第六章 多目标最优化方法.ppt

1、第六章 多目标最优化方法,6.1 概述 不少经济问题、工程方案、比较问题由于不可能追求其单一指标的优越而作定论，往往需要对其优缺点综合评价，将问题归结为在某些约束条件下求若干目标函数达到整体最优。,6.1.1 国名经济综合平衡规划模型 1.约束条件为 (1) 产品的生产与分配（销售）平衡方程； (2)自然资源的限制方程； (3) 生产能力的限制方程； (4) 居民劳动报酬与消费商品与消费商品总额的平衡方程； (5) 主要消费品，如商品粮供求平衡方程；,(6)劳动力的限制方程； (7)积累与消费比例的约束限制。 2. 目标函数有 (1) 国民收入的数额达到最大； (2) 消费水平增长最快； (3

2、) 新住宅面积达到最大； (4) 物价上涨率最低； (5) 失业最小；,(6) 教育普及率最大； (7) 公共福利事业最好。 6.1.2 工程施工方案比较 1.约束条件 (1) 工期长短的限制； (2) 分期投资限制，总投资限制； (3) 施工机械设备供应限制； (4) 主要建材供料的限制；,(5) 动力、燃料供应限制； (6) 工作面大小的限制； (7) 劳力供应的限制（技工、普工、工程技术人员） 2. 目标函数 (1) 总的投资最省； (2) 工期最短； (3) 生产均衡，不均系数小，施工高峰强度小； (4) 工程质量优，良率最高； (5) 能源及原材料消耗最少；,(6) 劳力及机械设备用

3、量最少。 显然目标间存在矛盾，彼长此短，无一方案全面最优，只能整体最优。 6.1.3 多目标决策的一般数学表达式 设有m个约束条件，k个目标函数，gi(x)0, (i=1,2,.m)表示第i个约束条件，用fj(x)表示第j个目标函数(j=1,2,.k)，并令 g(x)= g1(x), g2(x), ,gm(x)T （约束条件）,F(x)= f1(x), f2(x), ,fk(x)T （目标函数） 求多目标最优化问题可记为 即在满足约束条件的集合R中找出x，使所有的目标fi(x)达到最大。这里 Rxg(x) 0 对于最小值的目标函数（如前一中所述问题中的目标函数4和5）可采用乘以-1的办法化为且

4、最大值的目标函数。,最优解定义：若x0R,对任一个xR，总有F(x)F(x0),称此x0为此多目标问题的最优解。 非劣解定义：若x0R,且不存在xR，使得F(x) F(x0)，则称x0为此目标问题的非劣解。 由此可见，所谓非劣解是个允许解（可行解但却找不到另一个可行解，它至少在一个目标值上大于它，而在其它目标值上欲等于它，所谓求解多目标问题往往归结为如何从非劣解中求一个最优解）,6.2 多目标最优化的求解方法多目标决策 6.2.1 经济工作中的多目标决策方法 1.主要目标法 2.目的规划法 3.线性加权求和法 4.费用效果分析法 5.序列最优化方法 6.2.2 同等满意度法,6.3 多目标决策

5、中目标转化的等效系数法 所谓等效系数法，是一种将计量单位或量纲不统一的目标（指标）值转化为无量纲的标准形式，使得所有目标值都介于小于等于1和大于等于-1之间,即-1,1之间的实数，称这些实数为等效系数。其方法如下;在表1中有n个方案和m个目标，于是可产生nm个目标（指标）值Dij，这些Dij必须是大于等于0的实数。在目标是m个时可采用如下方法求得n个方案的等效系数Dij。,表1,（1）若目标函数fj要求越大越好时，可先找出该目标中最大的Dij值，即（固定j，变i，在相应的Dij中找出最大值做DiLj，在fj目标中，求出最佳方案Ai的值为DiLj。如f3对A2方案为最佳，某值D23即是DiLj。

