 ln x. 另一方面，设 f(x)=c(c1)，由柯西不等式得 111 uln x vln(ulnx+vlny) 4ulnx4vln y 4uln x4vln y 所以c 11 4uln x4vln y y =1, 2 c 1 4u 11 uln xvln y 1 =c . ln xuyv ， 即 f(xuyv) f(x)f(x) 1 4v 综上

26、所述，f(x)=c 1 ln x(c1). 来源：08 年数学竞赛专题四 题型：解答题，难度：较难 已知 f（x）=log 1 3 x2 px q x2 mx 1 。是否存在实数 p、q、m，使 f（x）同时满足下列三个 条件：定义域为 R 的奇函数；在1，+）上是减函数；最小值是1。若存在，求 出 p、q、m；若不存在，说明理由。 答案：答案： f（x）是奇函数f（0）=0得 q=1（1 分） 又 f（x）=f（x）log 1 3 x2 px 1 x2 mx 1 =log 1 3 x2 px 1 x2 mx 1 x21 px x1 mx 2 = x21 mx x1 px 2 即（x2+1）2

27、p2x2=（x2+1）2m2x2 p2=m2若 p=m，则 f（x）=0，不合题意。故 p=m0 f（x）=log 1 3 x2 mx 1 x mx 1 2 （5 分） 由 f （x） 在1， +） 上是减函数， 令 g （x） = x2 mx 1 x2 mx 1 =1 2mx x2 mx 1 =1 2m 1 x m x 1 在1，+）上递增，在（，1也递增，只有m0 时，在1，+）上 g（x） x 递增，从而 f（x）递减。（7 分） 1 x=1 时，x 在（，1上取得最大值2，此时由 f（x）的最小值为1 得 x 2m g（x）的最大值为 3。1=3得 m=1，（10 分） m 2 从而

28、p=1存在 p=1，q=1，m=1。（12 分） x 来源： 题型：解答题，难度：中档 对于任意 nN N +(n1)，试证明： n+3n+nn=log2n+log3n+lognn。 答案：答案： 证明：首先考察等式右端，其形式启发我们设2k2 n 2k21,3k3 n 3k31， nkn n nkn1（k2, k3, knN N ） ，于是等式右端= k2+k3+kn。 再研究等式左端，作集合Am=1, 2, , mn (m=2, 3, , n)，易见 Am中有mn个元 素。 因为 1Am (m=2, 3, , n)， 所以 1 在所有 Am中出现了 n-1 次； 又 2Am (m=2, 3

29、, , k2)， 即 2 在这些集合中出现了k2-1 次；n 在这些集合中出现了 kn-1 次。这样，A2，A3， An的元素个数之和是(n-1)+(k2-1)+(kn-1)=k2+k3+kn，即 n+3n+mn= k2+k3+kn。 来源：08 年数学竞赛专题四 题型：解答题，难度：较难 已知函数f (x) loga 求 m 的值； 判断f（x）在区间(1,)上的单调性并加以证明； 当a 1,x(r,a 2)时，f (x)的值域是(1,)，求a与r的值。 1 mx 是奇函数(a x 1 0,a 1)。 答案：答案： 解： （1）m=13 分 （2）当a 1时,log a x 1 1x 1 l

30、og a 2, f (x)在(1,)上是减函数；7 分 x 1 1x 2 1 当 0a1 时，要使f (x)的值域是(1,)，则logax1 1， x1 x1(1a)xa1 a,即 0 ；而 x1x1 x a1，上式化为 a1 a1 0（10 分） x1 又f (x) loga x12 loga(1),当x1 时， f (x) 0. 当x 1时, f (x) 0. x1x1 因而，欲使f (x)的值域是(1,)，必须x 1，所以对不等式， r 1 a 1 a1 当且仅当1 x 时成立.12 分a2 ,解之,得r 1,a 23.14 分 a1a 1 a 1 来源： 题型：解答题，难度：较难 已知

