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1、集成光学,主讲人：刘柳 ,Integrated Photonics,1,上节课内容,波导的模方程：,传播常数：=n1k0sini 有效折射率neff: neff= /k0= n1sini,导波存在条件： k2 k1,n2 neff n1,为上下两个波导界面的全反射相移,2,第二章 平面介质光波导,平面介质光波导概述 平板光波导的分析方法 射线光学法 波动方程法 条形光波导的分析方法 马卡梯里法 等效折射率法 数值方法,3,麦克斯韦方程,从麦克斯韦方程，建立光波在介质波导中的电磁场分布方程（波动方程），结合边界条件导出传播模式的特征方程，进而讨论介质波导中光传播的特性。,时谐电磁场的麦克斯韦方程

2、组,4,波动方程,将矢量各分量展开，得：,并且考虑到y方向是均匀的，即,设波沿着z方向传播，则沿z方向场的变化可用一个传输因子exp(iz)来表示,TE模(横电模),TM模(横磁模),5,波动方程（TE模）,6,波动方程的解,上式为波动方程，也叫做Helmholtz方程，他的通解可表示为：,其中 ，通常个成为横向波矢。a1, a2, j 为待定系数。,7,波动方程的解（场分布）,根据物理意义可以预见在导波层内是驻波解，可用余弦函数表示，而在覆盖层、衬底层中是倏逝波，应是衰减解，用指数函数表示。,导模存在条件：kx、a3、a2均应为实数，故须满足,与射线法结果一致,8,边界条件,边界条件为：边界

3、处切向Ey分量连续，切向分量Hz也连续，由 知 连续,(1) x= -a处，,9,边界条件,(2) x=a处，,10,特征方程（本征值方程）,TE模,关于的函数,11,TE模的特征方程：,与射线法得到结果的一致：,特征方程（本征值方程）,关于的函数,关于q的函数,TM模的特征方程：,12,特征方程（本征值方程）,传播常数,横向波矢,13,特征方程,在这里，我们求解对称波导的情况，n1=n2,(1),(2),考虑到：,14,图解法求解特征方程,模式的阶数：m m越大，kx越大，b越小。,15,图解法求解特征方程,模式数量,向下取整,16,图解法求解特征方程,0阶模总是存在,1阶模存在条件:,2阶

4、模存在条件:,17,图解法求解特征方程,单模条件,18,截止波长,对于对称平板波导，TE0和TM0的截止波长均为无限长,截止波长,19,特征方程与色散曲线,特征方程中有4个参数（n1,n2,a,），改变任何一个结构参数都要对方程重新求解，不利于应用。为此作归一化处理。 传播常数范围： 归一化传播常数： 波导参数V：,20,（m = 0,1,2,-）,波导参数一旦确定，对应模的数量就确定； m=0模的传播常数最大，随着m的增大，传播常数减小； 特征方程表示的是TE波（ S波），习惯用模的阶数作为偏振光的下标，如TE0模，如TE1模等。,特征方程,21,当给定V值后，波导中可能存在的导波模数量就确

5、定了； b=0称为截止，从图中可见，TE1模的截止V值等于/2，如果V值小于/2，则只有一个模，称其为单模区； V值大于TE1模的截止V值，称其为多模区； TM波的导波参数V与TE波稍有不同，如果相对折射率不到1%，则同阶模的V值可认为相同。,22,色散曲线,均匀空间平面波的色散曲线：,三层对称平板波导色散曲线：,（一条直线）,23,平板波导模式分布,将特征方程的解，代入上式，并确定各个系数，求得Ey。而后根据右式，确定其余场分量。,24,平板波导模式分布,25,场在覆盖层和衬底中是按指数函数衰减的，衰减的快慢分别由衰减系数a2和a3确定。,平板波导模式分布,a2和a3的值大，则场衰减快，穿透

