微波技术与天线第4章

1、4.1 等效传输线 4.2 单口网络 4.3 双端口网络的阻抗与转移矩阵 4.4 散射矩阵与传输矩阵 4.5 多端口网络的散射矩阵 习题,第4章 微波网络基础,1. 等效电压和等效电流 为定义任意传输系统某一参考面上的电压和电流, 作以下规定: 电压U(z)和电流I(z)分别与Et和Ht成正比; 电压U(z)和电流I(z)共轭乘积的实部应等于平均传输功率; 电压和电流之比应等于对应的等效特性阻抗值。 ,4.1 等效传输线,式中ek(x, y)、hk(x, y)是二维实函数, 代表了横向场的模式横向分布函数, Uk(z)、Ik(z)都是一维标量函数, 它们反映了横向电磁场各模式沿传播方向的变化规

2、律, 故称为模式等效电压和模式等效电流。值得指出的是这里定义的等效电压、等效电流是形式上的, 它具有不确定性, 上面的约束只是为讨论方便, 下面给出在上面约束条件下模式分布函数应满足的条件。 ,(4-1-1),对任一导波系统, 不管其横截面形状如何（双导线、 矩形波导、 圆形波导、 微带等）, 也不管传输哪种波形（TEM波、 TE波、TM波等）, 其横向电磁场总可以表示为,由规定可知, ek、 hk应满足:,由电磁场理论可知, 各模式的波阻抗为:,其中, Zek为该模式等效特性阻抗。 ,(4-1-2),(4-1-3),(4-1-4),由电磁场理论可知, 各模式的传输功率可由下式给出:,综上所述

3、, 为唯一地确定等效电压和电流, 在选定模式特性阻抗条件下各模式横向分布函数还应满足,下面以例子来说明这一点。 例 4.1求出矩形波导TE10模的等效电压、 等效电流和等效特性阻抗。 解: 由第2章可知,(4-1-5),其中, TE10的波阻抗,可见所求的模式等效电压、等效电流可表示为,(4-1-6),(4-1-7),式中,Ze为模式特性阻抗, 现取Ze= , 我们来确定A1。 由式（4 1 6）及（4 1 7）可得,由式（4 1 5）可推得,(4-1-8),(4-1-9),于是唯一确定了矩形波导TE10模的等效电压和等效电流, 即,此时波导任意点处的传输功率为,与式（2. 2. 26）相同,

4、 也说明此等效电压和等效电流满足第条规定。 ,(4-1-10),(4-1-11),2. 模式等效传输线 由前面分析可知, 不均匀性的存在使传输系统中出现多模传输, 由于每个模式的功率不受其它模式的影响, 而且各模式的传播常数也各不相同, 因此每一个模式可用一独立的等效传输线来表示。 这样可把传输N个模式的导波系统等效为N个独立的模式等效传输线, 每根传输线只传输一个模式, 其特性阻抗及传播常数各不相同, 如图 4.1 所示。另一方面由不均匀性引起的高次模, 通常不能在传输系统中传播, 其振幅按指数规律衰减。因此高次模的场只存在于不均匀区域附近, 它们是局部场。,图 4 1 多模传输线的等效,在

5、离开不均匀处远一些的地方, 高次模式的场就衰减到可以忽略的地步, 因此在那里只有工作模式的入射波和反射波。通常把参考面选在这些地方, 从而将不均匀性问题化为等效网络来处理。如图 4-2 所示是导波系统中插入了一个不均匀体及其等效微波网络。 建立在等效电压、 等效电流和等效特性阻抗基础上的传输线称为等效传输线, 而将传输系统中不均匀性引起的传输特性的变化归结为等效微波网络, 这样均匀传输线中的许多分析方法均可用于等效传输线的分析。 ,图 4 2 微波传输系统的不均匀性及其等效网络,4.2 单口网络,当一段规则传输线端接其它微波元件时, 则在连接的端面引起不连续, 产生反射。 若将参考面T选在离不

6、连续面较远的地方, 则在参考面T左侧的传输线上只存在主模的入射波和反射波, 可用等效传输线来表示, 而把参考面T以右部分作为一个微波网络, 把传输线作为该网络的输入端面, 这样就构成了单口网络, 如图 4 -3 所示。 ,图 4 3 端接微波元件的传输线及其等效网络,而等效传输线上任意点等效电压、 电流分别为,式中, Ze为等效传输线的等效特性阻抗。 传输线上任意一点输入阻抗为,(4-2-1),(4-2-2),(4-2-3),1. 单口网络的传输特性 令参考面T处的电压反射系数为l, 由均匀传输线理论可知, 等效传输线上任意点的反射系数为,(4-2-4),任意点的传输功率为,2. 归一化电压和

