材料力学-扭转1

1、5-1 扭转概念和工程实例,第五章 扭 转,5-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,5-3 纯剪切,5-4 圆轴扭转时横截面上的应力,5-5 扭转变形 扭转强度和刚度计算,5-6 扭转静不定问题,5-7 矩形截面杆的自由扭转,5-1 扭转概念和工程实例,1、螺丝刀杆工作时受扭。,Me,主动力偶,阻抗力偶,一、扭转的工程实例,2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。,2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。,汽车传动轴,3、机器中的传动轴工作时受扭。,4、汽车离合器连接时受扭。,5、扳手卸轮胎,二、扭转的概念,受力特点：杆两端作用着大小相等、转向相反的力偶，且力 偶作用面垂直于杆的轴线。,Me,主动力偶,阻抗

2、力偶,变形特点：杆任意两个横截面将绕杆轴线作相对转动而产生 相对角位移。这种相对角位移称为扭转角，用表示。,轴：以扭转变形为主的杆件。,一、外力偶矩计算,5-2外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,按输入功率和转速计算,电机每秒输入功：,外力偶所做的功：,已知 轴转速n 转/分钟 输出功率P 千瓦 求：力偶矩Me,已知轴所传递的功率和轴的转速，则外力偶矩（Nm）,P功率，单位为千瓦（KW） n转速，单位为rod/min,P功率 ，单位为马力（PS） n转速，单位为rod/min,1PS=735.5Nm/s , 1kW=1.36PS,1、扭转杆件的内力（截面法）,m,T,右段：,内力偶矩扭矩,左段：,二

3、、扭转杆件的内力扭矩及扭矩图,圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩，用符号T 表示。,2、扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断。,+,-,例题： 1、一传动轴作200rmin的匀速转动，轴上装有五个轮子。主动轮2输入的功率为60kW，从动轮1、3、4、5依次输出的功率为18kW、12kW、22kW和8kW。试作出该轴的扭矩图。,3、内力图（扭矩图）,扭矩图作法：同轴力图：,解： （一）外力偶矩 （二）求解各段内力,由平衡条件可解得各段内力为 ：,负号说明与假设方向相反。,1、实验：,5-3 纯剪切,一、薄壁圆筒横截面上的应力,薄壁圆筒轴的扭转,2、变形规律：,圆周线形状、大小、间距不变，各圆周

4、线只是绕轴线转动了一个角度。,纵向线倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。,结论：,横截面上,可认为剪应力沿壁厚均匀分布, 且方向垂直于其半径方向。,根据对称性可知剪应力沿圆周均匀分布；,3、剪应力的计算公式：,薄壁圆筒横截面上的剪应力计算式,从受扭的薄壁圆筒表面处截取一微小的正六面体,单元体,得,1、剪应力互等定理,二、关于剪应力的若干重要性质,在相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对存在，且数值相等；两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线。,纯剪切,各个截面上只有剪应力没有正应力的情况称为纯剪切,剪应力互等定理：,2、剪切虎克定律,在剪应力的作用下，单元体的直角将发

5、生微小的改变，这个改变量 称为剪应变。,当剪应力不超过材料的剪切比例极限时，剪应变 与剪应力成正比，这个关系称为剪切胡克定律。,G 剪切弹性模量(GN/m2),各向同性材料，三个弹性常数之间的关系：,一、圆轴扭转时横截面上的应力,一）、几何关系：,1、实验：,5-4 圆轴扭转时横截面上的应力,观察变形规律：,圆周线形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动 了一个不同的角度。,纵向线倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。,扭转平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状 、大小 以及间距不变，半径仍为直线。,定性分析横截面上的应力,（1）,（2）,因为同一圆周上剪应变相同，所以同一圆

6、周上剪应力大小相等，并且方向垂直于其半径方向。,取楔形体O1O2ABCD 为研究对象,微段扭转变形 dj,二）物理关系：,方向垂直于半径。,dj / dx扭转角变化率,弹性范围内,三）静力关系：,横截面上 ,抗扭截面模量，,整个圆轴上等直杆：,三、公式的使用条件：,1、等直的圆轴，,2、弹性范围内工作。,Ip截面的极惯性矩，单位：,二、圆轴中max的确定,单位：,四、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp,实心圆截面：,空心圆截面：,1、强度条件：,2、强度条件应用： 1）校核强度:,5-5 扭转变形 扭转强度和刚度计算,2）设计截面尺寸:,3）确定外荷载:,一、 扭转强度计算,等截面圆轴

