[[初三数学课件]]初三数学《二次函数》专题复习讲座.ppt

1、二次函数复习课,众所周知，二次函数都是函数大家庭里极为的重点成员之一，同时也是今后学习其它知道的基础，更是历年各地中考的热点，是设计创新题、综合题和压轴题的主渠道，为了便于同学们能在有限的温考时间内掌握这些知识，现从以下几个方面帮助大家对这些知识作重点研练，希望同学们能喜欢.,一、复习目标与要求,1，经历在具体问题中探索数量关系和变化规律的过程，抽象出二次函数的概念，并结合具体情境领会二次函数作为一种数学模型的意义.能根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标. 2，能画出二次函数的图象，根据图象和解析表达式探索并理解二次函数的主要性质.理解一元二次方程与二次函数的关系，并能

2、利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根. 3，通过复习逐步提高观察和归纳分析能力，体验数形结合的数学思想方法. 4，能依据已知条件确定二次函数的解析式，并能领悟用函数观点解决某些实际问题的基本思路.,二、中考展望与热点透视,二次函数是每年中考的重点知识，是每卷必考的主要内容，主要考查二次函数的图象、性质及应用，这些知识是考查学生综合能力，解决实际问题的能力.因此函数的实际应用和几何、方程所组成的综合题是中考的热点问题.,三、中考命题趋势及复习对策,二次函数是数学中最重要的内容之一，题量约占全部试题的1015，分值约占总分的1015，题型既有低档的填空题和选择题，又有中档的解答题，更有大量的综

3、合题，近几年中考试卷中还出现了设计新颖、贴近生活、反映时代特征的阅读理解题、开放探索题、函数应用题，这部分试题包括了初中代数的所有数学思想和方法，全面地考查学生的计算能力，逻辑思维能力，空间想象能力和创造能力. 针对中考命题趋势，在复习时应首先理解二次函数的概念，掌握它们的性质和图象的意义，还应注重其应用以及二次函数与几何图形的联系，此外对各种函数的综合应用还应多加练习.,四、思想方法,数学思想方法是数学解题的灵魂，所以复习二次函数这部分知识注意下列几种数学思想方法的运用： 一是从特殊到一般的思想方法； 二是数形结合的思想； 三是数学建模的思想； 四是平移变换的思想方法等等.,五、知识要点回顾

4、,通过复习完成下列填空： 1，二次函数的意义及其图象和性质 二次函数的定义：.二次函数的图象是，性质是. 二次函数图象的平移规律. 2，二次函数解析式的确定 二次函数的三种表示方法：.二次函数表达式的求法：. 3，二次函数的图象与系数的关系：. 4，二次函数与一元二次方程的关系：. 5，用二次函数解决实际问题 解决实际问题时的基本思路：.另外，二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的值.,专题一 二次函数的图象及性质,本部分主要学习了二次函数y=ax2，y=a（x-h）2，y= a（x-h）2k的图象和性质，学习过程中应注意以下问题： 1在研究抛物线时，要特别注意抛物线是轴对称

5、图形，注意利用它的轴对称性 2对于二次函数性质的掌握，不可死记硬背，要结合图象理解和掌握二次函数的几个特征：如开口方向、顶点坐标（或位置）、对称轴、函数的增减性、最值、与x轴的交点等,一、抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴的位置、与坐标轴交点坐标,例1抛物线y=3（x-1）2+1的顶点坐标是（） A （1，1） B（1，1） C（1，1） D（1，1） 析解：因为二次函数y=a（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k），在本题中h=1，k=1，因此y=3（x-1）2+1的顶点坐标为（1，1）故选A 例2抛物线y=2x2+4x+5的对称轴是x=_ 析解：由抛物线的对称轴公式， 得 ，即x=-1 例3

6、二次函数y=x2+x-6的图象与x轴交点的横坐标是（） A 2和3B2和3C2和3D2和3 析解：令y=0，则x2+x-6=0，解得x1=2，x2=-3所以二次函数y=x2+x-6的图象与x轴交点的横坐标是2和3，故选A ,二、由抛物线的一些条件来确定不惟一的表达式,例请选择一组你喜欢的a、b、c的值，使二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象同时满足下列条件：开口向下；当x2时，y随x的增大而增大；当x2时，y随x的增大而减小这样的二次函数的关系式可以是_ 析解：本题考查了根据条件确定二次函数关系式的能力根据所给条件可知这个抛物线所对应的函数关系式中的a0，其对称轴为x=2，则符合这两个条

