光栅中的布洛赫模.pptx

1、光栅中的布洛赫模,主要内容,1.引言 2.光栅特性的经典解释 3.光栅特性的全新解释(Bloch Mode) 4.金属光栅中的Bloch Mode 5. Bloch Mode与Simplified Mode关系浅析 6.参考文献,1.引言,1.1 虽然亚波长光栅的电磁特性，可以利用RCWA精确地计算出来；但不能直接理解其中潜在的物理效应。某些光学效应，比如sharp anomalies，可以认为由leak modes的共振激发引起的(光栅的结构表现为周期性的波导)，而被很好地理解。 1.2对于微调制的周期性波导，leak-mode分析方法能够提供也深入的物理见解。过调制时，由于leakage和

2、band gaps较大，散射矩阵s就显得比较复杂了。另外，有效介质理论(EMT)完全不能预测目前光栅形貌的频谱特性。这是因为在我们感兴趣的频谱范围内，有几个Bloch mode在其中传播。只有周期性结构中仅一个传播的Bloch mode并且槽深足够大，即evanescent Bloch mode并不参与光栅中能量的转移，EMT的分析才比较精确。,此时，Bloch mode (折射率为 )在两个光栅界面之间的来回传播，就产生了明显的频谱偏振特性;这个过程类似于一个薄膜中的多光束干涉。 1.3对于几个Bloch mode传播的情形，就不是那么直观了。因此，我们对大调制亚波长光栅对光波的响应特性，缺

3、乏概念性的理解。另外，EMT和poles/zeros approach是两个完全不同的方法。前者，主要是类似于FP的vertical resonances;后者，leak-mode approach ,当有一个波在光栅中传播时，主要是transverse resonance。虽然，它们在各自的领域内应用的很好，但是有时某些其他的方法，能够提供更好的解释。 本文研究亚波长光栅，有几个Bloch mode在其中传播，可以通过考虑Bloch mode在光栅界面上的反射跟耦合，来理解其光学特性。与以往不同，我们通过考虑Bloch mode在孤立界面上的耦合系数，给出定量的分析。孤立界面代表了光栅衍射问

4、题的基本单元，因为光栅可以被认为是，两个孤立界面以及他们之间的相互作用的联系。关于孤立界面的电磁特性，目前还很少研究。,2.光栅特性的经典解释,周期性波导中的leaky modes 2.1通常a leak-mode是光栅的一个横向共振,并且在数学上被描述为与光栅散射矩阵极点有关的电磁场。通常认为它是沿着光栅界面传播的，当它传播时其向光栅外传播能量，因为它与一个或几个cladding平面波的模相互耦合。因此，其拥有一个复的平行波矢 。色散关系曲线与纵轴交点附近的点，相应的leak-mode有着独特光学特性，且是一个导模，因为其相对于z轴不对称。而且，其群速度为0，相对于x轴是对称的。,2.2 对

5、于点附近的 值，leak-mode不再是非对称地，它会被入射的平面波激发，这种共振激发将直接导致在反射频谱上，在此点频率附近出现两个明显的共振异常。 2.3 正入射时。人们可能将TM偏振频谱的特性解释为，二阶导带上一个复极点和发射率、透射率real zeros的存在。对于TE偏振，人们可能认为宽带反射特性，来自于两个leak-mode。 但是，那些模都是色散图中的高能带，它们和空气有较强的能量交换，并且寿命较短，它们的极点有很大的虚数值。所有这些，限制了我们的直观理解。,3.光栅特性的全新解释,3.1 孤立界面：本节将研究Bloch mode在孤立界面上的耦合系数以及它们对光栅光学特性的影响。

6、 3.1.1我们都知道，当光栅周期远小于周期时，光栅区域中只有一个传播的Bloch mode，其他都是倐逝波。这个单模模型，是EMT的核心。下面的分析中，光栅区域能量的流动是通过几个传播的Bloch mode来调节的。用这种方法，可以认为光栅是由真空和一系列亚波长狭缝，这两个单独的界面构成的。 3.1.2模耦合系数，尽管在光栅散射问题中具有核心地位，但前人少有研究。,3.1.3 通过在z=0平面，匹配切向的电磁场分量，可以得到散射矩阵S。它将向外、向内传播的波的振幅联系了起来。当光栅槽深足够大，就可以将S缩小为小矩阵s，它仅与传播模有关，忽略了窦逝模，这种简化是合理的。 3.1.4 对于我们感

