高考真题文科数学解析汇编

1、20122012 年高考真题文科数学解析汇编：导数年高考真题文科数学解析汇编：导数 1.【2012 高考重庆文 8】设函数f (x)在R上可导，其导函数f (x)，且函数f (x)在x 2处取得极小值，则函数 y xf (x)的图象可能是 【答案】C 2.【2012 高考浙江文 10】设 a0，b0，e 是自然对数的底数 ab A. 若 e +2a=e +3b，则 ab ab B. 若 e +2a=e +3b，则 ab ab C. 若 e -2a=e -3b，则 ab ab D. 若 e -2a=e -3b，则 ab 【答案】A 2 +lnx 则（） x 11 Ax=为 f(x)的极大值点 B

2、x=为 f(x)的极小值点 22 3.【2012 高考陕西文 9】设函数 f（x）= Cx=2 为 f(x)的极大值点 Dx=2 为 f(x)的极小值点 【答案】D. 4.【2012 高考辽宁文 8】函数 y= 1 2 x x 的单调递减区间为 2 （A） （1,1（B） （0,1（C.）1，+）（D） （0，+） 【答案】【答案】B 5.【2102 高考福建文 12】已知 f（x）=x-6x+9x-abc，abc，且 f（a）=f（b）=f（c）=0.现给出如下结论： f（0）f（1）0；f（0）f（1）0；f（0）f（3）0；f（0）f（3）0. 其中正确结论的序号是 A. B. C. D

3、. 【答案】C 6.【2012 高考辽宁文 12】已知 P,Q 为抛物线 x =2y 上两点，点 P,Q 的横坐标分别为 4，2，过 P,Q 分别作抛物线的切 2 线，两切线交于点 A，则点 A 的纵坐标为 (A) 1 (B) 3 (C) 4 (D)8 【答案】【答案】C 7.【2012 高考新课标文 13】曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为_ 【答案】y 4x 3 8.【2012 高考上海文 13】已知函数y f (x)的图像是折线段ABC，其中A(0,0)、B( ,1)、C(1,0)，函数y xf (x) （0 x 1）的图像与x轴围成的图形的面积为 【答案】 1 2

4、1 。 4 9【2102 高考北京文 18】 （本小题共 13 分） 23 已知函数 f(x)=ax +1(a0),g(x)=x +bx。 若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求a,b 的值； 当 a=3,b=-9 时，若函数 f(x)+g(x)在区间k,2上的最大值为 28，求 k 的取值范围。 【答案】 10.【2012 高考江苏 18】 （1616 分）分）若函数y f (x)在x x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y f (x)的极值 点。 已知a，b是实数，1 和1是函数f (x) x3ax2bx的两个极值点 （1）求a和b的值； （2

5、）设函数g(x)的导函数g(x) f (x) 2，求g(x)的极值点； （3）设h(x) f ( f (x)c，其中c2， 2，求函数y h(x)的零点个数 【答案】【答案】解： （1）由f (x) x3ax2bx，得f(x) 3x22axb。 1 和1是函数f (x) x3ax2bx的两个极值点， f(1)3 2a b=0，f(1)32a b=0，解得a=0，b= 3。 （2） 由（1）得，f (x) x33x， g(x) f (x)2=x33x2=x12x2，解得x 1 =x 2 =1 ，x 3 = 2。 当x 2时，g(x)0；当2 x0， x= 2是g(x)的极值点。 当2 x1时，g

6、(x)0，x=1不是g(x)的极值点。 g(x)的极值点是2。 （3）令f (x)=t，则h(x) f (t)c。 先讨论关于x的方程f (x)=d根的情况：d 2, 2 当d =2时， 由 （2 ） 可知，f (x)= 2的两个不同的根为 I 和一 2 ， 注意到f (x)是奇函数， f (x)=2 的两个不同的根为一和 2。 当d 0，f (1)d=f (2)d= 2d 0，于是f (x)是单调增函数，从而f (x) f (2)=2。 此时f (x)=d在2， 无实根。 当x1 2， 时 f(x)0，于是f (x)是单调增函数。 又f (1)d 0，y=f (x)d的图象不间断， f (x

7、)=d在（1 , 2 ）内有唯一实根。 同理，f (x)=d在（一 2 ，一 I ）内有唯一实根。 当x1 ， 1时，f(x)0，f (1)d 0，y=f (x)d的图象不间断， f (x)=d在（一 1，1 ）内有唯一实根。 因此，当d =2时，f (x)=d有两个不同的根x 1 ，x 2 满足x 1 =1，x 2 =2；当d 2时 i=3, 4, 5。f (x)=d有三个不同的根x 3，x1 ，x 5 ，满足x i 2， 现考虑函数y h(x)的零点： t2=2。( i ）当c =2时，f (t)=c有两个根t1，t2，满足t1=1， 而f (x)=t1有三个不同的根，f (x)=t2有两