7、件的二次函数的关系式可以是y=-（x-2）22等,三、根据抛物线的增减性，由x（或y）来了解一些对应y（或x）的取值情况,例5小明从图1的二次函数y=ax2+bx+c图象中，观察得出了下面的五条信息： a0，c=0，函数的最小值为-3，当x0时，y0，当0 x1x22时，y1y2你认为其中正确的个数为（） A 2B3CD5,四、同一坐标系下，抛物线和其它函数图象的共存问题,例6在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx的图象可能为（）,五、求函数关系式中参数的值,例7若二次函数y=ax2+2x+a2-1（a0）的图象如图2所示，则a的值是_,六、二次函数的平移,例8有3

8、个二次函数，甲：y=x2-1；乙：y=-x2+1； 丙：y=x2+2x-1，则下列叙述中正确的是（） A 甲的图象经过适当的平行移动后，可以与乙的图象重合 B甲的图象经过适当的平行移动后，可以与丙的图象重合 C乙的图象经过适当的平行移动后，可以与丙的图象重合 D甲、乙、丙3个图象经过适当的平行移动后，都可以重合 析解：在平移的过程中，抛物线的形状始终保持不变，而抛物线的形状只与二次项系数有关，所以甲的图形经过适当的平行移动后，可以与丙的图形重合，故选B,专题二二次函数的应用,二次函数是反映现实世界中变量间的数量关系和变化规律的常见的数学模型将实际问题中的变量关系转化成二次函数后,就可以利用二次

9、函数的图象和性质加以解决，其关键是从实际问题中抽象出数学模型,一、以现实的生活为背景，通过对投掷、跳水、跳远、拱桥、隧道等“抛物线”的探究，建立合理的平面直角坐标系，利用待定系数确定二次函数的表达式,例1如图7，三孔桥截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同正常水位时，大孔水面宽度AB20米，顶点M距水面6米（即MO6米），小孔顶点N距水面4.5米（NC4.5米）当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图8中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF,分析,例1如图7，三孔桥截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同正常水位时，大孔水面宽度AB20米，顶点M距水面6米（即MO6米），小孔顶点N

10、距水面4.5米（NC4.5米）当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图8中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF,如图8，由这个实际问题抽象出的数学模型题目已经给出，观察图象可知抛物线的对称轴为y轴，顶点为（0，6），故可设函数关系式为y=ax2+6又因为AB20，所以OB10，故B（10，0）又在抛物线上，可代入求值,例1如图7，三孔桥截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同正常水位时，大孔水面宽度AB20米，顶点M距水面6米（即MO6米），小孔顶点N距水面4.5米（NC4.5米）当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图8中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF 解：设抛物线所对应的函数关系式为y=

11、ax2+6 依题意，得B（10，0） 所以a10260 解得a=-0.06即y=-0.06x2+6 当y=4.5时，-0.06x2+6=4.5，解得x=5 所以DF5，EF10 即水面宽度为10米,例2如图9所示，一位运动员在距篮圈中心水平距离4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运动的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米求抛物线的关系式, 分析：函数图象的对称轴为y轴，故设篮球运行的路线所对应的函数关系式为y=ax2+k（a0，k0） 解：设函数关系式为y=ax2+k（a0）， 由题意可知，A、B两点坐标为（1.5，3.05）

12、，（0，3.5） 则解得a=-0.2， 所以抛物线对应的函数关系式为y=-0.2x2+3.5,二、在几何图形中，利用图形的面积、相似三角形等有关知识获得y与x的关系式,例3如图10，在矩形ABCD中，AD12，AB8，在线段BC上任取一点P，连接DP，作射线PEDP，PE与直线AB交于点E （1）设CPx，BEy，试写出y关于x的函数关系式 （2）当点P在什么位置时，线段BE最长？,析解：在几何图形中，求函数关系式时，通常把两个变量放入两个图形，利用两个图形相似，或者在一个图形中利用面积建立它们之间的数量关系本题要求y与x之间的关系式，通过观察可以发现y、x分别是BPE、CDP的边，而且由EP

13、BDPC90，DPCPDC90，可得EPBPDC，又由BC90，容易得到BPECDP 所以有 即 故y关于x的函数关系式为 当时 ，y有最大值， 即当点P距点C为6时，线段BE最长,注：关于二次函数的实际应用，体现在生活中的方方面面，在此我们不再一一列举，关键是同学们掌握这种处理实际问题的思路，达到举一反三的效果，不管题目背景如何变化，但它万变不离其宗，只要我们有了这种方法，任何问题都可以迎刃而解,专题三 求二次函数解析式,二次函数是初中数学的一个重要内容,熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。 二次函数的解析式有三种基本形式： 1、一般式：y=ax+bx+c (a0)。 2

14、、顶点式：y=a(xh)+k (a0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h。 3、交点式：y=a(xx)(xx) (a0)，其中x,x是抛物线与x轴的交点的横坐标。 求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式： 1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。 2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。 3、若给出抛物线与x轴的交点或对称轴或与x轴的交点距离，通常可设交点式。,例1某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽AB为1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？,分析 如图，以A