7、电流 由于微波网络比较复杂, 因此在分析时通常采用归一化阻抗, 即将电路中各个阻抗用特性阻抗归一, 与此同时电压和电流也要归一。 一般定义:,任意点的归一化输入阻抗为,于是, 单口网络可用传输线理论来分析。 ,分别为归一化电压和电流, 显然作归一化处理后, 电压u和电流i仍满足:,4.3 双端口网络的阻抗与转移矩阵,由前面分析可知, 当导波系统中插入不均匀体(如图 4- 2 所示)时, 会在该系统中产生反射和透射, 从而改变原有传输分布, 并且可能激起高次模, 但由于将参考面设置在离不均匀体较远的地方, 高次模的影响可忽略, 于是可等效为如图 4- 4 所示的双端口网络。在各种微波网络中, 双

8、端口网络是最基本的, 任意具有两个端口的微波元件均可视之为双端口网络。下面介绍线性无源双端口网络各端口上电压和电流之间的关系。 ,图 4 4 双端口网络,1. 阻抗矩阵与导纳矩阵 设参考面T1处的电压和电流分别为U1和I1,而参考面T2处电压和电流分别为U2、I2,连接T1、T2端的广义传输线的特性阻抗分别为Ze1和Ze2。 (1) 阻抗矩阵 现取I1、I2为自变量, U1、U2为因变量, 对线性网络有,(4-3-1),写成矩阵形式,或简写为,式中, U为电压矩阵, I为电流矩阵, 而Z是阻抗矩阵, 其中Z11、 Z22分别是端口“1”和“2”的自阻抗; Z12、Z21分别是端口“1”和“2”

9、的互阻抗。各阻抗参量的定义如下: ,为T2面开路时, 端口“1”的输入阻抗,(4-3-2a),（4-3-2b）,为T1面开路时, 端口“2”至端口“1”的转移阻抗,为T2面开路时, 端口“1”至端口“2”的转移阻抗,为T2面开路时, 端口“2”的输入阻抗,由上述定义可见, Z矩阵中的各个阻抗参数必须使用开路法测量, 故也称为开路阻抗参数, 而且由于参考面选择不同, 相应的阻抗参数也不同。 对于互易网络有,Z12=Z21 (4-3-3),对于对称网络则有 若将各端口的电压和电流分别对自身特性阻抗归一化, 则有,代入式(4 3 2)后整理可得,(4-3-4),(4-3-5),(4-3-6),(4-

10、3-7),其中，,(2) 导纳矩阵 在上述双端口网络中, 以U1、U2为自变量, I1、I2为因变量, 则可得另一组方程: I1=Y11U1+Y12U2 I2=Y21U1+Y22U2,写成矩阵形式,(4-3-8),(4-3-9a),(4-3-9b),简写为,其中， 是双口网络的导纳矩阵，各参数的物理意义为：,由上述定义可知, Y矩阵中的各参数必须用短路法测得, 称这些参数为短路导纳参数。 其中, Y11、Y22为端口1和端口2的自导纳, 而Y12、Y21为端口“1”和端口“2”的互导纳。 对于互易网络有Y12=Y21 对于对称网络有Y11=Y22 用归一化表示则有 其中,(4-3-10),而,

11、对于同一双端口网络阻抗矩阵Z和导纳矩阵Y有以下关系:,式中, I为单位矩阵。,(4-3-11),(4-3-12),图4-5 双端口网络,例 4-2求如图 4 - 5 所示双端口网络的Z矩阵和Y矩阵。 ,于是,解： 由Z矩阵的定义:,而,2. 转移矩阵 转移矩阵也称为A矩阵,它在研究网络级联特性时特别方便。在图 4. 4 等效网络中, 若用端口“2”的电压U2、电流I2作为自变量, 而端口“1”的电压U1和电流I1作为因变量, 则可得如下线性方程组:,由于电流I2的正方向如图 4 . 4 所示, 而网络转移矩阵规定的电流参考方向指向网络外部, 因此在I2前加负号。这样规定， 在实用中更为方便。

12、将式(4. 3 - 13)写成矩阵形式, 则有,(4-3-13),（4-3-14）,简写为,(4-3-15),式中, 称为网络的转移矩阵, 简称A矩阵, 方阵中各参量的物理意义如下:,若将网络各端口电压、 电流对自身特性阻抗归一化后, 得,(4-3-16),其中，,图 4- 6 双端口网络的级联,级联后总的A矩阵为 A=A1A2 (4 3-19) 推而广之, 对n个双端口网络级联, 则有 A=A1A2An (4-3-20) 显然，用A矩阵来研究级联网络特别方便。 ,当双端口网络输出端口参考面上接任意负载时, 用转移参量求输入端口参考面上的输入阻抗和反射系数也较为方便, 如图 4 - 7 所示。

13、 参考面T2处的电压U2和电流-I2之间关系为 , 而参考面T1处的输入阻抗为,图 4- 7 双端口网络终端接负载时的情形,而输入反射系数为,前述的三种网络矩阵各有用处, 并且由于归一化阻抗、导纳及转移矩阵均是描述网络各端口参考面上的归一化电压、电流之间的关系, 因此存在着转换关系, 具体转换方式如表4.1所示。,(4-3-21),(4-3-22),图 4- 8 双端口网络的入射波与反射波,4.4 散射矩阵与传输矩阵,1. 散射矩阵 考虑双端口网络如图 4 - 8 所示。定义ai为入射波电压的归一化值u+i, 其有效值的平方等于入射波功率;定义bi为反射波电压的归一化值u-i, 其有效值的平方