6、脚标Lj表示最佳方案的目标序号。） DiLj=maxDii 1in,按下式（1）可求得相应的等效系数 Dii*值 由式（1）可见所有的Dii*都是小于等于1和大于等于0之间的实数，即0,1，最大的Dii值为1，此时的目标值最优，为此对应的方案Ai最佳。 （2）若目标fj要求越小越好的话，同样应先找出该目标中最大的Dii值,DiLj=maxDii 1in 而后按式（2）可求出相应的等效系数Dii*值 式（2）与式（1）相同，区别仅在于式（2）中有负号。从式（2）中可见，所有的Dii*是小于等于0，大于等于-1的实数，即-1,0。,其最大的实数为0，表明该值的目标值最优，与其对应的方案Ai最佳。

7、针对本文改进方法的式（1）、（2）严格成立必须使得全部的Dii0，方能保证式（1）、（2）严格有意义。 通过（1）式和（2）式的计算可获得nm项Dii*值，而Dii*值介于-1,1区间内。,采用如上的等效系数法求得的Dii*值，相对而言保持了原来数据的意义。对于一些不同的数值除以一个相同数值。除的先后其比值不变，所以在同一目标指标中采用等效系数法，既可保持原始数据间的本来意义，又可排除一些不必要的事先规定或人为干扰。 在获得Dii*基础上进行多目标比较与方案比较，对任意两种方案Ai和 必然会出现如下四种关系：,（1）Ai优于 ，表示第Ai个方案中所有的Dii*值都比方案 的 值要大； （2）A

8、i劣于 ，表示第Ai个方案中所有的Dii*值都比方案 的 值要小； （3）Ai等价（相当）于 ，表示第Ai个方案中所有的Dii*值都相等；,（4）Ai和 的优劣关系不定，表示两个方案中的Dii*值不能按优劣关系全排列，它们之间是半序关系，即Ai方案中的某些Dii比方案 中的 值优，有些却劣。 在方案选择中，出现前三种情况，可很快找到最优方案，淘汰所有的劣方案，虽然关系不定的第四种情况很难比较，它的非劣方案和非劣解不止一个，可将非劣方案的集合记为 S相继作出一个综合比较的目标Ei*,可利用下式找出最大的Eio*综合评价值 这时得出的Eio*后，与其对应的方案Aio为最优方案，也可按照Ei*的大小

9、排序，所有方案Ai按优先顺序排序列，供决策者选用。,6.4 方案优选及多目标决策 设目标函数为V的 比较方案的集合为X，则其数学模型为： VminU(x) xX 通常多目标问题不存在使多个分目标均达到最优的“最佳”解，因而只能在不同意义下寻求最优，众所周知，若“最佳”解存在，那么,它一定是在任何意义下都达到最优，下面采用两种方法确定最优策略（方案）。 6.4.1 多目标决策优序数法 考虑问题 VminU（x） xX 其中： x是有限个方案组成的集合x1,x2,xn；比较指标集合为 （见表3） 其中ui(x)表示第i个指标，它可以是定量的，,也可以是定性的，M1,2,m， N1,2,n而且要求m

10、2，n2，为将指标转化为比较序数aijl （相当于等效系数），则令 （ 指标编号）(见表401),（2）求比较优序数aij 并称aij为方案xi对方案xj在整体目标上的优序数，aji为劣序数，我们将aij排成矩阵形式如下 : (见表2 和表402) （3）求总优序数Ki 第i方案xi的总优序数记为,表2 多 目 标 优 序 数 矩 阵,并把第j个方案xj的劣序数记为 （4）根据Ki的 大小优选决策次序 其 表明一个方案 的优序数Ki与劣序数Hi成反比，决策方法是按Ki的大小将所有的方案排序，可选择一个方案xe使得,并把xe排在最前面的第一位，随后，若第e个方案xe满足 则把xe排在第2位，以此

