数学建模.ppt

1、数学建模,企业退休职工养老金制度的改革方案,我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式，即企业把职工工资总额按一定比例（20%）缴纳到社会统筹基金账户，再把职工个人工资按一定比例（8%）缴纳到个人账户。退休后就可以每月都能领到一部分养老金来保证自己的生活需求。 影响养老保险基金收支平衡的一个重要因素是替代率。替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例。按照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率确定为58.5%. 替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡较难维持，

2、可能出现缺口。,问题一：对未来中国经济发展和工资增长的形势做出你认为是简化、合理的假设，并参考附件1，预测从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。 问题二：根据附件2计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。如果把这些比值看作职工缴费指数的参考值，考虑该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴纳老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），计算各种情况下的养老金替代率。,问题三：假设该企业某职工自 2000年起从30岁开始缴纳老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡。计算养老保险基金的缺口情况，并计算该职工领

3、取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。 问题四：如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，你认为可以采取什么措施。请给出你的理由。,模型假设,1、假设未来25年内的经济发展速度与之前发展趋势基本一致，即保持较高速度增长，到2050年达到中等发达国家的水平，经济的增长速度逐渐放缓。 2、国家职工的工资增长形势与国家经济发展形势相同。 3、假设该企业职工缴纳保险期间连续不间断的缴纳 4、个人账户储存额以银行当时公布的一年期存款利率计息，为简单起见，利率统一设定为3%。,5、个人账户养老金领取完后，只发放基础养老金。 6、统筹基金不计利息，个人账户养老

4、金退休后不计利息。 7、个人、企业的年平均工资的增长形势与省职工的年平均工资增长形势相同,符号说明,针对问题一： 根据历年职工平均工资发展情况描点作图得到历年工资与时间的函数图像（见图1），由图可以看出工资曲线的变化趋势是先开始平缓增长，之后迅速爆炸增长；又根据中国最近10年发展的速度可看出GDP的增长率在8%-12%之间，即使在2008年的经济危机，中国的经济发展速度也同样在8%左右，根据目前的发展形势我们预测未来几年的经济发展也会同样迅速；但是根据国家战略规划，到21世纪中叶达到中等发达国家水平，而中等发达国家的经济发展和工资增长发展比较缓慢，因此中国未来GDP的增长速度也会放缓。在这一时

5、间段内，符合logistic模型，通过logistic模型预测出2011年到2035年职工工资情况。,问题一模型的建立与求解,问题一:要预测2011年到2035年山东省职工工资，而职工的工资又和经济发展相关，首先我们根据题目所给数据利用Matlab软件描点作图做出前30年的山东省职工工资曲线图如图1-1所示，然后根据山东省统计年签2010官方数据做出如图1-2所示的人均GDP增长曲线。,Back,由图1可以看出，从1978年至1995年山东省职工的工资开始趋于平缓，从1976年至2010年山东省的职工工资呈现出一个飞速发展的状态，而对比图2我们看出人均GDP的发展趋势和我们图1基本相吻合，即职

6、工工资与本国人均GDP的增长是一个正相关关系,21世纪中叶职工的工资会出现一个比较缓慢而稳定的增长速度，之后就趋于平缓，符合阻滞增长模型(logistic模型),通过建立logistic模型.,阻滞作用体现在对于经济增长率的影响，使得增长率随着经济的增长而下降,这样可以写出其一般形式 (1) 式中 为预测值，L为 的极限值, 为经济增长率初值;其中 ,右端的因子 体现经济增长趋势,因子 则体现了各种环境因素对于经济发展的影响，进而对工资产生影响, 越大,前一个因子影响越大,后一个因子影响越小,由此产生两个因子共同影响的结果. 对于此微分方程进行求解： (2),求解上述模型得到:,模型检验：,表

