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文档简介

1、3.2 数值微分,3.2.1 引例：人口增长率问题 3.2.2 基本内容 3.2.3 用Matlab作数值微分 3.2.4 实验,3.2.1 引例：人口增长率问题,已知20世纪美国人口统计数据如下，试计算 表1中这些年份的人口增长率。 表 3.1 20世纪美国人口统计数据 若记 时刻的人口为 ，则人口（相对）增长率 为 ， 表示每年人口增长的比例。,3.2.2 基本内容,数值微分是用离散方法近似地计算函数y=f(x) 在某点 x= 的导数值，通常当函数以下列两种情况给出时，才有必要采用数值的方法求函数的导数值。 （1） 函数f(x)以离散点列给出时，而要求我们给 出导数值； （2） 函数f(x

2、)过于复杂。,3.2.2 基本内容,导数的定义： 其中h(0)为小的增量。,自然想到的简单方法： 取极限的近似值，即差商,3.2.2 基本内容,(3-1),图3.1 向前差商公式的几何意义,向前差商,3.2.2 基本内容,由Taylor展开 因此，有误差,3.2.2 基本内容,(3-2) 图3.2 向后差商公式的几何意义 误差为：,向后差商,3.2.2 基本内容,图3.3 中心差商的几何意义 误差：,(3-3),中心差商,3.2.3 用Matlab作数值微分,X是向量，则diff(X)返回X(2)-X(1) X(3)-X(2) X(n)-X(n-1); X是矩阵，则diff(X)返回各列的差分

3、矩阵 X(2:m:)-X(1:m:)。 将X作n次递归差分。,微分和差分函数diff包括数值差分和符号微分。 其数值差分的主要调用格式如下：,diff(X),Diff(X,n),3.2.4 实验,对3.2.1中人口增长率问题进行实验。 记1900年为k=1, 1910, ,1990年依次为k=2,3, ,10; 相应地，人口记为 每10年增长率为 用向前差商公式求出前90年的增长率：,3.2.4 实验,用向后差商公式求1990年的增长率： 计算程序如下： x=76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4; %先求出前90年的增长率（向前差分） h=1:9 t(h)=x(h); y=diff(x);,3.2.4 实验,z=y./(10.*t); %再求出1990年的增长率（向后差分） r=(x(10)-x(9)/(10*x(10); r=z r; %变成百分比 r=r./100; 结果为：,表3.2 20世纪美国人口相对增长率,3.2.4 实验,20世纪美国人口增长率总的来说在下降，但是有起伏

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