向量数乘运算及其几何意义.ppt

1、引入新课：,和 的方向_,它们的模 =_ .,和 的方向_,它们的模 =_ .,相同,相反,3,3,2.2.2 向量数乘运算及其几何意义,华侨中学 贾增福,2.2 平面向量的线性运算,接3,教学目标: 掌握实数与向量的积的定义、运算律，理解向量共线的充要条件。 教学重点: 向量的数乘运算及其几何意义,向量共线的充要条件. 教学难点: 对向量数乘运算几何意义的理解.,一、向量数乘运算的定义:,规定实数与向量 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘.,记作:,它的长度和方向规定如下:,(2)当0时, 的方向与 的方向相同;,当0时, 的方向与 的方向相反;,当=0时,练习:课本P100页T2.,数

2、乘向量 与原向量 是共线向量;,二、向量数乘运算的运算律:,设、是实数,那么,特别地,有,例1 计算:,解(1)原式=,(2)原式=,(3)原式=,练习一：课本P100页T3,T5.,练习2,1.,2.,三、向量的线性运算： 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。,对于任意向量 、 ，以及任意实数、1、2，恒有,解：在 中，,平行四边形的对角线互相平分,说明:用向量表示几何元素(点、线段等)是用向量方法证明几何问题的重要步骤.,问题如何判断两个非零向量 和 是共线向量?,对于两个非零向量 、 ，如果有一个实 数,使 = ,那么向量 与 共线.,反过来,已知向量 与 共线,且向量 的长度是

3、向量 的长度的倍,即 = , 那么当 与 同方向时,有 = ;当 与 反方向时,有 =- .,四、向量共线定理:,向量 与 共线,当且仅当有唯一一个实数,使 .,作用:可以判断几何中三点共线和两直线平行的问题.具体方法是:,则CD/AB,且CD=| AB,P100 T4,猜想A、B、C三点共线.,A、B、C三点共线.,练习,练习2,例4:证明:三角形两边中点的连线平行于第三边且等于第三边的一半.,证明:D、E分别是AB、AC的中点,D、B不重合,例5：根据下列条件,判断四边形ABCD的形状,并给出证明:,解:四边形ABCD是菱形.,证明:,AB=DC 且AB/DC,四边形ABCD是平行四边形.

4、,四边形ABCD是菱形.,M,D,解:通过作图可以发现四边形ABCD是平行四边形.,证明:,四边形ABCD是平行四边形.,练习,1. 已知任意四边形ABCD，E为AD的中点，F为BC的中点，求证,思考题：用向量的方法证明：平行四边形一顶点和对边中点的连线三等分此平行四边形的一条对角线。,分析：设F为CD中点，E为AF和BD的交点，要证明E为对角线BD的三等分点，只要证明 即可。,练习：如图，在平行四边形ABCD中，E为三等分点， 求（1）联结DE交AC于F，则F是AC的几等分点？ （2）若F为AC的四等分点，问D，E，F三点是否共线？,例题：在平行四边形ABCD中，延长AB至M，并使BM的长为AB长的一半，连接MD交BC于N，且BN长为BC长的1/3，求证：M，N，D三点共线。,练习：在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，点N在BD上，且BN长为B