3资金的时间价值与等值计算.ppt

1、资金的时间价值 普通复利公式 资金的等值计算,3 资金的时间价值与等值计算,矿业技术经济学电子教案,本章学习目标,熟悉资金时间价值、资金等值的相关概念； 掌握现金流量的概念和构成； 熟练应用资金等值计算公式。,熟悉资金时间价值、资金等值的相关概念; 掌握现金流量的概念和构成; 熟练应用资金等值计算公式。,本章学习目标,3.1 资金的时间价值,给我一个支点我能撬动地球 阿基米德 给你足够时间你将买下世界 技术经济 数百年前十几万美元买下美国的一个州,3.1.1 资金时间价值的概念,俗话说“时间就是金钱”，今天用来投资的一笔钱，即使不考虑通货膨胀因素，也比将来的等额资金更有价值。因为当前可用的资金

2、能进行即时投资并带来收益，而将来才有的资金则不存在这种机会，也无法获取相应的收益。 所谓“资金的时间价值”是指不同时间发生的等额资金在价值上的差别。,解燃眉之急,问题,在分析投资方案的经济效果时，能否将不同时期发生的现金金额直接相加（求代数和）？先看下面的例子。,300 000,【引例 1 】孰多孰少,1 000 000,我晕,【引例 2 】开源节流,例3.1 某企业拟进行项目投资，目前有两个方案可供选择，两者的投入与产出列于表 3.1 。如果其它条件都相同，问该企业应选择哪个方案。,【引例 3 】朝三暮四,例 3.2 某企业面临一投资项目，拟有两个方案可供挑选，两者的投资与收益如表 3.1

3、所示。若其它条件都一样，问该企业应如何决策。,议论,不言而喻，例 3.1 的方案乙明显劣于方案甲，因为投入少产出大；对于例 3.2，从直觉和常识来判断，人们会认为方案丙要优于方案丁。因为，尽管它们的投资总额和年净收益总额相等，但是方案丙比方案丁可以晚 1 年投放 1000万元的投资，并早 1 年获得 4000万元的净收益。 先到手或晚出手的资金可以通过运作而产生新的价值。 这两个例子表明，方案的优劣不仅与资金收支的金额大小有关，而且与资金收支的时间早晚也密切相关。,资金时间价值的概念,资金的时间价值 ( time value of money ) 是指不同时间发生的等额资金在价值有差别。 把货

4、币作为社会生产资金（或资本）投入到生产或流通领域，就会得到资金的增值，资金的增值现象就叫做资金的时间价值。 从投资者角度看，是资金在生产与交换活动中给投资者带来的利润。 从消费者角度看，是消费者放弃即期消费所获得的利息。,资金时间价值的含义,可以从三个方面对资金时间价值的含义进行解释： 首先是货币增值因素(投资和消费)； 其次是通货膨胀 (资金贬值)； 第三是承担风险。 计划不如变化，规划是鬼话,美国用5千多万美元买回大半国土,1803年4月，美法签订和约，以1500万美元的价格，轻而易举地获得了260万平方公里左右的土地，每平方公里不到5美元。,1819年2月22日，美西签订条约，美国仅花了

5、500万美元就获得15万多平方公里的佛罗里达。,1848年2月2日，美国与墨西哥签订条约，美国只象征性地支付1500万美元，就得到了包括加利福尼亚、新墨西哥地区在内的近140万平方公里土地。,在1853年，美国驻墨西哥公使加兹登又以1000万美元购得美墨边境近10万平方公里土地（后以“加兹登”命名此地）。,1867年3月，美国与俄国签订购买协议，以720万美元绝对低廉的价格买到了面积达150多万平方公里的巨大半岛及其周边的阿留申群岛。,3.1.2 利息和利率,资金的时间价值体现为资金在运作过程中所带来的收益或利息，它是衡量资金时间价值的绝对尺度。收益 (return) 一般用于表示由投资或经营