31、函数f (x) lg(x a 2), x （1）当a 3时，求函数f (x)的定义域； （2） 当a(0,)时,求函数f (x)在x2,)上的最小值t(a)， 并求出当t(a) 0时 对应的实数 a 的值. 答案：答案： 解： （1）当a 3时, f (x) lg(x 33 2),由x 2 0 x(x 1)(x 3) 0， xx 解得x(1,0)(3,)为函数的定义域4 分 （2）设g(x) x aa 2(a 0,x 0),则g(x) 1 2 0得x a, xx 故当x(0,a)时,g(x) 0,g(x)在(0,a)单调递减, f (x)单调递减； 当x( a,)时,g(x) 0,g(x)在(

32、 a,)单调递增，f (x)单调递增6 分 当x a时,g(x) min 2 a 2,则f (x) min lg(2 a 2), 当0 a 2,即0 a 4时,g(x)在2,)单调递增,g(x) min 2 t(a) lg aa 2 , 22 a ;8 分 2 当 a 2,即a 4时,g(x) min g( a) 2 a 2,则t(a) lg(2 a 2) a lg ,0 a 4 10 分 t(a) 2 lg(2 a 2),a 4 a 0,则a 2(0,4); 2 9 若lg(2 a 2)0,则a 4,当t(a) 0时,a 212 分 4 若lg 注：单调性的证明也可用定义证明。 来源： 题型

33、：解答题，难度：中档 已知函数f (x) log a (x 1),g(x) 2log a (2x t)(t R),a 0,且a 1. （1）若 1 是关于 x 的方程f (x) g(x) 0的一个解，求 t 的值； （2）当0 a 1且t 1时，解不等式f (x) g(x)； （3）若函数F(x) a f (x)tx2 2t 1在区间1,2上有零点，求 t 的取值范围. 答案：答案： （1） 1 是方程 f(x)-g(x)=0 的解，loga2=loga(2+t)2, (2+t)2=2又t+20t+2= 2 t= 2 2. （2）t=-1 时，loga(x+1)loga(2x-1)2又0a0

34、xx 22 15 解集为：x| x 24 x+1(2x-1)24x2-5x00 x （3）解法一：F(x)=tx2+x-2t+2 由 F(x)=0 得：t= t= x 2 (x 2且-1x2） x2 2 x 2 (x 2)2 4(x 2) 2 设 U=x+2 ( 1U4 且 U2 则 t= 2) U 2U 4U 2 1 2 U 4 U U2 22 令(U)=U (U) 2UU 当1U 2时，(U)是减函数， 当 2 U 4时，(U)是增函数， 且( 2) 2 2,(1) 3,(4) 2 2 (U) 9 . 2 9 且(U)4. 2 122 4-U 0 或 04-U 42 2, 2UU 22 .

35、 4 t 的取值范围为：t 2或t 解法二：若 t=0,则 F(x)=x+2 在(1,2上没有零点. 下面就 t0 时分三种情况讨论： 方程 F(x)=0 在(1,2上有重根 x1=x2， 则=0，解得：t= 22 4 又 x1=x2= 221 (1,2，t=. 42t F(x)在(1,2上只有一个零点，且不是方程的重根，则有F(-1)F(2)0 解得：t1 又经检验：t=-2 或 t=1 时，F(x)在(1,2上都有零点； t-2 或 t1. 方程 F(x)=0 在(1,2上有两个相异实根，则有： t0t00 -1 2211 t 1 2 或-10F(-1)0F(2)0 综合可知：t 的取值范

36、围为t 2或t 22 . 4 来源：09 年福建师大附中月考一 题型：解答题，难度：较难 解关于x的方程：loga(x-x-2)=loga(x- 2 2 )+1(a0 且a1). a 答案：答案： 解：原方程可化为 loga(x2-x-2)=loga(ax-2)2 分 4 分 8 分 ax 2 0 2 x x2 ax 2 由得 x=a+1 或 x=0,当 x=0 时，原方程无意义，舍去. a 2a 2 0 a 1当 x=a+1 由得 a 0 10 分 12 分a1 时，原方程的解为x=a+1 来源： 题型：解答题，难度：中档 2 已知函数f (x) lg 3 ( 3 1)tan x tan x

