高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.5 椭圆课件 文 苏教版

1、9.5椭圆,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.椭圆的概念 平面内到两个定点f1，f2的距离的和等于常数(大于f1f2)的点的轨迹叫做 ，两个定点f1，f2叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 . 集合pm|mf1mf22a，f1f22c，其中a0，c0，且a，c为常数： (1)若 ，则集合p为椭圆； (2)若 ，则集合p为线段； (3)若 ，则集合p为空集.,知识梳理,椭圆,焦点,焦距,ac,ac,ac,2.椭圆的标准方程和几何性质,2a,2b,2c,a2b2c2,点p(x0，y0)和椭圆的关系 (1)点p(x0，y0)在椭圆内 1.,判断下列结论

2、是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)平面内到两个定点f1，f2的距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆.() (2)椭圆上一点p与两焦点f1，f2构成pf1f2的周长为2a2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距).() (3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.() (4)方程mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆.() (5) 1(ab)表示焦点在y轴上的椭圆.() (6) 1(ab0)与 1(ab0)的焦距相等.(),考点自测,1.(教材改编)椭圆 1的焦距为4，则m_.,答案,解析,4或8,由题意知,解得m4或m8.,2.(2016苏州检测)在平面直角坐标系xoy内，动

3、点p到定点f(1,0)的距离与p到定直线x4的距离的比值为 .则动点p的轨迹c的方程 为_.,答案,解析,设点p(x，y)，由题意知 ，,化简得3x24y212，,所以动点p的轨迹c的方程为 1.,3.(2016全国乙卷改编)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆 中心到l的距离为其短轴长的 ，则该椭圆的离心率为_.,答案,解析,如图，由题意得，bfa，ofc，obb，,od 2b b.,在rtfob中，ofobbfod， 即cba b，,解得a2c，故椭圆离心率e .,4.已知中心在原点的椭圆c的右焦点为f(1,0)，离心率等于 ，则c的 方程是_.,由题意知c1，e 所以a2，b2a2

4、c23. 故所求椭圆方程为 1.,答案,解析,5.(教材改编)已知点p是椭圆 1上y轴右侧的一点，且以点p及焦点f1，f2为顶点的三角形的面积等于1，则点p的坐标为 _.,答案,解析,设p(x，y)，由题意知c2a2b2541， 所以c1，则f1(1,0)，f2(1,0)， 由题意可得点p到x轴的距离为1，,所以y1，把y1代入 1，得x ，,又x0，所以x ，,所以p点坐标为 或,题型分类深度剖析,题型一椭圆的定义及标准方程 命题点1利用定义求轨迹 例1(2016徐州模拟)如图所示，一圆形纸片的圆心为o，f是圆内一定点，m是圆周上一动点，把纸片折叠使m与f重合，然后抹平纸片，折痕为cd，设c

5、d与om交于点p，则点p的轨迹是_.,答案,解析,椭圆,由条件知pmpf， popfpopmomrof. p点的轨迹是以o，f为焦点的椭圆.,几何画板展示,命题点2利用待定系数法求椭圆方程 例2(1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且 过点p(3,0)，则椭圆的方程为_.,答案,解析,y21或 1,若焦点在x轴上，,设方程为 1(ab0).,椭圆过p(3,0)， 1，即a3，,又2a32b，b1，椭圆方程为 y21.,若焦点在y轴上，设方程为 1(ab0).,椭圆过点p(3,0)， 1，即b3.,又2a32b，a9，椭圆方程为 1.,所求椭圆的方程为 y21或 1.,(2)

6、已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点p1( ，1)， p2( )，则椭圆的方程为_.,答案,解析,设椭圆方程为mx2ny21(m0，n0且mn). 椭圆经过点p1，p2，点p1，p2的坐标适合椭圆方程.,两式联立，解得,所求椭圆方程为 1.,命题点3利用定义解决“焦点三角形”问题 例3已知f1，f2是椭圆c： 1(ab0)的两个焦点，p为椭圆c上的一点，且 .若pf1f2的面积为9，则b_.,答案,解析,3,设pf1r1，pf2r2，,因为2r1r2(r1r2)2( )4a24c24b2，,又因为,所以b3.,几何画板展示,引申探究 1.在例3中，若增加条件“pf1f2的周长为1