8、个不同的根，故y h(x)有 5 个零点。 i=3, 4, 5。( 11 ）当c 2时，f (t)=c有三个不同的根t3，t4，t5，满足t i 2， 而f (x)=tii=3, 4, 5有三个不同的根，故y h(x)有 9 个零点。 综上所述，当c =2时，函数y h(x)有 5 个零点；当c 2时，函数y h(x)有 9 个零点。 【考点】【考点】函数的概念和性质，导数的应用。 【解析】【解析】 （1）求出y f (x)的导数，根据 1 和1是函数y f (x)的两个极值点代入列方程组求解即可。 （2）由（1）得，f (x) x33x，求出g(x)，令g(x)=0，求解讨论即可。 （3）比

9、较复杂，先分d =2和d 0. （I）求函数f (x)的单调区间； （II）若函数f (x)在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a 的取值范围； （III）当 a=1 时，设函数f (x)在区间t,t 3上的最大值为 M（t） ，最小值为 m（t）,记 g(t)=M(t)-m(t),求函数 g(t) 在区间3,1上的最小值。 【答案】 12.【2012 高考广东文 21】 （本小题满分 14 分） 设0 a 1，集合A xR R | x 0，B xR R|2x 3(1a)x6a 0，D AI B. （1）求集合D（用区间表示） （2）求函数f (x) 2x 3(1a)x 6ax在D内的极值点.

10、 【答案】 【解析】 （1）令g(x) 2x 3(1a)x6a， 2 32 2 9(1a)248a 9a230a9 3(3a1)(a3)。 当0 a 1 时， 0， 3 3a39a230a93a39a230a9 方程g(x) 0的两个根分别为x 1 ，x2， 44 所以g(x) 0的解集为 3a39a230a93a39a230a9 (,)U (,)。 44 因为x 1,x2 0，所以 3a39a230a93a39a230a9 )U (,)。D AI B (0, 44 1 a 1时， 0，则g(x) 0恒成立，所以D AI B (0,)， 3 1 综上所述，当0 a 时， 3 当 3a39a23

11、0a93a39a230a9 )U (,)；D (0, 44 当 1 a 1时，D (0,)。 3 2 （2）f (x) 6x 6(1a)x6a 6(xa)(x1)， 令f (x) 0，得x a或x 1。 当0 a 1 时，由（1）知D (0,x 1)U (x2 ,)， 3 2 因为g(a) 2a 3(1a)a6a a(3a) 0，g(1) 23(1a)6a 3a1 0， 所以0 a x 1 1 x 2 ， 所以f (x), f (x)随x的变化情况如下表： x f (x) f (x) (0,a)a 0 极大值 (a,x 1) (x 2 ,) 所以f (x)的极大值点为x a，没有极小值点。 当

12、 1 a 1时，由（1）知D (0,)， 3 所以f (x), f (x)随x的变化情况如下表： x f (x) f (x) (0,a) a 0 极大值 (a,1) 1 0 极小值 (1,) 所以f (x)的极大值点为x a，极小值点为x 1。 综上所述，当0 a 当 1 时，f (x)有一个极大值点x a，没有极小值点； 3 1 a 1时，f (x)有一个极大值点x a，一个极小值点x 1。 3 33 ，(aR),且在,0, 上的最大值为 22 2 13.【2102 高考福建文 22】 （本小题满分 14 分） 已知函数f (x) axsin x （1）求函数 f(x)的解析式； (2)判断

13、函数 f(x)在（0，）内的零点个数，并加以证明。 【答案】 14.【2012 高考四川文 22】(本小题满分 14 分) an 已知a为正实数，n为自然数，抛物线y x 与x轴正半轴相交于点A，设f (n)为该抛物线在点A处的 2 切线在y轴上的截距。 2 （）用a和n表示f (n)； （）求对所有n都有 f (n)1n 成立的a的最小值； f (n)1n1 （）当0 a 1时，比较 111 与 f (1) f (2)f (2) f (4)f (n) f (2n) 6g f (1) f (n1) 的大小，并说明理由。 f (0) f (1) 命题立意：本题主要考查导数的应用、不等式、数列等基

14、础知识，考查基本运算能力、逻辑推理能力、分析问题与解 决问题的能力和创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化由特殊到一般等数学思想 【答案】 【解析】 15.【2012 高考湖南文 22】本小题满分 13 分） x 已知函数 f(x)=e -ax，其中 a0. （1）若对一切 xR，f(x) 1 恒成立，求 a 的取值集合；z （2)在函数 f(x)的图像上去定点 A（x1, f(x1)）,B(x2, f(x2)(x10 时，(xk) f(x)+x+10，求k的最大值 【答案】 17.【2012 高考重庆文 17】 （本小题满分 13 分）已知函数f (x) ax bxc在x