11、类推，于是可把各个方案排成一个优选决策次序，供决策机构参考，则把xe排在第3位。,6.4.2 多目标决策的加权优序数法 针对各目标重要性不同，（上述优序数法是把所有的目标按同等重要性考虑的）事实上各目标函数中各目标的重要性是不相同的，故对指标赋予不同的权重，令UL(x)有权重位WL, LM 要求：,故可对上述方法作如下修正 令 其实这里的Ki和原来aijl存在如下关系：,利用Ki代替方法1中的Ki便可排出对各方案的优选决策顺序。 用赋权后的优序数总和代替未赋权的优序数总和指标比较。 6.4.3 三峡施工场外交通的目标（指标） 1.交通系统比较工程总投资：U1(x) (万元) 表示各单位设计概算

12、投资和完善方案增补投资的总和。,2.总装运费：U2(x) (万元) 方案xi完成砂石料和商品材料总运量的装运费和客运费总和。 3.交通工程的施工工期：U3(x) (年) 方案xi设计单位提出的工期。 4.运输系统的可靠性：U4(x) 方案xi设自然因素（受冰冻，汛期水雾，雨季塌方，雾天等影响）造成交通运输系统中断的影响程度，划分为三个等级，,可靠性较高的属1等，可靠性一般的属2等，可靠性较差的属3等。 5.职工通勤旅途消耗时间：U5(x) (分钟) 方案xi职工通勤旅途消耗的时间包括离家到乘车（船）地方消耗的正常时间，车(船)行驶的时间，下车（船）到工地的时间以及下班沿程返回基地的时间。,6.

13、职工通勤安全的保证法：U6(x)（等级） 方案xi职工通勤安全的保证性，划分为二等，对安全保证性大的定为1等，保证性一般的定为2等。 7.征地亩数：U7(x) 方案xi交通工程占地，或因交通运输可靠性较差，要求增大仓库或堆场的容积增加占地面积和原交通工程占地面积的总和（车站码头道路）。,8.无利运费率：U8(x) (元/吨) 方案xi每运输一吨货物所需的无利运费可按中国船舶工业总公司第九设计院提供如下公式计算（不计盈利的运费率） 其中Jn(x)表示方案xi的运输工具n担负的最大年运量，表示运营成本。,式中An为运输工具的造价 S为运输工具的运营成本，y为投资年利率（取3），H为运输工具使用年限

14、，取20年，J为年运量，n为子系统序号。,9.完成单位运量的设计投资率：U9(x)(元/吨) 方案xi完成一吨货运所花的设计投资 U9(x)=U1(x)/Q(x) 效益投资比 式中Q(x)为交通运输方案xi担负的总货运量(吨) 10运输系统职工总人数：U10(x) (人) 方案xi完成运输系统运行管理的职工总人数（反映管理的难易、繁简）。 11.运输工具能源消耗费用：U11(x)(万元),方案xi完成商品材料、砂石料和客运、总运量消耗的能源费用。 12.对长江航运有无影响：U12(x) 方案xi完成运输任务对长江航运有无干扰影响，有影响为2，无影响为1。 13.外来物资的装卸次数：U13(x)

15、 方案xi运输外来物资至坝址的装和卸总次数。 以上各指标及方案的值详见表3（运输系统决策分析技术经济指标表）,6.4.4 决策意见 1.火车轮渡直达前方两岸的情况 将表42中的aij，排出优序数决策矩阵如表43 以表43中Ki的大小为序，其决策顺序应为： x3 x2 x4 x1 铁路 水运 公路 火车轮渡 2.火车轮渡只达左岸乐天溪的情况 取消右岸杨家湾码头，省掉一些码头工,程投资，但又增加了一些转运费，按加权优序数法，排出如表44，从该表44中的aij排出加权多目标优序数决策矩阵如表45中Ki的大小为序，其决策顺序应为 x3 x4 x2 x1 铁路 公路 水运 火车轮渡 建议对三峡工程施工对外交通运输方案做决策时，应采用铁路为主，水运与公路为辅的方案，就铁路工程本身，应采用铁二院推荐的姜家庙电力机车牵引方案见表46 。,表3 运输系统决策分析技术经济指标表,表42 火车轮渡直达两岸(杨家湾设码头) 加权多指标决策对比优序数矩阵的计算