37、. （1）求函数f (x)的定义域； （2）若是两个膜长为 2 的向量 a a，b b 的夹角，且不等式f (x) lg(1sin)对于定 义域内的任意实数 x 恒成立，求|a a+b b|的取值范围 答案：答案： 2 （1）若原函数有意义，则 3 ( 3 1)tan x tan x 0,解之得 3 tan x 1 故k 3 x k 4 (k Z),故函数f (x)的定义域为(k 3 ,k 4 )(k Z) 3 2 （2）因为x(k 3 ,k 4 )(k Z时， 0 3 ( 3 1)tan x tan2x 1 3 ).要使f (x) lg(1sin)恒成立，只需 2 故函数 f（x）的最大值为

38、lg(1 lg(1sin) lg(1 故 33311 ).故sin, cos 223322 | a b |2| a |2 |b |22| a |b | cos 4 4 222cos 8 cos 212， | a b |的取值范围是2， 2 3 故| a b | 的取值范围是4， 来源：1 题型：解答题，难度：中档 已知a 0且a 1,解关于x的不等式 1 2 . log a x 1 答案：答案： 原不等式等价于 2 log a x 1 0 2 分 log a x 1 即(log a x 1)(2 log a x 1) 04 分 1 2 1 log a x 18 分 2 当0 a 1时，原不等式

39、的解集为x a x a； 当a 1时，原不等式的解集为x a 1 2 x a. .12 分 来源： 题型：解答题，难度：较难 已知函数 f(x)是 y= 243x 1(xR R)的反函数，函数 g(x)的图象与函数 y=的图 x110 x1 象关于直线 y=x1 成轴对称图形，记 F(x)=f(x)+g(x). (1)求函数 F(x)的解析式及定义域; (2)试问在函数 F(x)的图象上是否存在两个不同的点A，B，使直线 AB 恰好与 y 轴垂直. 若存在，求出 A，B 坐标;若不存在，说明理由. 答案：答案： .解: (1)由 y= 1 y2 1，得:x=lg. x1 y10 1 f(x)=

40、lg 1 x43x ，由 y=， 1 xx1 得 y+3= 111 关于 y=x1 对称的曲线方程 x1+3=，得 y=g(x). 4 分 yx1x2 F(x)=lg 1 x1 +，定义域(1，1). 1 xx2 6 分 (2) 设 F (x)上不同的两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)连线与 y 轴垂直，设1x1x21， 则有 y1=y2，又 y1y2=F(x1)F(x2)=lg 1 x 1 1 x 2 11 lg + 1 x 1 x 1 21 x 2 x 2 2 10 分=lg( 1 x 2 1 x 1 x 2 x 1 )+. 1 x 1 1 x 2 (x 1 2)(x 2 2) 由1

41、x1x21， 1 x 2 1 x 1 1，1，x1x20，(x1+2)(x2+2)0， 1 x 1 1 x 2 lg( 1 x 2 1 x 1 )0，y1y2. 1 x 1 1 x 2 不存在直线 AB 与 y 轴垂直. ( F(x)在(1，1)上单调递减)14 分 来源： 题型：解答题，难度：较难 已知函数 y=lg(x+2x+a) （1）若函数定义域为 R，求a的取值范围； （2）若函数的值域为 R，求a的取值范围； （3）若函数的值域为 0，+，求a的取值范围. 2 答案：答案： 解： （1）a 1（2）a 1（3）a 2 来源： 题型：解答题，难度：较难 已知函数f (x) log (

42、ax a 2 13 x )在1，上恒正，求实数a的取值范围。 22 答案：答案： 111 2 x 图像的对称抽x （0， 1 ）ax 222a 13 2 y ax x 在1，上递增。 22 333 ，上递增，由f (1) log(a )0，得a ； 若 a1，则f (x)在1 a 222 339 1，则f (x)在1，上递减，由f ( ) log(a 1)0， 若0a a 224 948 1，即 a 。 得0 a 1 499 1 83 （ ，） （ ， ）。 a 2 92 首先由f (1)有意义得a ， y 来源：09 年甘肃兰州月考一 题型：解答题，难度：中档 已知定义在 R 上的偶函数 y=f (x)在0,上单调递减，且f ( ) 0，则满足 1 2 f (log 1 x)0，故-1xx1. 利用图象可知，满 log2x=2 -x 的 x 值应是（1，2）内的某个值。 来源：08 年数学竞赛专题四 题型：填空题，难度：中档 函数 f(x)= 8