本节内容提要.ppt

1、本节内容提要,一、微分的定义,三、微分的几何意义,四、微分公式和运算法则,五、微分在近似计算中的应用,二、可微的充要条件,第六节 函数的微分及其应用,本节重点： 函数的微分定义，计算 本节难点： 函数的微分定义 教学方法： 启发式 教学手段： 多媒体课件和面授讲解相结合 教学课时： 4课时,一、 微分的定义,前面我们学习了导数，导数即函数的变化率,它表示函数相对于自变量变化的快慢程度。,在微分学中，很多情形下要研究函数的增量 ，特别是当自变量的增量 很小时,首先，看下面例子,例1：设一正方形金属薄片受温度变化的影响，其边 长从 变化到 (如图），求薄片面积的改 变量。,解：此薄片在温度变化前后

2、的面积分别为,故薄片面积的改变量为,由两部分组成：一部分 是 的线性函数 （图中有斜线的部分的面积）；,另一部分是 （图中有网格线的小正方形部分的面积）.,当 时，第二部分是一个比 高阶的无穷小， 即 ， 因此，若边长的改变很微小，即 很小时，面积的改变量就可用第一部分 来表示，而且 越小，其近似程度就越好，即,抛开基具体意义，抽象一下，可归纳为：,2） 分为二部分，一是 即 的线函 数，另一部分是当 时比 高阶的无穷 小。,3） 可以用第一部分A 来近似表示函数的增量 ，这 即是微分的概念,1）给自变量的取值 的增量 ，相应有函数的 增量,定义：设函数 在某区间内有定义， 及 在这区间内，如

3、果函数的增量 可以表示为 其中A是不依赖于 的 常数，而 是比 高阶的无穷小，则称函数 在 点 是可微的，而 叫函数y=f(x)在点 相应于自变 量增量 的微分，记作,例2：求函数 在x=1处的微分,解：,上式由两部分组成，一是 ，另一部分 是 的高阶无穷小，（当 ） 故 在x=1 处的微分为,返回,二可微的充要条件（可微与可导关系）,定理：函数 在点 处可微的充分且必要 条件是函数f(x)在 点处可导，并且,(函数在一点处可微分与可导是等价的),证明：设涵数y=f(x)在 处可微，由微分定义有 两边同除以 有 当 时，取极限，有,反之：设f(x)在 处可导，即 存在， 由极限与无穷小的关系；

4、上式可以表示为， 则 即 故f(x)在点处可微，且,一般地，把自变量增量 称为自变量的微分 ，记作 即 ，则函数y=f(x)的微分又可以记 作： ， 于是 即函数的微分 与自变量的微分 之商等于该函数的导数。因此 ，导数又称为“微商,例3： 求 在x=1 , 时的增量及微分 解： 代入x=1,返回,三、微分的几何意义,函数y=f(x)的图形为一条曲线 , 对于 ，曲线上有一个确 定的点 ，当x有微小增量 时，得到曲线上另 一点 ，直线MT是过M点的曲线的 切线，由图可,即当 是曲线上点的纵坐标的增量时，dy就是曲 线的切线上点的纵坐标的相应增量， 当 很小 时 , 比 小得多，因此在点M的邻

5、近，我们可以用切线段来近似代替曲线段,返回,1. 由微分定义 ,若要求函数的微 分，只需计算函数的导数，再乘以自变量的 dx,因此根据导数公式和求导的运算法则，即可 得到微分的基本公式和运算法则，归纳总结如 下：,四、微分公式和运算法则,2.函数的和、差、积、商的微分法则,为方便表示，记,（1）d(u+v)= du+dv (2) d(cu)=cdu （c为常数） (3) d(uv)=udv+vdu (4),3.复合函数的微分法则: 设 则复合函数 的导数为 而 故 由此可见，不论U是自变量，还是中间变量，微分形式保持不变，这一性质叫做微分形式的不变性。,例1设 求dy 解法一： 解法二：,例2. 设 求dy 解: 例3: 设 , 求 及 解：,例6 .在下列等式左端的括号内填入适当的函数，使等式成立 (1) (2) 解（1）因为 故 又因为任意常数的微分d(c)=0 故 (c 为任意常数) （2）因为 故 (c为任意常数),返回,五、微分在近似计算中的应用,在工程问题中，常会遇到一些复杂的计算公式，如果直接用这些公式进行计算，往往费时费力，而利用微分则可把一些复杂的计算公式 用简单的近似公式来代替。,由微分定义 当 很小时 越小，近似程度越好。 上式还可表示为 令