6、深度1/ a2和1/ a3就浅，说明场主要束缚在导波层中。反之， a2和a3的值小，则场衰减慢，穿透深度就深，说明波导束缚场的能力差。,a2和a3的大小与覆盖层、衬底的折射率有关，同时还与模序数m密切相关。由模式本征方程可以导出，m越大，则越小， a2和a3也越小。这表明高阶模的电磁场可延伸到导波层外的距离较远。,26,求传播常数的顺序,27,导模和辐射模,qi,Cladding,Core,qi,Substrate,Cladding,Core,Substrate,辐射模的特点： 传播常数连续。 沿传播方向有损耗。 与导模一起组成一个完备的正交函数集。,导模的特点： 传播常数取分立的值。 理论上

7、没有损耗。 各个导模正交。,28,当s=m, 为1，其余为0,转移矩阵方法,29,麦克斯韦方程：,均匀介质波动方程：,各区域内都满足波动方程： 区域与区域的边界满足边界条件： 所有各层介质中的z方向传播满足: E(x,y,z)=Et(x,y)*exp(ibz),转移矩阵方法,30,模式的基本性质：,电场E和磁场H的切向分量连续,转移矩阵方法,31,波动方程的解(TE)：,上式为一元二阶齐次微分方程，通解可写成：,取特解：,转移矩阵方法,32,考虑n1区域：,上式可写成矩阵形式：,转移矩阵方法,33,M1是一个2*2的矩阵，称为n1区域的转移矩阵，它描述了n1区域中在两个分界面处的场的关系。,转

8、移矩阵方法,34,考虑多层平板波导：,n1,dN-1,dN,多层平板波导也可以用一个矩阵来表示最下面一个界面的场与最上面一个界面的场的关系。,转移矩阵方法,35,如何得到特征方程？,n1,dN-1,dN,最上方和最下方两个区域的场可表示为：,将上式代入转移矩阵方程,转移矩阵方法,36,得到：,n1,dN-1,dN,两边同时乘以,上式为多层平板波导特证方程，用于求解b。,特征模的展开,任意电场分布的光波入射如何转变成特征模？ 处理方法：将任意电场分布展开，分解成不同特征模的电磁场分布。 数学上用正交函数展开，如傅立叶级数等，称之为特征模展开； 各导波模以相应阶数模的传播常数传播； 随着光的传播，

9、不同模之间的相位差将发生变化，导致导波模叠加以后的电磁场分布也随着传播过程而变化，光束像蛇一样反复蠕动前进。,弯曲波导,弯曲波导-光路变换的重要单元,弯曲波导模场分布,弯曲波导的导模场分布偏向拐弯的外侧,弯曲波导,一般来说，弯曲损耗 ： 弯曲半径 。 波长 。 折射率差 。,角速度相同 - 越往外的光场传播速度越快 有一部分光场有可能跟不上-形成弯曲损耗。,几种折射率差的SiO2波导,*单模光纤：2a=8.9m，=0.27% (加了折射率匹配油)。 *对于=1.55m，90度弯曲波导的损耗小于0.1dB。,41,光波导中的各种损失,在单模波导中导波模只有基模，其余展开分量全部转变成耦合损失，所

10、以为减小耦合损失，应尽量使入射光束的形状与波导基模的形状相同。,渐变折射率波导,在扩散性波导中，折射率分布多为渐变式：,对称型渐变折射率波导,43,渐变折射率波导中光的传播,光纤向折射率高的方向偏折,渐变折射率波导的应用,渐变折射率波导中的光纤传输呈周期性聚焦：,若长度取1/4周期，则输出为平行光：,中间可插入波片、偏振片、滤波片，方便进行光信号处理。,P,2.1 平面介质光波导,2.1.1 平面介质光波导概述 2.1.2 平板光波导的分析方法 射线光学法 波动方程法 2.1.3 条形光波导的分析方法 马卡梯里法 等效折射率法 数值方法,46,条形光波导的分析方法,光在平板波导中传播时，在无约

