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第四节 对数留数与辐角原理,一、对数留数,二、辐角原理,三、路西定理,四、小结与思考,2,一、对数留数,1. 定义,具有下列形式的积分:,说明:,1) 对数留数即函数 f(z)的对数的导数,在C内孤立奇点处的留数的代数和;,3,2. 定理一,内零点的总个数, P为 f(z)在C内极点的总个数.,其中, N为 f(z)在C,且C取正向.,注意: m级的零点或极点算作m个零点或极点.,4,证,5,6,证毕,由以上所述和留数定理，得,7,二、辐角原理,.,不一定为简单闭曲线, 其可按正向或负向绕原,点若干圈.,1. 对数留数的几何意义,8,单值函数,等于零,9,结论:,(k总为整数),对数留数的几何意义是 绕原点的回转次数k,10,由定理一及对数留数的几何意义得,可计算f(z)在C内零点的个数 此结果称为辐角原理,11,2定理二 (辐角原理),12,三、路西定理,定理三(路西定理),说明:,利用此定理可对两个函数的零点个数进行比较 .,13,证,在C内部解析,14,15,证毕,16,例1 试证方程,证,17,在圆内的零点数为n,在圆内的零点数也为n,18,例2,对数留数.,解,所以这些零点是二级零点,从而是 f(z) 的二级极点.,19,所以由对数留数公式得,20,四、小结与思考,通过本课的学习, 应熟悉对数留数及其与函 数的零点及极点的关系; 了解辐角原理与路西定 理.,21,思考
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