15、2处取得极值为c16 （1）求 a、b 的值； （2）若f (x)有极大值 28，求f (x)在3,3上的最大值 32 【解析】 （）因f (x) ax bxc故f (x) 3ax b由于f (x)在点x 2处取得极值 3 f (2) 012ab 012ab 0 a 1 故有即，化简得解得 f (2) c168a2bc c164ab 8b 12 （）由（）知 f (x) x 12xc，f (x) 3x 12 令f (x) 0，得x 1 2,x 2 2当x(,2)时，f (x) 0故f (x)在(,2)上为增函数； 当x(2,2)时，f (x) 0故f (x)在(2,2)上为减函数 当x(2,)

16、时f (x) 0，故f (x)在(2,)上为增函数。 由此可知f (x)在x 1 2 处取得极大值f (2) 16c，f (x)在x2 2处取得极小值f (2) c16由题设条件 知16c 28得c 12此时f (3) 9c 21, f (3) 9c 3，f (2) c16 4因此f (x)上3,3的最小 值为f (2) 4 18.【2012 高考湖北文 22】 （本小题满分 14 分） 设函数，n 为正整数，a,b 为常数，曲线 y=f(x)在（1，f(1)）处的切线方程为 x+y=1. （1）求 a,b 的值； （2）求函数 f(x)的最大值 （3）证明：f(x) 32 1 . ne 【答

17、案】 【解析】本题考查多项式函数的求导，导数的几何意义，导数判断函数的单调性，求解函数的最值以及证明不等式等 的综合应用.考查转化与划归，分类讨论的数学思想以及运算求解的能力 . 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方 程，导数的应用一般用来求解函数的极值，最值，证明不等式等 . 来年需注意应用导数判断函数的极值以及求解极值， 最值等；另外，要注意含有e ,ln x等的函数求导的运算及其应用考查. 19.【2012 高考安徽文 17】 （本小题满分 12 分） 设定义在（0，+）上的函数f (x) ax （）求f (x)的最小值； （）若曲线y f (x)在点(1,f (1)处的切线方程为y x

18、 1 b(a 0) ax 3 x，求a,b的值。 2 【解析】 （I） （方法一）f (x) ax 当且仅当ax 1(x 11 b 2 axgb b2， axax 1 )时，f (x)的最小值为b2。 a （II）由题意得：f (1) 313 ab ， 2a2 113 f (x) a 2 f (1) a， axa2 由得：a 2,b 1。 20.【2012 高考江西文 21】 （本小题满分 14 分） 已知函数 f(x)=（ax +bx+c）e 在0,1上单调递减且满足 f(0)=1，f(1)=0. 2x （1）求 a 的取值范围； （2）设 g(x)= f(-x)- f(x)，求 g(x)在

19、0,1上的最大值和最小值。 【答案】 【解析】【解析】 21.【2012 高考辽宁文 21】(本小题满分 12 分) 设f (x) ln xx 1，证明： 3 （ x1） 2 9(x1) ()当1 x 3时，f (x) x5 ()当 x1 时，f (x) 【答案】【答案】 22.【2012 高考浙江文 21】 （本题满分 15 分）已知 aR，函数f (x) 4x 2axa （1）求 f(x)的单调区间 （2）证明：当 0 x1 时，f(x)+ 2a0. 【答案】 3 【解析】 （1）由题意得f (x) 12x 2a， 当a 0时，f (x) 0恒成立，此时f (x)的单调递增区间为,. 当a

20、 0时，f (x) 12(x 2 aaaa )(x)，此时函数f (x)的单调递增区间为, . 66 66 33 (2)由于0 x 1，当a 2时，f (x) a2 4x 2ax2 4x 4x2. 当a 2时，f (x) a2 4x 2a(1 x)2 4x 4(1 x)2 4x 4x2. 333 设g(x) 2x32x1,0 x 1，则g(x) 6x22 6(x 则有 x 33 )(x). 33 3 3 ,1 + 增 10 3 0, 3 - 减 3 3 0 极小值 g(x) g(x) 11 所以g(x) min g( 34 3 ) 1 0. 39 当0 x 1时，2x32x1 0. 故f (x

21、) a2 4x 4x2 0. 23.【2012 高考全国文 21】 （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效） 已知函数f (x) 3 1 3x x2 ax 3 （）讨论f (x)的单调性； （）设f (x)有两个极值点x1,x2，若过两点(x1, f (x1)，(x2, f (x2)的直线l与x轴的交点在曲线y f (x)上，求 a的值。 24.【2012 高考山东文 22】 (本小题满分 13 分) 已知函数f (x) ln x k e=2.71828是自然对数的底数)， 曲线y f (x)在点(1,f (1)处的切线与x轴平(k为常数， ex 行. ()求k的值； ()求f (x)的单调区间； ()设g(x) xf (x)，其中f (x)为f (x)的导函数.证明：对任意x 0,g(x) 1e2. 1 ln x k x 【答案】(I)f (x) ， ex 由已知，f (1) 1 k 0，k 1. e 1