7、8”，其他条件不变，求该椭圆的方程.,解答,由原题得b2a2c29， 又2a2c18， 所以ac1，解得a5，,故椭圆方程为 1.,2.在例3中，若将条件“ ”“pf1f2的面积为9”分别改为“f1pf260”“ ”，结果如何？,解答,pf1pf22a，又f1pf260， 所以 2pf1pf2cos 60 ， 即(pf1pf2)23pf1pf24c2， 所以pf1pf2b2，,所以3pf1pf24a24c24b2，,所以pf1pf2 ，,又因为,所以b3.,(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2af1f2这一条件. (2)求椭圆标准方程的基本方法是

8、待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组.如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2ny21(m0，n0，mn)的形式. (3)当p在椭圆上时，与椭圆的两焦点f1，f2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求pf1pf2；通过整体代入可求其面积等.,思维升华,跟踪训练1(1)(2016盐城模拟)已知两圆c1：(x4)2y2169，c2：(x4)2y29，动圆在圆c1内部且和圆c1相内切，和圆c2相外切，则动圆 圆心m的轨迹方程为_.,答案,解析,设圆m的半径为r

9、， 则mc1mc2(13r)(3r)168c1c2， 所以m的轨迹是以c1，c2为焦点的椭圆，且 2a16,2c8，,故所求的轨迹方程为 1.,几何画板展示,(2)(2016镇江模拟)设f1、f2分别是椭圆 y21的左、右焦点，若椭圆上存在一点p，使 0(o为坐标原点)，则f1pf2的面积是_.,1,pf1pf2，f1pf290. 设pf1m，pf2n， 则mn4，m2n212,2mn4，,答案,解析,题型二椭圆的几何性质 例4(1)已知点f1，f2是椭圆x22y22的左，右焦点，点p是该椭圆上的一个动点，那么 的最小值是_.,2,答案,解析,设p(x0，y0)，则 (1x0，y0)，,(1x

10、0，y0)， (2x0，2y0)，,点p在椭圆上，0 1，,当 1时， 取最小值2.,(2)(2016全国丙卷改编)已知o为坐标原点，f是椭圆c： 1(ab0)的左焦点，a，b分别为椭圆c的左，右顶点.p为c上一点，且pfx轴.过点a的直线l与线段pf交于点m，与y轴交于点e.若直线bm经 过oe的中点，则c的离心率为_.,答案,解析,设m(c，m)，则 ，oe的中点为d，则 ，,又b，d，m三点共线，所以 ，a3c，e .,(1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧 注意椭圆几何性质中的不等关系 在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围，离心率的范围等

11、不等关系. 利用椭圆几何性质的技巧 求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系. (2)求椭圆的离心率问题的一般思路 求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，利用a2b2c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围.,思维升华,跟踪训练2(2016江苏)如图，在平面直角坐标系xoy中，f是椭圆 1(ab0)的右焦点，直线y 与椭圆交于b，c两点，且bfc 90，则该椭圆的离心率是_.,答案,解析,联立方程组,解得b，c两点坐标为,又f(c,0)，则,又由bfc90，可得 0，代入坐

12、标可得,c2 0，,又因为b2a2c2.,代入式可化简为 ，则椭圆离心率为e .,题型三直线与椭圆 例5 (2016天津)设椭圆 的右焦点为f，右顶点为a. 已知 ，其中o为原点，e为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程；,解答,可得a2c23c2. 又a2c2b23，所以c21，因此a24. 所以椭圆的方程为 1.,(2)设过点a的直线l与椭圆交于点b(b不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点m，与y轴交于点h.若bfhf，且moamao，求直线l的斜率.,解答,设直线l的斜率为k(k0)，则直线l的方程为yk(x2).,设b(xb，yb)，由方程组 消去y，,整理得(4k23)x216k2x

