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文档简介
1、3.2 数值微分,3.2.1 引例:人口增长率问题 3.2.2 基本内容 3.2.3 用Matlab作数值微分 3.2.4 实验,3.2.1 引例:人口增长率问题,已知20世纪美国人口统计数据如下,试计算 表1中这些年份的人口增长率。 表 3.1 20世纪美国人口统计数据 若记 时刻的人口为 ,则人口(相对)增长率 为 , 表示每年人口增长的比例。,3.2.2 基本内容,数值微分是用离散方法近似地计算函数y=f(x) 在某点 x= 的导数值,通常当函数以下列两种情况给出时,才有必要采用数值的方法求函数的导数值。 (1) 函数f(x)以离散点列给出时,而要求我们给 出导数值; (2) 函数f(x
2、)过于复杂。,3.2.2 基本内容,导数的定义: 其中h(0)为小的增量。,自然想到的简单方法: 取极限的近似值,即差商,3.2.2 基本内容,(3-1),图3.1 向前差商公式的几何意义,向前差商,3.2.2 基本内容,由Taylor展开 因此,有误差,3.2.2 基本内容,(3-2) 图3.2 向后差商公式的几何意义 误差为:,向后差商,3.2.2 基本内容,图3.3 中心差商的几何意义 误差:,(3-3),中心差商,3.2.3 用Matlab作数值微分,X是向量,则diff(X)返回X(2)-X(1) X(3)-X(2) X(n)-X(n-1); X是矩阵,则diff(X)返回各列的差分
3、矩阵 X(2:m:)-X(1:m:)。 将X作n次递归差分。,微分和差分函数diff包括数值差分和符号微分。 其数值差分的主要调用格式如下:,diff(X),Diff(X,n),3.2.4 实验,对3.2.1中人口增长率问题进行实验。 记1900年为k=1, 1910, ,1990年依次为k=2,3, ,10; 相应地,人口记为 每10年增长率为 用向前差商公式求出前90年的增长率:,3.2.4 实验,用向后差商公式求1990年的增长率: 计算程序如下: x=76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4; %先求出前90年的增长率(向前差分) h=1:9 t(h)=x(h); y=diff(x);,3.2.4 实验,z=y./(10.*t); %再求出1990年的增长率(向后差分) r=(x(10)-x(9)/(10*x(10); r=z r; %变成百分比 r=r./100; 结果为:,表3.2 20世纪美国人口相对增长率,3.2.4 实验,20世纪美国人口增长率总的来说在下降,但是有起伏
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