15、B的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立了直角坐标系这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是y=ax2(a0)此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式,解:以AB的垂直平分线为y轴，以过顶点O的y轴的垂线为x轴，建立如图所示直角坐标系这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以设它的函数关系式是y=ax2(a0)由题意，得点B的坐标为（0.8，-2.4），又因为点B在抛物线上，所以,解得:,因此，函数关系式是,例1某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽AB为1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4

16、m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？,例2已知二次函数的图象经过点A(0,-1)、B(1,0)、C(-1,2)；求它的关系式,分析:根据二次函数的图象经过三个已知点，可设函数关系式为yax2bxc的形式,例2已知二次函数的图象经过点A(0,-1)、B(1,0)、C(-1,2)；求它的关系式,例3已知抛物线的顶点为(1，-3)，且与y轴交于点(0，1)，求这个二次函数的解析式,分析:根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为ya(x1)23，再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值；,例3已知抛物线的顶点为(1，-3)，且与y轴交于点(0，1)，求这个二次函数的解析式,解:因

17、为抛物线的顶点为(1，-3)，所以设二此函数的关系式为ya(x1)23，又由于抛物线与y轴交于点(0，1)，可以得到 1a(01)23 解得 a4 所以，所求二次函数的关系式是y4(x1)23 即 y4x28x1,例4已知抛物线的顶点为(3，-2)，且与x轴两交点间的距离为4，求它的解析式,分析:根据已知抛物线的顶点坐标(3，-2)，可设函数关系式为ya(x3)22，同时可知抛物线的对称轴为x=3，再由与x轴两交点间的距离为4，可得抛物线与x轴的两个交点为（1，0）和（5，0），任选一个代入 ya(x3)22，即可求出a的值,例5已知抛物线与x轴交于点M(-3，0)、(5，0)， 且与y轴交于

18、点(0，-3)求它的解析式,方法1，因为已知抛物线上三个点，所以可设函数关系式为一般式yax2bxc，把三个点的坐标代入后求出a、b、c，就可得抛物线的解析式。 方法2，根据抛物线与x轴的两个交点的坐标，可设函数关系式为 ya(x3)(x5)，再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值；,分析:,例6有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m现把它的图形放在坐标系里 (如图所示)，求抛物线的解析式,设抛物线为y=a(x-20)216,解：,根据题意可知 点(0，0)在抛物线上，,通过利用条件中的顶点和过原点选用顶点式求解，方法比较灵活,评价, 所求抛物线解析式为,设抛物线的解

19、析式为y=ax2bxc，,解：,根据题意可知 抛物线经过(0，0)，(20，16)和(40，0)三点,可得方程组,通过利用给定的条件 列出a、b、c的三元 一次方程组，求出a、 b、c的值，从而确定 函数的解析式 过程较繁杂，,评价,例6有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m现把它的图形放在坐标系里 (如图所示)，求抛物线的解析式,设抛物线为y=ax(x-40 ）,解：,根据题意可知 点(20，16)在抛物线上，,选用两根式求解，方法灵活巧妙，过程也较简捷,评价,例6有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m现把它的图形放在坐标系里 (如图所

20、示)，求抛物线的解析式,专题四 二次函数创新题,随着新课改的深入，各地中考试题更加灵活和开放，更加注重应用和创新，不仅使试题设计有更多的创新，并且也通过试题更好地鼓励学生创新。而二次函数是中考的必考重要内容，近年来，有关二次函数的创新题目百花齐放，令人目不暇接。为帮助同学们熟悉新题型，迎接新挑战，特采撷部分中考题并加以浅析，供大家参考。,一、条件开放型,例1：(青岛)阅读下面的文字,解答问题. 有这样一道题目: “已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(0，a)，B(1,-2),求证：这个二次函数的图象关于直线x=2对称”题中的阴影部分是一段被墨水污染了无法辩认的文字. 请您根据已有的信息

21、,在原题中的阴影部分处,填加一个适当的条件,把原题补充完整,分析：根据原题中的结论知，二次函数对称轴为x=2，再结合已知条件，可求出二次函数解析式，由二次函数解析式不难补充满足二次函数的条件。 解：因为二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(0，a)，B(1,-2),所以 a=c a+b+c=-2 又因为二次函数对称轴为x=2，所以,由此解得a=1,b=-4,c=1,所求的二次函数解析式为：y=x2-4x+1（ x-2）2-3,所以给出满足函数解析式的任意一点的坐标即可为阴影部分的条件。如：（0,1）或b=-4或c=1或最小值为3等。 评注：解这类问题的解题基本思路为：“执果导因”、逆向思维、