13、16k2120，解得x2或x,由题意，得xb ，从而yb,由(1)知，f(1,0)，设h(0，yh)，,设m(xm，ym)，由方程组 消去y，,因此直线mh的方程为y,解得xm,在mao中，moamaomamo，,所以直线l的斜率为,(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单. (2)设直线与椭圆的交点坐标为a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 (k为直线斜率). 提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.,

14、思维升华,跟踪训练3如图，已知椭圆o： y21的右焦点为f，b，c分别为椭圆o的上，下顶点，p是直线l：y2上的一个动点(与y轴交点除外)，直线pc交椭圆o于另一点m. (1)当直线pm过椭圆的右焦点f时，求fbm的面积；,解答,由题意知b(0,1)，c(0，1)，焦点f( ，0)， 当直线pm过椭圆o的右焦点f时，,直线pm的方程为 1，即y 1.,联立,解得 或 (舍去)，,即点m的坐标为( ).,连结bf，则直线bf的方程为 1，,即x 0.,又bfa2，点m到直线bf的距离为,故fbm的面积为smbf,(2)记直线bm，bp的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；,解答,方法一设

15、p(m，2)，且m0，,则直线pm的斜率为k,则直线pm的方程为y x1.,联立 消去y，得 0，,解得点m的坐标为( )，,所以k1k2 为定值.,方法二设点m的坐标为(x0，y0)(x00)，,则直线pm的方程为y x1，,令y2，得点p的坐标为( ，2)，,求 的取值范围.,解答,方法一由知， (m,3)，,令m24t4，,因为yt 7在t(4，)上单调递增，,故 的取值范围为(9，).,因为yt 7在t(0,2)上单调递减，,令ty01(0,2)，,故 的取值范围为(9，).,考点分析离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆

16、的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法.,高考中求椭圆的离心率问题,高频小考点8,典例1(2015福建改编)已知椭圆e： 1(ab0)的右焦点为f，短轴的一个端点为m，直线l：3x4y0交椭圆e于a，b两点.若afbf4，点m到直线l的距离不小于 ，则椭圆e的离心率的取值范围 是_.,答案,解析,左焦点f0，连结f0a，f0b， 则四边形afbf0为平行四边形. afbf4， afaf04， a2.,设m(0

17、，b)，则 ，1b2.,典例2(14分)(2016浙江)如图，设椭圆 y21(a1). (1)求直线ykx1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)； (2)若任意以点a(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.,规范解答,解(1)设直线ykx1被椭圆截得的线段为am，,由 得(1a2k2)x22a2kx0，,故x10，x2 ，,6分,(2)假设圆与椭圆的公共点有4个， 由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点p，q，满足apaq. 记直线ap，aq的斜率分别为k1，k2， 且k1，k20，k1k2. 8分,由k1k2，k1，k20，得1 a2(2a2) 0，,因此 1a

18、2(a22)，,因为式关于k1，k2的方程有解的充要条件是1a2(a22)1， 所以a . 12分,因此，任意以点a(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a ，,所以离心率的取值范围是(0， . 14分,课时作业,1.(2016盐城模拟)已知椭圆c： 1(m0)的左、右焦点分别为f1、f2，过f2的直线l交c于a、b两点，若af1b的周长为 ，则椭圆c的 方程为_.,af1b的周长af1bf1af2bf24a，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,2.(2016苏北四市一模)已知椭圆 1(ab0)，点a、b1、b2、f依次为其左顶点、下顶点

19、、上顶点和右焦点.若直线ab2与直线b1f的交点 恰在直线x 上，则椭圆的离心率为_.,答案,解析,由题意知直线ab2： 1，直线b1f： 1， 联立解得x ，若交点在椭圆的右准线上， 则 ，即2c2aca20， 所以2e2e10，解得e .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.若对任意kr，直线ykx10与椭圆 1恒有公共点，则实数m的取值范围是_.,联立直线与椭圆的方程， 消去y得(2k2m)x24kx22m0， 因为直线与椭圆恒有公共点， 所以16k24(2k2m)(22m)0，即2k2m10恒成立， 因为kr，所以k20，则m10，所以m1， 又m2，所以实

