中考数学分类解析—旋转题

1、中考数学分类解析旋转题中考数学分类解析旋转题 旋转变换定义旋转变换定义 设 是一个定角，O 是一个定点，R 是平面上的一个变换，它把点O 仍变到 O（不动点） ，而把平面图形 F 上任一点 X 变到 X，使得 OX=OX，且XOX=，则 R 叫做绕中心O，旋转角为的旋转变换。记为 XX，图形 FF 。 其中 0 时，为 逆时针方向。 主要性质主要性质: : 在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角。 应用：求角度、求弧长、求面积、证明线段相等、证明角相等、证明位置关系应用：求角度、求弧长、求面积、证明线段相等、证明角相等、证明位置关系 解题关键：要抓住图形变换过程中的几何不变性即旋

2、转不变性、数值不变性等等解题关键：要抓住图形变换过程中的几何不变性即旋转不变性、数值不变性等等 例题分析：例题分析： 1 （2005 江苏苏州）右图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的则 每次旋转的度数可以是（C） A900B600 C450D300 2(2005 山东威海) 如图所示，在图甲中， RtOAB 绕其直角顶点 O 每次旋转 90，旋转三 次得到右边的图形在图乙中，四边形OABC 绕 O 点每次旋转 120，旋转二次得到右边的 图形 甲 OA B3 A2 B A3 O A1 B2 A B1 B B C OA B2 C (A2) O A1(C2 乙 B1 A(C1 B 下列

3、图形中，不能通过上述方式得到的是 (D) (A)(B)(C)(D) 3(2005 湖北荆州) 如图，王虎使一长为 4cm，宽为 3cm的长方形木板，在桌面上做无 滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点 A 位 A 置变化为A A 1 A 2 ，其中第二次翻滚 A1 被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成 A2 30角， 则点 A 翻滚到 A2位置时共走过的 路径长为（ C ） 30 BC A10cmB4cm C cm D 7 2 5 cm 2 A D 4(2005 无锡) 已知，点 P 是正方形 ABCD 内的一点，连 PA、PB、PC. （1）将PAB绕点 B 顺时针旋转 90到PCB 的 A D

4、位置（如图 1）. 设 AB 的长为 a，PB 的长为 b（ba） ，求PAB旋 P转到PCB 的过程中边 PA所扫过区域（图 1 中阴 影部分）的面积； B 若 PA=2，PB=4，APB=135，求 PC 的长. C （2）如图 2，若 PA2+PC2=2PB2，请说明点 P 必 P 图 1 在对角线 AC 上. 解： （1）S 阴影 = P B C 图 2 a 4 2 b2 连结 PP，证PBP为等腰直角三角形，从而PC=6; （2）将PAB 绕点 B 顺时针旋转 90到PCB 的位置，由勾股逆定理证出P CP=90，再证BPC+APB=180，即点 P 在对角线 AC 上. 4(200

5、5 福建漳州) 如图：已知在 RtABC 中，ABC=90，C60，边 AB=6cm. （1） 求边 AC 和 BC 的值； （2） 求以直角边 AB 所在的直线 l l为轴旋转一周所得的几何体的侧面积. (结果用含的代数式表示) 解： （1）AC4 3 cm，BC2 3cm （2）所求几何体的侧面积 S 1 (22 3)4 3 24（cm2） 2 5(2005 江西) 如下图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上 （该圆周长为 3 个单 位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0、1、2）上：先让原点与圆周上0 所对应的 点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上 1、2、3、

6、4、所对应的点分 别与圆周上 1、2、0、1、所对应的点重合。这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建 立了一种对应关系。 （1）圆周上数字 a 与数轴上的数 5 对应，则 a_； （2）数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周 n 圈（n 为正整数）后，并落在圆周上数字 1 所对 应的位置，这个整数是_（用含 n 的代数式表示） 。 解： （1）a=2， （2）3n+1 .5(2005 河北课改区) 实验与推理实验与推理如图 141，142，四边形 ABCD 是正方形，M 是 AB 延 长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点 E 在 AB 边上滑动（点 E 不与 点 A，B 重合） ，另