7、兴趣的频谱范围和小角度入射。文中所示的光栅支持三个传播的Bloch mode。对于TE偏振和正入射的情况，基模相对于x=0平面对称；第二个模式非对称的，正入射时并不被激发；第三个模是对称的。 当1.84时，所有的系数都出现了一个边缘，此现象和光栅的瑞利异常有关，与某个衍射级次的忽略有关。,3.2耦合布洛赫模共振模型 3.2.1双布洛赫模共振模型 (1)基于光栅中两个传播Bloch mode的循环，提出了一个共振模型。该模型能预测光栅在正入射下的反应。这是因为，正入射时仅第一第三个Bloch mode在光栅中传播，并且在光栅界面处交换能量；而第二个Bloch mode相对于z轴是不对称的，且不和

8、其他传播模交换能量。 (2)在这个模型中能量的转换和仅考虑一个Bloch mode的EMT有着很大的不同。对于小角度入射，在一个较窄的频谱范围内，出现了显著的异常。对于TE偏振，有一个定量的符合；而对于TM偏振，有此模型预测的共振点较RCWA有一个蓝移。除了一些频谱的移动，此模型能够很好的预测透射和反射的real zeros的存在。光栅散射矩阵s的散射系数的real zeros的存在与能量守恒、相互作用、对称性有关。尽管模型并不确切，但其涵盖了基本的特性。,3.2.2 共振器的简正模 (1)为了定量地理解反射特性，假设三个Bloch mode相互不发生耦合。在弱耦合的极限下，在波长 0 处的共

9、振是由于FP相位匹配条件。确切的说，半个循环周期内模所经历的总的相位延迟应该是的倍数。当正入射是，仅考虑第一和第三个模。对于TM偏振，当两个模相互耦合即 13 0时，FP模同样耦合，并且变得非正交了。 (2)现在，我们仅仅讨论了正入射下有第一第三个模之间耦合形成的简正模。当小角度入射时，出现的显著异常可以由第二个模的FP共振解释。因为在小角度入射下，第二个模几乎是非对称的，它将和另外两个模以及衍射平面波微弱耦合。,4.金属光栅中的布洛赫模,4.1平面波垂直入射 4.1.1 引言 对于surface plasmon polaritions(SPP)在金属光栅透射特性中的作用；Cao等认为SPP对

10、透射增强起消极作用，而Porto 认为SPP促进透射 。这个矛盾的出现，需要有关SPP现象的一个令人满意的解释。如果不能阐明surface plasmon, Wood anomaly, High transmission efficiencies之间的联系，就难以解释前面的不一致。 Evanescent modes(confined to the facet of slit array) 与guided modes(propagate into the slit)之间的相互作用，决定了金属光栅的透射特性。(这里guided mode 指的是在光栅中传播的电磁模)。,我们的计算表明，SPP的激发

11、导致了金属光栅透射效率的巨大衰减；而高的透射效率通常和Wood anomaly的出现有关，并且Wood anomaly不是高透射效率的唯一因素。 我们使用Bloch mode而不是Bloch wave,是因为这样的模存在而且独立的传播。各个被激发出来的模的能量，可以通过匹配边界条件来确定。 4.1.2 Bloch mode 我们仅仅考虑平面线偏振光，其波矢位于yz平面，也就是入射TM偏振光。下面将把slits和metallic中的电场和磁场表示为非均匀平面波的叠加，并且求解由边界条件所导致的方程。,金属光栅中Bloch mode 的超越方程 为了获得周期性结构中的模，必须求解具有周期性边界条件