20、数m的取值范围是1,2)(2，).,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2)(2，),4.(2016南昌模拟)已知椭圆： x21，过点p( )的直线与椭圆相交于a，b两点，且弦ab被点p平分，则直线ab的方程为_.,答案,解析,9xy50,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,设a(x1，y1)，b(x2，y2)，因为a，b在椭圆 x21上，,即 (x1x2)(x1x2)0，,又弦ab被点p( )平分，,所以x1x21，y1y21，,将其代入上式，得 x1x20，得 9，,即直线ab的斜率为9，所以直线ab的方程为y 9(x )，,

21、即9xy50.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.(2016宿迁模拟)已知f1、f2是椭圆 y21的两个焦点，p为椭圆上一动点，则使pf1pf2取得最大值的点p为_.,答案,解析,(0,1)或(0，1),由椭圆定义得pf1pf22a4，,pf1pf2( )24，,当且仅当pf1pf22， 即p(0，1)或(0,1)时，pf1pf2取得最大值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*6.已知两定点a(2,0)和b(2,0)，动点p(x，y)在直线l：yx3上移动， 椭圆c以a，b为焦点且经过点p，则椭圆c的离心率的最大值为_.,答案,解析,1

22、,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,由题意知，椭圆c的离心率e ，求e的最大值，即求a的最小值. 由于a，b两点是椭圆的焦点，所以papb2a， 即在直线l上找一点p，使papb的值最小， 设点a(2,0)关于直线l：yx3的对称点为q(x0，y0)， 即q(3,1)，则papbqb,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.若椭圆 1(a0，b0)的焦点在x轴上，过点(2,1)作圆x2y24的切线，切点分别为a，b，直线ab恰好经过椭圆的右焦点和上顶点， 则椭圆方程为_.,答案,解析,设切点坐标为(m，n)，则 1，即m2n2n2m0.,m2n24

23、，2mn40，即直线ab的方程为2xy40. 直线ab恰好经过椭圆的右焦点和上顶点， 2c40，b40，解得c2，b4，a2b2c220，,椭圆方程为 1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.已知p为椭圆 1上的一点，m，n分别为圆(x3)2y21和圆(x3)2y24上的点，则pmpn的最小值为_.,答案,解析,7,由题意知椭圆的两个焦点f1，f2分别是两圆的圆心， 且pf1pf210， 从而pmpn的最小值为pf1pf2127.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.(2017连云港质检)椭圆 y21的左，右焦点分别为f1，f2，点p为

24、椭圆上一动点，若f1pf2为钝角，则点p的横坐标的取值范围 是_.,设椭圆上一点p的坐标为(x，y)，,f1pf2为钝角， 0，即x23y20，,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,10.已知椭圆 1(ab0)的离心率等于 ，其焦点分别为a，b，c为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在abc中， _.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3,在abc中，由正弦定理得,因为点c在椭圆上，所以由椭圆定义知cacb2a，,而ab2c，所以,11.(2016南京模拟)如图，椭圆c： 1(ab0)的右焦点为f，右顶点，上顶点分别为a，

25、b，且ab bf. (1)求椭圆c的离心率；,解答,由已知ab bf，,即 ，4a24b25a2，4a24(a2c2)5a2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)若斜率为2的直线l过点(0,2)，且l交椭圆c于p，q两点，opoq，求直线l的方程及椭圆c的方程.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,设p(x1，y1)，q(x2，y2)， 直线l的方程为y22(x0)，即2xy20.,由(1)知a24b2，椭圆c： 1.,由 消去y，,3221617(b24)0，解得b .,得x24(2x2)24b20，即17x232x164b20.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,即x1x2y1y20，x1x2(2x12)(2x22)0，5x1x24(x1x2)40.,解得b1，满足b .,椭圆c的方程为 y21.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11