11、束的方向上发散。为了避免这种情况，在集成光学中通常采用条形波导。和平板波导相比，条形波导的分析要复杂得多。通常采用近似的方法对此进行分析。 马卡梯里法 等效折射率法 数值方法 （有限差分，有限元）,47,马卡梯里法(Marcaili),由于导波模的大部分能量集中在波导芯层内传输，而在波层中的能量很少，图中阴影部分的能量就更少。马卡梯里(Marcaili)方法的近似处理是忽略图中的四个阴影区域，只考虑图中五个区域。,矩形光波导的近似分析,严格分析，必须将空间区域分为9块，每块中有6个场矢量的分量，同时必须在12个界面满足边界条件。,Marcaili近似分析,以Ex、Hy为主的模,以Ex、Hy为主

12、的模,48,从麦克斯韦尔方程出发，假设Hx分量为0，将所有场分量用Hy表示：,模,Hy满足波动方程：,49,假设场分布E(x, y)可以表示成如下分离变量的形式,将上式分裂成如下两个方程，即：,分立变量法,其中：,对以上两个方程分开求解，然后在合并。,50,波动方程的解,其中,为z方向传播常数 kx,ky为x,y方向传播常数,由分离变量法得到上述波动方程的解：,51,特征方程,根据,处,和,连续的条件 ， 可以得到,根据,处,和,连续的条件 ， 可以得到,用数值方法可获得(kx, ky), 之后再求出模斑分布,可以用类似的方法得到,52,矩形波导的模场分布,(a) m=1, n=1 (b) m

13、=2, n=1; (c) m=1, n=2;,Ex场分布：,53,2.1 平面介质光波导,2.1.1 平面介质光波导概述 2.1.2 平板光波导的分析方法 射线光学法 波动方程法 2.1.3 条形光波导的分析方法 马卡梯里法 等效折射率法 数值方法,54,等效折射率法,(1) 将三维波导分解成平板波导的组合(如图 所示)； (2) 对每个平板波导，沿着y方向根据平板波导本征方程求解neff(x)(图示neff2，neff3)； (3)根据步骤(2)中得到的neff2，neff3，得到沿着x方向的折射率分布(二维平板波导)； (4)对x方向的平板波导再解一次平板波导本征方程，可以得到传播常数。

14、在整个求解过程中，需要注意的是，若求解TE模Ex，则在求neff(x)时，应取TE模，而在求时，应取TM模；求解TM模Ey，则在求neff(x)时，应取TM模，而在求时，应取TE模；,55,等效折射率法,等效折射率方法对于脊形波导特别适用：,56,马卡梯里法 VS 等效折射率法,57,三维矩形光波导，n1n2=n3=n4=n5：,b-v关系：,马卡梯里法和等效折射率法，均为近似方法，只在特定情况下比较准确。,2.1 平面介质光波导,2.1.1 平面介质光波导概述 2.1.2 平板光波导的分析方法 射线光学法 波动方程法 2.1.3 条形光波导的分析方法 马卡梯里法 等效折射率法 数值方法,58

15、,数值解法,解析解比较困难，近似会存在比较大的误差；数值方法被应用到光波导模式解中，他们可以应用于任何形式的波导结构和折射率分布。 线方法(the Method of Lines, MoL) 矩方法(the Method of Moments, MoM) 有限差分方法(the Finite Difference Method, FD) 边界元方法(the Boundary Element Method, BEM) 有限元方法(the Finite Element Method, FEM),59,有限差分方法,由麦克斯韦尔方程得到全矢量波动方程（无近似）：,折射率n是位置(x, y)的函数，因此不能消去。,60,有限差分方法,设光波沿着z方向传播，则沿z方向场的变化可用一个传输因子exp(-iz)来表示，即 对于FDM，考虑的是某个波导截面的场分布，从而有： 。 进一步，如果两个分量之间的耦合很弱以致可以忽略(这对很多光波导器件来说都是满足的)，就可以考虑半矢量的情形，即忽略耦合项Pxy, Pyx, 可以得到：,TE,TM,61,有限差分方法,五点差分，