12、的平板波导的Maxwell方程。本文仅仅考虑TM模，因为TE模的传播长度不超过半个波长。我们将slits和metallic中的电场和磁场表示为两个平面波(在垂直界面上来回传播)的叠加。 在z0区域，磁场表示为 根据周期性条件和边界条件，传播常数满足特征方程： 在正入射的条件下，由于对称性=1。 对于even modes, 1 = 2 , 1 = 2 ,特征方程简化为,(2)Bloch mode profiles 对于周期p=0.9,w=0.1,=1,正入射的情况，我们得到了此系统中的唯一guided mode： 图中Abnormal modes规律性间隔出现，他们的虚部间隔 0 。 Abnor

13、mal modes来自于lateral F-P-like resonance within the slits,The first ten modes of a slit array in a semi-infinite silver host (p = 0.9m, w= 0.1m, o= 1.0m, normal incidence). 第一个模是 guided mode,所有其他的模沿着z轴高度衰减。 对于金属中的模，他们可以沿着y轴延伸，而衰减很小。那些modes在金属的上表面累积电荷和电流，并且对于slits拐角处电荷的累积也有贡献。,(2)Bloch mode的正交性 在光栅上方自由

14、空间中的模，是两两正交的。而，在光栅区域中的模，不是相互正交的。图中内积明显的周期性可能与图2中异常根有着内在的联系，虽然这目前还不明确。,4.1.3 Excitation of Bloch modes by an incident plane wave 为了计算耦合系数，需要知道光栅上方的模，磁场表示为 其中， 对于正入射，对称性将仅仅激发even modes,也就说,4.1.4 金属光栅的透射特性 在某些p值处，T取最小通常与SPP的激发有关。也就是说，当p取值为SPP波长 整数倍时。在文中，波长 0.99 为理解上图某些异常行为的本质，我们将在p= 0 , p= 2 0 附近 探究反射，

15、透射模的成分。对于透射，模15是图3中前5个具有最小损耗的模，以guided mode#1开始。对于反射，第一个模来自于入射平面波的直接反射，对应于方程8中n=0;第二个模来自于两个平面波的和 ，对应于方程8中n=1;第三个模来自于两个平面波的和 ，对应于方程8中n=2等等。,(1) 当p接近于 ,most mode diminish, leaving Normally reflected mode(#1) A single evanescent mode(#2) Two non-propagating Bloch mode(#2 and #3) in transmission-within

16、the slit array resemble the SPP excitation beneath a flat metal surface(without slits),(2)通常认为在p= 0 处，衍射效率的局域峰值来自于能量沿着界面的重新分布(在掠射角时忽略了evanescent modes)。表一显示在p= 0 时，很多模重新在z=0界面处有一个很好的匹配。而图8中，第二行显示最初的几个模已经无法满足了。 对于p= 到 0 Guided mode(#1)突然增加到一个很大值，0.02-0.42 specularly reflected mode(#1 in reflection)有较

17、大下降,0.99-0.9 衍射光(#2 in reflection),从evanescence-propagating 这打破了界面处电场磁场的平衡，因此需要激发高阶模来恢复平衡。,(3) p2 Guided mode(#1 in transmission) extinguished,0.02 specularly reflected mode(#1 in reflection),prominence,0.99 衍射光(#2 in reflection) nearly vanish,0.01 Evanescent mode with resonant SPP frequency(#3 in r

18、eflection) nearly above all the other evanescent mode in z0 P=2 ,SPP excitation mask the presence of the slit, thus,preventing the excitation of guided mode(#1 in reflection), returning all the incident power via specular reflection. (4)p=2 2 0 此时，再一次z=0边界处，平衡的条件被打破，入射光很大部分能量被转移到了guided mode(#1 in t

19、ransmission)以及衍射光(#2 in reflection). 最初的几个模，不足以在z=0处满足边界条件。因此需要激发高阶的模，正如图8第四行所示。,4.2平面波倾斜入射 4.2.1引言 在前文基础上展开，保持周期、缝宽不变，探究金属光栅在平面波各不同入射角下的透射特性。与前文一样，仅关注TM偏振，因为TE偏振光不会在光栅中激发任何guided modes. 如下图所示，固定光栅周期p=1.2,缝宽w=0.1。假设槽深无穷大，以消除底部反射光对入射上表面的反射和透射光的影响。,4.2.2 Propagation constants and Bloch mode profiles (