14、等于反射波功率。 即:,(4-4-1),这样端口1的归一化电压和归一化电流可表示为 u1=a1+b1 i1=a1-b1 于是,同理可得,(4-4-2),(4-4-3),(4-4-4),于线性网络, 归一化入射波和归一化反射波之间是线性关系, 故有线性方程,b1=S11a1+S12a2 b2=S21a1+S22a2 写成矩阵形式为,或简写为 式中,称为双端口网络的散射矩阵, 简称为S,矩阵, 它的各参数的意义如下,(4-4-5),(4-4-6a),(4-4-6b),表示端口2匹配时, 端口1的反射系数,表示端口1匹配时, 端口2的反射系数,表示端口1匹配时, 端口2到端口1的反向传输系数,表示端

15、口2匹配时, 端口1到端口2的正向传输系数,可见, S矩阵的各参数是建立在端口接匹配负载基础上的反射系数或传输系数。 这样利用网络输入输出端口的参考面上接匹配负载即可测得散射矩阵的各个参量。 ,对于互易网络: S12=S21 对于对称网络: S11=S22 对于无耗网络: S+S=I,其中,S+是S的转置共轭矩阵,I为单位矩阵。 ,a1=T11b2+T12a2 b1=T21b2+T22a2,(4-4-7),2. 传输矩阵 当用a1、b1作为输入量, a2、b2作为输出量, 此时有以下线性方程:,（4-4-8）,写成矩阵形式为,(4-4-9),式中,T为双端口网络的传输矩阵, 其中T11表示参考

16、面T2接匹配负载时, 端口1至端口2的电压传输系数的倒数, 其余三个参数没有明确的物理意义。但当传输矩阵用于网络级联时比较方便, 如图 4- 9 所示两个双端口网络级联。 ,图 4 - 9双端口网络的级联,由于a2=b2, b2=a2, 故有,(4-4-10),由传输矩阵定义,（4-4-11）,可见当网络级联时, 总的T矩阵等于各级联网络T矩阵的乘积, 这个结论可以推广到n个网络的级联, 即,(4-4-12),代入式（4. 4. 6）得,(4-4-12),(4-4-13),于是可得S与 相互转换公式,(4-4-15),类似可推得：,（4-4-16）,(2) S与a的转换 在式（4. 3. 17

17、）中令,整理可得,(4-4-17),则有,（4-4-18）,类似可以推得,(4-4-19),于是可得：,(4-4-20),4. S参数测量 对于互易双端口网络, S12=S21, 故只要测量求得S11、S22及S12三个量就可以了。设被测网络接入如图4 -10 所示系统, 终端接有负载阻抗Zl, 令终端反射系数为l, 则有: a2=lb2, 代入式（4. 4. 5）得 b1=S11a1+S12lb2， b2=S12a1+S22lb2,(4-4-21),于是输入端参考面T1处的反射系数,(4-4-22),图 4-10 S参数的测量,令终端短路、开路和接匹配负载时, 测得的输入端反射系数分别为s,

18、 o和m, 代入式（4. 4. 21） 并解出,(4-4-22),由此可得S参数, 这就是三点测量法。但实际测量时往往用多点法以保证测量精度。对无耗网络而言, 在终端接上精密可移短路活塞, 在g/2范围内, 每移动一次活塞位置, 就可测得一个反射系数, 理论上可以证明这组反射系数在复平面上是一个圆, 但由于存在测量误差, 测得的反射系数不一定在同一圆上, 我们可以采用曲线拟合的方法, 拟合出in圆, 从而求得散射参数, 这部分详见附录二。当然更为精确的测量可用网络分析仪进行测量。,4.5 多端口网络的散射矩阵,前面介绍的各种参数矩阵均是以双端口网络为例的, 实际上推广到由任意N个输入输出口组成

19、的微波网络均可用前述参量描述。本节着重介绍多端口网络散射矩阵及其性质。 设由N个输入输出口组成的线性微波网络如图 4- 11 所示, 各端口的归一化入射波电压和反射波电压分别为ai, bi(i=1N), 则有,（4-5-1）,图4-11 多端口网络,上式简写为,其中:,(4-5-2),它表示当ij, 除端口i外, 其余各端口参考面均接匹配负载时, 第i个端口参考面处的反射系数。多端口网络S矩阵具有以下性质: ,(1) 互易性质 若网络互易, 则有 Sij=Sji (i, j=1, 2, , N, ij) 或写作,（4-5-3a）,（4-5-3b）,(2) 无耗性质 若网络无耗, 则有 S+S=I 其中 S+是S的共轭转置矩阵。下面对此性质略作证明。 对于无耗网络, 输入的总功率应等于输出的总功率,