7、1-2 绝对误差与相对误差表,针对问题二： 我们把2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比看作是该公司职工缴费指数的参考值，从2009年山东省某企业各年龄段工资分布表看出不同年龄段内又存在不同工资段的职工，由于题目未明确给出员工的具体工资，我们假设每个工资段内员工的工资水平是均匀分布，因此选取每个工资段内的中间值作为该年龄段对应的该工资段内的职工的平均工资，然后建立一个养老金替代率模型带入相关数据求解出各种情况下的养老金。,问题二的模型建立与求解,我们把2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比看作是该公司职工缴费指数的参考值，从2009年山东省某企业各年龄段工资分布表看

8、出不同年龄段内又存在不同工资段的职工，由于题目未明确给出员工的具体工资，我们假设每个工资段内员工的工资水平是均匀分布，因此选取每个工资段内的中间值作为该年龄段对应的该工资段内的职工的平均工资，我们选取每个工资段内的中间值作为该工资段内职工的平均工资，根据以上假设我们建立了一个养老金替代率模型，进而得出各种年龄段和各种工资段内的养老金替代率。,用表示2009年职工工资（单位：元），表示2009年该企业平均工资（单位：元），表示工资为的企业人数，（单位：个），得出该企业的平均工资为：,(4),表示职工的各个年龄段(j=1,2,3,4,5,6,7,8，分别表示20-24,25-29,30-34,35

9、-39,40-44,45-49,50-54,55-59八个年龄段), 用 表示工资为 年龄段为 的缴费指数, 表示工资为 年龄段处于 的企业人数, 表示 年龄段的平均工资, 表示 年龄段的平均缴费指数,则根据题意得出： (6) (7),(5),养老金替代率的求解 用表示参保人员退休前1年、2年、m年本人缴费工资额为参保人员退休后第1年、2年、年领取的养老金，为参保人员退休前1年、2年、m年全国/省/地市“职工平均工资”或称“社会平均工资”. 为参保人员退休后第1年、2年、n年全国/省/地市“职工平均工资”或称“社会平均工资”, 用m表示企业和职工实际缴纳基本养老保险费的年限,n为职工实际领取基

10、本养老保险费的年限 ,k计发月数.则根据养老金公式可以求得养老金为： (8),假设个人工资增长趋势符合山东省的平均工资增长趋势，即 ： (9) 结合问题一预测所得省平均工资与2009年职工的工资情况的相关数据带入公式（9）得到20002035年该企业职工的资金情况如表2-3（附录2）， 结合表以上数据带入养老金替代率公式：,针对问题三： 对于问题中假设的某职工从2000年起从30岁开始缴纳养老保险费，一直缴费到退休，缴费年限分别为25年，30年，35年，直到2025年，2030年，2035年缴费完毕，之后就领取养老金，直到75岁死亡，要满足缴存的养老金与领取的养老金之间达到收支平衡，即养老金的

11、积累等于养老金的支出，根据题目中给出的公式可以求解。 在解决养老金的缺口问题中，养老金的积累小于养老金的支出即为养老金的缺口，然后分别计算了缴费年限在30-55岁，30-60岁，30-65岁三种情况下的养老金的缺口情况。,问题三的模型建立与求解,该职工2009年工资为3539年龄段内所有职工的平均工资，即该职工2009年得平均工资，个人工资的变化趋势符合山东省平均工资的增长趋势，根据假设我们建立了个人养老保险收支平衡模型。 则该职工的月平均工资为： (10),由于个人工资增长趋势符合每年的平均工资增长趋势，得出 ： (12) 由公式(12)得到该职工自2000起2035年的月工资:见附录(3) 该企业自2000起2035年的月平均工资:见附录(4) 养老保险收费平衡模型建立与求解 (1),缴费积累的统筹基金： 缴费积累个人账户： 总养老金： (2),基础养老金总额 : 个人账户存储额： 领取的养老金： 资金缺口：,时员工缴存的养老保险金与其领取的养老保险金之间达到收支平衡。 带入数据统筹基金比例，个人账户比例，存款利率，该职工自2000起2035年的月工资：见附录(2)，该企业自2000起2035年的月平均工资：见附录(3).养老金缺口随着缴存年限的增加而减少 .,针对问题四： 我们首先参考问题二和