22、逐步分析、探索结论成立的条件，从而得出答案。如本题由所给结论知二次函数对称轴为x=2，再结合已知条件，可求出二次函数解析式，从而易得出所要增加的条件。,二、结论开放型,例2（武汉市）已知二次函数的图像开口向下，且与y轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数的表达式 析解：此题条件已确定，由此条件可得出的结论即二次函数的表达式，依题意可确定的表达式只要满足a0即可如：y=-x2+1，等 评注：本题所要确定的二次函数解析式结论不唯一,是开放型的解答这类题，一定要抓住所求二次函数解析式具有的条件或性质来思考,三、阅读理解型,例3:阅读材料，解答问题 阅读材料： 当抛物线的解析式中含有字母系数时

23、，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化 例如：由抛物线yx2-2mxm22m-1， 有y(x-m)22m-1， 抛物线的顶点坐标为(m，2m-1) 当m的值变化时，x、y的值也随之变化因而y值也随x值的变化而变化 将代入，得y2x-1 可见，不论m取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y和横坐标x都满足关系式：y2x-1 (1)在上述过程中，由到所用的数学方法是_，其中运用了_公式由、得到所用的数学方法是_； (2)根据阅读材料提供的方法，确定抛物线yx2-2mx2m2-3m1顶点的纵坐标y与横坐标x之间的关系式,.析解：根据上述阅读材料所提供的解题方法，我们不难解答问题（2）。

24、(1)配方法、完全平方法、消元法 (2)yx2-2mx2m2-3m1x2-2mxm2m2-3m1(x-m)2m2-3m1 该抛物线顶点坐标为(m，m2-3m1) 将代入，得yx2-3x1 所给抛物线顶点的纵坐标y与横坐标x的关系式为yx2-3x1 评注:本题阅读材料给同学们提供了解题方法，让同学们仔细阅读，在进行观察、分析的基础上，进而为解决后面问题得到启迪，它是培养学生收集信息和处理信息能力以及使学生“学会学习”的一类重要题型。,四、存在探索型,例4(山东省威海市)抛物线y ax2bxc (a0)过点A（1，3），B（3，3），C（1，5），顶点为M点 求该抛物线的解析式 试判断抛物线上是否

25、存在一点P，使POM90.若不存在，说明理由；若存在，求出P点的坐标,析解： y x2 4x 易求得顶点M的坐标为(2，4) 设抛物线上存在一点P，使OPOM，其坐标为(a，a2 4a) 过P作PEy轴，垂足为E；过M点作MFy轴，垂足为F， 则POEMOF90，POEEPO90.EPOFOM OEPMFO90，RtOEPRtMFO OEMFEPOF.即(a2 4a)2a4.解得a1 0(舍去)，a2 故抛物线上存在一点P，使POM90，P点的坐标为(，),专题五 最大利润问题,加强数学与生活的联系，既可增强学生学习数学的兴趣，又可加强学生对数学的认识，更可以提高学生分析问题、解决问题的能力，

26、因此，应用意识与数学建模是课程标准非常关注的一个重要方面.利润问题就是考试与教学应关注的重点之一,例1、某环保器材公司销售一种市场需求较大的新型产品，已知每件产品的进价为40元，经销过程中测出销售量（万件）与销售单价（元）存在如图所示的一次函数关系，每年销售该种产品的总开支（万元）（不含进价）与年销售量（万件）存在函数关系 （1）求关于的函数关系式； 2）试写出该公司销售该种 产品年获利（万元）关于销售 单价（元）的函数关系式； （年获利年销售总金额年销售产品的总进价年总开支金额）当销售单价为何值时，年获利最大？最大值是多少？ （3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于万元，请你利用（2）小

27、题中的函数图象帮助该公司确定这种产品的销售单价的范围在此条件下要使产品的销售量最大，你认为销售单价应定为多少元,解：（1）由题意，设 ，图象过点 ， ， 解得 （2）由题意，得 当85元时，年获利的最大值为80万元 （3）令 ，得 整理，得 解得， 由图象可知，要使年获利不低于57.5万元，销售单价应在70元到100元之间，又因为销售单价越低，销售量越大，所以要使销售量最大，又使年获利不低于57.5万元，销售单价应定为70元,例2、利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）当每吨售价为260元时，月销售量为45吨该经销

28、店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元） （1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量； （2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）； （3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？ （4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大”你认为对吗？请说明理由,解,（1） =60（吨） （2） ，化简得： （3） 利达经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元 （4）我认为，小静说的不对 理由：方法一：当月利润最大时，x为210元， 而对于月销售额来说， 当x为160元时，月销售额W最大 当x为210元时，月销售额W不是最大 小静说的不对,08年部分中考题选,（08上海市）如图12，在平面直角坐标系中，o为坐标原点二次函数 的图像经过点 A(-1,0) ，顶点为B （1）求这个二次函数的解析式， 并写出顶点的坐标； （2）如果点c的坐标为(4,0)，AEBC，垂足为E点，D点在直线AE上，DE=1，求点D的坐标,