7、一条直角边与CBM 的平分线 BF 相交于点 F。 如图 141，当点 E 在 AB 边的中点位置时： 通过测量 DE，EF 的长度，猜想 DE 与 EF 满足的数量关系是； 连接点 E 与 AD 边的中点 N，猜想 NE 与 BF 满足的数量关系 是； 请证明你的上述两猜想。 如图 142， 当点 E 在 AB 边上的任意位置时， 请你在 AD 边上找到一点 N， 使得 NE=BF，进而猜想此时 DE 与 EF 有怎样的数量关系。 解：DE=EF；NE=BF。 证明：四边形 ABCD 是正方形，N，E 分别为 AD，AB 的中点， DN=EB BF 平分CBM，AN=AE，DNE=EBF=9

8、0+45=135 NDE+DEA=90，BEF+DEA=90，NDE=BEF DNEEBF DE=EF，NE=BF 在 DA 边上截取 DN=EB（或截取 AN=AE） ，连结 NE，点 N 就使得 NE=BF 成立（图略）此 时，DE=EF。 7 (2005 泰州) 图 1 是边长分别为 4 3 和 3 的两个等边三角形纸片ABC 和 CDE叠 放在一起（C 与 C重合）. （1） 操作： 固定ABC， 将CDE绕点 C 顺时针旋转 30得到CDE， 连结 AD、 BE，CE 的延长线交 AB 于 F（图 2） ； 探究：在图 2 中，线段 BE 与 AD 之间有怎样的大小关系？试证明你的结

9、论.（4 分） （2）操作：将图 2 中的CDE，在线段 CF 上沿着 CF 方向以每秒 1 个单位的速度平移， 平移后的CDE 设为PQR（图 3） ； 探究：设PQR 移动的时间为 x 秒，PQR 与ABC 重叠部分的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数解析式，并写出函数自变量 x 的取值范围.（5 分） （3）操作：图 1 中CDE固定，将ABC 移动，使顶点 C 落在 CE的中点， 边 BC 交 DE于点 M，边 AC 交 DC于点 N，设AC C=（30 90（图 4） ； 探究：在图4 中，线段CNEM 的值是否随的变化而变化？如果没有变化， 请你求出 CNEM 的值，如果有变化

10、，请你说明理由.（4 分） A D A F D C A F P （C/） A R Q B D E 图2 N 图3 B 图1 E （C） B C / B C 图 2图 3 M EC/ C G 图 4图4 解： （1）BE=AD 证明：ABC 与DCE 是等边三角形 ACB=DCE=60 CA=CB，CE=CDBCE=ACDBCE ACD BE=AD（也可用旋转方法证明BE=AD） A （2）如图在CQT 中 TCQ=30 RQT=60QTC=30 S R QTC=TCQQT=QC=x RT=3x F T RTSR=90RST=90 P 9 33 2 33 y=3(3x)2=(3x)2(0 x3)

11、 4488 B Q 图3 C （3）CNEM 的值不变 证明：ACC=60MCENCC=120 CNCNCC=120 MCE=CNC E=CEMC CCN E/ME/C339 / CNEM=CCEC= C CC N224 8(2005 湖北武汉课改区) 将两块含 30角且大小相同的直角三角板如图1 摆放。 （1）将图 1 中A1B1C绕点 C 顺时针旋转 45得图 2，点P 1是A1C 与 AB 的交点，求证：CP 1 2 AP 1 ； 2 （2） 将图 2 中A1B1C绕点 C 顺时针旋转 30到A 2B2C （如图 3） ， 点P 2是A2C 与 AB 的交点。线段CP 1与P1P2 之间

12、存在一个确定的等量关 系，请你写出这个关系式并说明理由； （3）将图 3 中线段CP 1 绕点 C 顺时针旋转 60到CP 3 （如图 4） ，连结P 3P2 ， 求证：P 3P2 AB. 解： （1）证明：过点P 1 作 CA 的垂线，垂足 为 D易知：CDP 1 为等腰直角三角形，P 1 DA 是直角三角形，且A D 30， 所以CP 1 2P 1D ，P 1D AP 1 故 CP 1 1 2 2 AP 1 2 （2）解：过点P 1 作 CA 2 的垂线，垂足为 E易知：P 1 EP 2 为等腰直角三角形（其 中2AP 2 CA45）P 1 CE 是直角三角形，且130，所以 CP 1 2

