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1、3.8 切比雪夫不等式与大数定律,重点： 1） chebyshev 不等式 2） 大数定律 概率论中用来阐明大量随机现象平均结果 的稳定性的一系列定理统称为大数定律.,或,由切比雪夫不等式可以看出，若 越小，则事件|x-e(x)| 的概率越大，即随机变量x 集中在期望附近的可能性越大.,chebyshev inequality,证,我们只就连续型随机变量的情况来证明.,当方差已知时，切比雪夫不等式给出了r.v x与它的期望的偏差不小于 的概率的估计式 .,如取,可见，对任给的分布，只要期望和方差 存在， 则 r.v x取值偏离e(x)超过 3 的概率小于0.111 .,大量随机试验中,大数定律

2、的客观背景,大量抛掷硬币 正面出现频率,字母使用频 率,生产过程中的 废品率,3.8 切比雪夫不等式与大数定律,定理2,（切比雪夫定理）,3.8 切比雪夫不等式与大数定律,设独立随机变量序列,的数学期望,与方差,并且方差,一致有上界，,即存在某一常数,使得,则对于任意的正数,有,证：,对随机变量,应用切比雪夫不等式得,3.8 切比雪夫不等式与大数定律,由此得,令,得到,3.8 切比雪夫不等式与大数定律,但概率不可能大于,故有,说明,切比雪夫定理说明（概率直观）,若独立随机变量序列,的数学期望,与方差存在，,且方差一致有上界，,收敛于其数学期望,3.8 切比雪夫不等式与大数定律,紧密地聚集在它的

3、数学期望,附近.,的值将比较,即当 充分大时,依概率收敛定义及性质,定义,请注意 :,问题 :,伯努利,设na是n重贝努里试验中事件a发生的次数，p是事件a发生的概率，,是事件a发生的频率.,设 na 是n次独立重复试验中事件a发 生的次数，p是事件a在每次试验中发生 的概率，则对于任意正数 0 ，有,定理3（贝努里大数定律）,伯努利,证明,证毕,注,贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件a发生的频率na/n与事件a的概率p有较大偏差的概率很小.,或,下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在.,设随机变量序列x1,x2, 相互独立，服从同一分布，具有数学期e(xi)=, i=1,2,， 则对于任意正数 ，有,定理4（辛钦大数定律）,辛钦,1、辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径.,注,2、伯努利大数定律是辛钦定理的特殊情况.,3、辛钦定理具有广泛的适用性.,要估计某地区的平均亩产量 ， 要收割某些有代表性块，例如n 块 地. 计算其平均亩产量，则当n 较 大时，可用它作为整个地区平均亩 产量的一个估计.,三、小结,大 数 定 律,大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：,平均

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