2013-04-07-13-系统建模与动力学分析-模拟计算机.ppt

1、系统建模与动力学分析,学 时 数：48 学 分：3 任 课 教 师：连峰 工 作 单 位：电信学院综合自动化研究所 办公室地点：西一楼117房间 办公室电话：82663948-801,模拟计算机,解微分方程： 一般需备有积分器、加法器、反号器、电位器和直流电源等几个部件。 例题：考虑微分方程为 借助模拟计算机解微分方程时，总是对导数积分而不是对它们微分。其理由是寄生噪声总是出现在模拟计算机中。微分加强噪声的作用，而积分消除噪声。因此，上式改为 可用下图模拟,模拟计算机,指数函数的产生 首先求得对应的微分方程的解是 x(t)=20e-0.5t 的最低阶微分方程式。 将 x(t) 对时间求导数，得

2、 dx/dt=-10e-0.5t 因此，所要求的微分方程式为 dx/dt+0.5x=0, x(0)=20 由此得 dx/dt=-0.5x 假设可以利用 dx/dt，可得产生一个给定的指数的模拟计算机图如下：,模拟计算机,正弦函数的产生 希望产生一个正弦信号10sin3t 首先求解是 10sin3t 的最低阶微分方程式。 设 x(t)=10sin3t 于是 d2x/dt2=-90sin3t 因此，所要求的微分方程式为 d2x/dt2+9x=0, x(0)=10， dx/dt(0)=30 由此得 d2x/dt2=-9x 假设可以利用 d2x/dt2， 那么对其积分两次便可求得x。 系统的模拟计算机

3、图如下：,模拟计算机,时间比例尺：时间比例尺是物理系统的独立变量与模拟计算机的独立变量之间的关系。如果需要，计算机可以调成与“实际时间”相比较进行得快些、慢些或相等。 设计算机时间与实际时间之间的关系为 式中： 是时间比例尺。如果时间比例尺选择为0.1，那么实际时间10秒等于计算机时间1秒。 例题：微分方程式为 对此系统，有 要放慢响应，有,模拟计算机,于是，系统方程成为 如果选择时间比例尺为10。则得 对此系统，有 这表明，实际系统在0.8秒后，进入稳定状态，变换后，稳定时间为8秒。,模拟计算机,数量比例尺：它是放大器的输出电压与对应的物理量之间的关系。 注意：数量比例尺 应在时间比例尺之后

4、；放大器的输出电压应在适当 范围，避免饱和或超过放大器的极限、以及避免实际物理系统中将发生的变量的最大值对应的输出电压太小。 解微分方程式步骤如下： 根据需要决定时间比例尺和数量比例尺。 由微分方程式中解出最高阶导数。所求得方程式的右边决定第一个积分器的输入。 积分最高阶导数求得低阶导数及变量本身。把这些低阶导数项代入对于系统方程式来说是相当的部件，因此产生高阶导数和封闭回路。 根据要求提出初始条件。,模拟计算机,例7-14。研究图7-57所示的系统。假设位移x是从平衡位置量起。初始条件给定为 x(0)=0m, dx/dt|t=0=3m/s 试在模拟计算机上模拟此机械系统。 系统的方程式为 m

5、d2x/dt2+bdx/dt+kx=0 将m，b，k的数值代入 0.2d2x/dt2+1.2dx/dt+180 x=0 或 d2x/dt2+6dx/dt+900 x=0 系统的稳定时间是 ts=4/(n)=1.33s,模拟计算机,假设我们放慢响应和使新的稳定时间为13.3s。即选择时间比例尺为10. 把独立变量从t改变为，其中=t=10t，则一个适当的时间比例系统方程式为 d2x/d2+0.6dx/d+9x=0 其中x(0)=0m, dx/d|=0=0.3m/s 将上式作为决定数量比例尺的初始方程式，解该式的高价导数得 d2x/d2=-0.6dx/d-9x 现在我们来决定数量比例尺，使其在每一

6、个放大器中的最大变动幅度是90V。 定义k1和k2作为数量比例尺，k1是关于电压与速度(m/s)的关系， k2是关于电压与位移(m)的关系。,模拟计算机,k1有量纲伏特秒每米(Vs/m), k2有量纲伏特每米(V/m) 上式可重写为 d2x/d2=-(0.6/k1)k1dx/d-(9/k2)k2x 为减小噪声作用和保持高的精度，将使用最小数目的放大器。由于系统是二阶的，因此必须有两个积分器。 又因为每经过一个运算放大器，符号要改变一次，因此如果回路中的运算放大器（积分器、加法器和反号器）数目是偶数的，那么输出电压将要一直增加到饱和为止。 所以，在每一个回路中，运算放大器的数目必须是奇数。而我们

7、最少必须要有一个反号器，因此如图7-58所示，放大器的最少数目需要是三个。,模拟计算机,如图所示，第一个积分器的输出电压是-k1dx/d,第二个积分器的输出电压是-k2x，反号器的输出电压是-k2x。 这些输出电压必须限制在90V. 对于一个二阶系统，当没有阻尼项时具有最强烈的运动，为了得到谨慎的或过分的最大值估计，可使用解 d2x/d2+9x=0，x(0)=0，dx/d(0)=0.3 此简化方程式的解为 x()=0.1sin3， dx/d=0.3cos3 从现在的解我们可以得 到系统的谨慎估计为 |x|的最大值=|x|max=0.1 |dx/d|的最大值 =|dx/d|max=0.3,模拟计

8、算机,因此决定数量比例尺为 k1=90/|dx/d|max=90/0.3=300 Vs/m k2=90/|x|max=90/0.1=900 V/m 注意，对于图7-58，我们有 k1d2x/d2=a(-k1dx/d)+b(-k2x) 或 d2x/d2+a(dx/d)+b(-k2/k1)x=0 由于k2/k1=3，上式变为 d2x/d2+a(dx/d)+3bx=0 将上式与前面已给出的时间比例系统方程式相比较可得 a=0.6，b=3 故我们可选择 a=1，=0.6，b=10和=0.3,模拟计算机,通常第二个积分器的常数设为1或10，我们选择 k2/(k1)=10，得=0.3 最终，一个合适的比例计算机图表示在图7-59(a)中，初始条件是 -k1dx/d(0)=-3000.3=-90V k2x(0)=9000=0V 第二个积分器的输出是900 x(). 本例中所测量到的位移和速度都是伏特，可采用下面的关系变换到米和米每秒 1V对应于(1/900)m ；1V对应于(1/300)米每计算机秒 因为目前状态为 10计算机秒=1真实秒 故 1V