13、P 1E ，P1E 故 CP 2PP 112 2 P 1P2 2 （3）证明：将图 3 中线段CP 1 绕点 C 顺时针旋转 60到CP 3 ，易证： CP 1P2 CP 3P2 ，于是CP2P 3 CP2P 1 45，故P 3P2 AB. 9(2005 无锡)已知正方形 ABCD 的边长 AB=k（k 是正整数） ，正PAE 的顶 点 P 在正方形内，顶点 E 在边 AB 上，且 AE=1. 将PAE 在正方形内按图 1 中所示的方式，沿着正方形的边AB、BC、CD、DA、AB、连续地翻转n D C P A E 图 1 B 次，使顶点第一次回到原来的起始位置. P （1）如果我们把正方形AB

14、CD 的边展开在一直线上，那么这一翻转过程可以看作是 PAE在直线上作连续的翻转运动. 图 2 是 k=1 时， PAE沿正方形的边连续翻转过程的展开 示意图. 请你探索：若 k=1，则PAE 沿正方形的边连续翻转的次数 n=时，顶点 P 第一次回到原来的起始位置. DC P A AB CDA BCDAD B(E) CD BCA B 图 2 （2）若 k=2，则 n=时，顶点第一次回到原来的起始位置；若k=3，则 P n=时，顶点第一次回到原来的起始位置. P （3）请你猜测：使顶点第一次回到原来的起始位置的 n 值与 k 之间的关系（请用含 P k 的代数式表示 n）. 解： （1）12 次

15、 （2）24 次；12 次 当 k 是 3 的倍数时，n=4k；当 k 不是 3 的倍数时，n=12k. 10(2004 山东青岛)操作：在ABC 中，ACBC2，C900，将一块等腰三角形板的 直角顶点放在斜边 AB 的中点 P 处，将三角板绕点 P 旋转，三角板的两直角边分别交射线 AC、CB 于 D、E 两点。图，是旋转三角板得到的图形中的3 种情况。研究： （1）三角板绕点 P 旋转， 观察线段 PD 和 PE 之间有什么数量关系？并结合图加以 证明。 （2）三角板绕点 P 旋转，是否能居为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出 PBE 为等腰三角形时 CE 的长） ；若不能，请说明理

16、由。 （3）若将三角板的直角顶点放在斜边 AB 上的 M 处，且 AM：MB1：3，和前面一 样操作，试问线段 MD 和 ME 之间有什么数量关系？并结合图加以证明。 解：解： （1） 连结 PC， ABC 是等腰直角三角形， P 是 AB 的中点， 1 CPPB，CPAB，ACPACB450，ACPB450，又 2 DPCCPEBPEDPCBPECPEDPCBPEPCD PBEPDPE （2）共有四种情况， 当点 C 与点 E 重合，即 CE0 时，PEPB CE2 2，此时 PBBE 当 CE1 时，此时 PEBE 当 E 在 CB 的延长线上，且 CE2 2时，此时 PBEB A P D

17、 CEB （3）MD：ME1：3过点 M 作 MFBC，垂足分别是 F、HMHAC，MF BC四边形 CFMH 是平行四边形，C900，CFMH 是矩形，FMH900，MF CE CHAM1MF1 HB MH HBMB3MH3 DMFDMH DMHEMH 90 DMF EMH MFD MHE 90 MDF MHE MDMF1 MEMH3 练习：1、 （2005 江苏杨州课改）等腰ABC，AB=AC=，BAC=120，P 为 BC 的中点， 00 小慧拿着含 30 角的透明三角板，使 30 角的顶点落在点 P，三角板绕 P 点旋转 （1）如图 a，当三角板的两边分别交AB、AC 于点 E、F 时

18、求证：BPECFP； （2）操作：将三角板绕点P 旋转到 图 b 情形时，三角板的两边分别交 E BA 的延长线、边 AC 于点 E、F A A E F F 探究：BPE 与CFP 还 C B 相似吗？（只需写出结论） B P P 探究：连结 EF，BPE 图 a图 b 与PFE 是否相似？请说明 理由； 设 EF=m，EPF 的面积为 S，试用 m 的代数式表示 S 解： 2、(2005 沈阳课改) 如图 6，在方格纸中如何通过平移或旋转这两种变换，由图形A 得到图形 B， 再由图形 B 得到图形 C （对于平移变换要求回答出平移的方向和平移的距 离；对于旋转变换要求回答出旋转中心、旋转方向和旋转角度） ； 如图 6，