7、:,变截面圆轴:,例 由无缝钢管制成的汽车传动轴，外径D=89mm、壁厚=2.5mm，材料为20号钢，使用时的最大扭矩T=1930Nm,=70MPa.校核此轴的强度。,解：（1）计算抗扭截面模量,cm3,（2） 强度校核,满足强度要求,例 如把上例中的传动轴改为实心轴，要求它与原来的空心轴强度相同，试确定其直径。并比较实心轴和空心轴的重量。,解：当实心轴和空心轴的最大应力同 为时，两轴的许可扭矩分别为,T1=T2 ，于是有,在两轴长度相等，材料相同的情况下，两轴重量之比等于横截面面积之比。,可见在载荷相同的条件下，空心轴的重量仅为实心轴的31% 。,实心轴和空心轴横截面面积为,例 图示阶梯状圆

8、轴，AB段直径 d1=120mm，BC段直径 d2=100mm 。扭转力偶矩 MA=22 kNm， MB=36 kNm， MC=14 kNm。 材料的许用剪应力t = 80MPa ，试校核该轴的强度。,解： 1、求内力，作出轴的扭矩图,T图（kNm）,BC段,AB段,2、计算轴横截面上的最大剪应力并校核强度,即该轴满足强度条件。,T图（kNm）,1、扭转变形：（相对扭转角）,扭转角单位：弧度（rad） GIP抗扭刚度。,二、 扭转杆的变形计算,扭转变形与内力计算式,1) 扭矩不变的等直轴,单位长度的扭转角,2)各段扭矩为不同值的阶梯轴,3)变截面轴,2、单位长度扭转角：,3、刚度条件：,rad

9、/m,0/m, 许用单位长度扭转角,4、刚度条件应用： 1)、校核刚度:,3)、确定外荷载:,2)、设计截面尺寸:,例题：已知m1=1.5kN.m，m2=3kN.m，m3=9kN.m，m4=4.5kN.m；各轮的间距为l1=0.8m，l2=1.0m，l3=1.2m；材料的=80GPa， =0.3/m，G=80GPa. (1)设计轴的直径D； (2)若轴的直径D0=105mm，试计算全轴的相对扭转角D-A,解：1）作扭矩图,2）设计轴的直径,取 d 102 mm,由刚度条件：,由强度条件：,3）计算全轴的相对扭转角D-A,例题：一阶梯形圆轴，轴上装有三个皮带轮。轴的直径分别为d1=40mm，d2

10、=70mm，已知轮3输入的功率为N3=30kW，轮1输出的功率为N1=13kW。轴作匀速转动，转速n=200rmin。若材料的容许剪应力=60MPa，G=8104MPa，轴的容许单位长度扭转角为=2m，试校核该轴的强度和刚度。,例题： 已知：空心轴和实心轴材料相同，面积相同, = 0.5。试比较空心轴和实心轴的强度和刚度情况。,解：,2）比较强度,面积相同,1）确定两轴尺寸关系,3）比较刚度,例题：有一外径为100mm、内径为80mm的空心圆轴，与一直径为80mm的实心圆轴用键相连接。在A轮处由电动机带动，输入功率N1=150kW；在B、C轮处分别负载N2=75kW，N3=75kW。若已知轴的

11、转速为n=300rmin，容许剪应力=45MPa；键的尺寸为10mml0mm30mm，其容许应力为=100MPa和c=280MPa。 (1)校核空心轴及实心轴的强度（不考虑键槽的影响）； (2)求所需键数n。,P,5-6 扭转静不定问题,已知:AB 阶梯轴两端固定,C 处作用外力偶矩Me, AC抗扭刚度为G1Ip1, CB抗扭刚度为G2Ip2 。求:轴的扭矩。,解:1）静力学关系,2）变形几何关系,扭转静不定问题,3）物理关系,解出:,5-7 非圆截面杆扭转简介,常见的非圆截面受扭杆为矩形截面杆,圆杆扭转时 横截面保持为平面；,非圆杆扭转时平面假设不成立。变形后横截面成为一个凹凸不平的曲面，这种现象称为翘曲。,非圆截面杆扭转的分类：,自由扭转（纯扭转）：各横截面翘曲程度不受任何约束(可自由凹凸)， 任意两相邻截面翘曲程度相同。,约束扭转：由于约束条件或受力限制，造成杆各横截面翘曲程度不同。,式中 h 矩形截面长边的长度； t 矩形截面短边的长度； a 与截面尺寸的比值h/t有关的系数。,矩形截面杆自由扭转时，其横截面上的剪应