20、1)根据图1，在z0区域，磁场可以表示为 与垂直入射的情形相比，倾斜入射所允许的Bloch modes是前者的2倍之多。这是因为，垂直入射仅激发even modes;而倾斜入射打破了左右的对称性，因此也许更多的模存在。实际上，在垂直入射下，也能在光栅中找到非对称的模，只是在匹配边界条件时，他们的系数为零了。,下图表示，在入射角为30度，特征方程的根(传播常数)在复平面上位置。在目前的条件下，第一个模是光栅中唯一的guided mode。而其他模的虚部较大，因此仅存在于入射界面 处。多数高阶模沿着y轴方向的损耗较小，因此它们沿着平行于上表面的方向传播，帮助建立了此表面两侧电场磁场的连续性。,4.

21、2.3 Matching the boundary conditions at the entrance facet of the slit array 下面，我们来考察Bloch mode级数展开的收敛性。如左图所示，随着N的增加，模的系数迅速地收敛为其稳态。总之，N大概取值为50时，就能够获得误差小于0.1%的耦合系数。这个数目大概是正入射的2倍。如右图所示，为光栅中前20个模的振幅，有三种情况：普通，Wood anomaly, SPP。经过简单分析可见，正如垂直入射情形，SPP似乎抑制guided mode和光栅中高阶模。入射光的一部分能量在金属的入射界面被强烈吸收，而剩下的光以镜面反射

22、的形式回到了入射空间。,4.2.3 Woods anomaly and SPP excitation at oblique incidence (1)下图中，总的透过率T和guided modes的透过率T1之间的差异，是在入射界面处被吸收的光的能量。在T和T1上，两个大的凹陷对应于SPP anomaly;而较小的局域的峰值对应于Wood anomaly。 这些异常的入射角，可以由简单的公式计算出来,(2)下图详细的描绘了，slit array是如何影响狭缝附近处场的分布的。,4.3 小结 (1)垂直入射下一组异常现象(SPP resonance和Wood anomaly),当倾斜入射时分裂为

23、两个部分。这表明，在多数情况下，透射是比较强的；但是在入射界面处SPP的激发将会使得透射大幅下降。 必须指出，the reduced transmissivity of semi-infinite(=)slits under conditions that promote the excitation of SPP； the enhanced transmission of slit arrays in metallic films of finite thickness() under the same conditions。是绝不相互矛盾的。 前者，一种完全不同的resonance可以在s

24、lit waveguide形成的腔中形成。Guided mode在金属膜(厚度为)的上下界面来回传播；这和光波通过F-P resonator的反射镜的多次反射是一致的。 后者，当p 时， semi-infinite(=)slits的透射率减小了，而相同条件下metallic films of finite thickness()的透射率，在满足共振的条件( + 2 =)下，却可以变得很大。,(2)把金属光栅中的光场进行Bloch mode展开，是一个可行的方案，其对于任意倾斜入射的角度都是适用的。每个Bloch mode都是此结构的一个自然的结果，其在光栅中独立的传播。每个模的能量，都可以在入

25、射界面，通过匹配入射的电场磁场与反射及入射的电场磁场而确定。 与传统的RCWA相比，Bloch mode的一个优势在于其具有较快的收敛速度。可以看到，在金属光栅入射界面处，SPP的激发使得透过的guided mode的能量大幅度减少。这个行为与Wood anomaly是完全不同的。后者，某一衍射级次在入射界面两侧的转变造成了图T中的一个微小的峰值。但是，并不使得透过光栅的guided mode减小。,5.布洛赫模与简化模关系浅析,5.1光栅光学特性的经典解释是著名的polology approach,它是研究与整个光栅衍射问题问题有关的散射算符的极点和零点。这里我们选择了在光栅中来回反射并且在光栅界面处耦合的Bloch mode。整个两种