6、所产生的资金增值，利息(interest) 通常用于表示通过借贷而获取的资金增值。 收益率或利率是指资金在单位时间内产生的增值(收益或利息) 与投入的资金额 (本金) 之比，即单位资金在单位时间内产生的收益或利息，它是衡量资金时间价值的相对尺度，记作 i 。 i 的大小表明资金增值的快慢。,何为利(息)率？怎么表示？,利 (息) 率是一个计息期中单位资金所产生的利息，一般用百分比表示，可用公式表示为： 上式中，分子中的单位时间称为计息期，计息期可以是年、月、日等，依具体问题而定。因此又可以分为年利率、月利率和日利率。 年利率是按年计算利息，用本金的百分比(%)表示； 月利率是按月计算利息，用本

7、金的千分比(%o)表示； 日利率是按日计算利息，用本金的万分比(%oo)表示；,长期存款 房贷 信用卡透支,1. 单利和复利,利息和利率是衡量资金时间价值的尺度，因此，可以用计算利息的方法来分析资金与时间的函数关系。 计算利息的方法主要有单利法 ( 简单利率 )和复利法 ( 复合利率 ) 两种。 利息可以按年计算，也可以按不等于一年的周期计算。用以表示计算利息的时间单位称为计息期。,单利法,单利 ( simple interest ) 法是每期均按原始本金为基数的计息方法。这种计息法不论计息期数为多大，只有本金计息，而已产生的利息不再计息。 在以单利计息的方式下，利息与时间呈正比，即为线性关系

8、。 设 r 为单利利率，n 为计息期数， P 为原始本金， I 为利息总额，F 为期末本利和。则： I = P r n F = P + I = P ( 1+ n r ) 单利法的计息过程见表 3.3。,单利法计息过程举例,假如以单利方式借入资金100元，年利率为6%。则各年的利息及本利和的计算如下表所示。,表3.3 单利法计息过程及本利和计算公式,单利法的计算公式,F = P ( 1+ n r ) P = F / ( 1+ n r ) r = ( F / P ) - 1 / n n = ( F / P ) - 1 / r 在我国，居民储蓄的定期存款各商业银行现行采用的都是单利计息，政府和企业发

9、行的各种债劵以前也大多是采用单利计息。,运用举例,例 3.3 财政部 1997 年曾发行存期 n = 10 年、年利率 (单利) r = 12%、面额 P = 100 元的国库券。问： (1) 该券种到期本利和是多少； (2) 若2002 年在证券市场以 176 元买入该券种，在余下的 5年中实际年利率 (单利) 为多少； (3) 若2005 年拟在证券市场购买该券种，要求余下的两年中的年利率 (单利) r2不低于 3 %，该券种的价格应该不高于多少。,算例求解,解： (1) 设该券种到期本利和为 F，则 F = P ( 1+ n r ) = 100 ( 1 + 10 0.12 ) = 220

10、 (元) (2) 设该券种在买后 5 年中实际年利率为 r1 ，则 r1= ( 220 / 176 ) - 1 5 = 0.05 = 5 (%) (3) 设以不高于 C 元买入该券种，则 r2 = ( 220 / ) - 1 2 0.03 220 1.06 = 207.55 (元),复利法,复利 (compound interest) 法是以本金与累计利息之和为基数的计息方法。 在以复利计息的方式下，除本金计息外，前期利息也参入本期计息。复利法俗称“利滚利”。 设 i 为复利利率，则本利和计算公式为 F = P ( 1 + i ) n 上式的推导过程见表3.4。 复利法的期末利息为 I = F

11、 - P = P ( 1 + i ) n - 1 ,复利法计息过程举例,假如以复利方式借入一笔资金100元，年利率6%。则各年的利率及本利和的计算如下表所示。,复利法计息过程举例,假如以复利方式借入一笔资金100元，年利率。则各年的利率及本利和的计算如下表所示。,表3.4 复利法期末本利和计算公式推导过程,复利法的计算公式,(1) F = P ( 1 + i ) n (2) P = F / ( 1 + i ) n = F ( 1 + i ) - n (3) i = ( F / P ) 1/ n - 1 (4) n = ( lg F - lg P ) / lg ( 1 + i ) 公式 (4)

12、的推导： 由公式 (1) 得 ( 1 + i ) n = F / P 上式两边取对数 lg ( 1 + i ) n = lg (F / P ) 上式对数变换 n lg ( 1 + i ) = lg F - lg P,算例,例 3.4 在我国国民经济和社会发展“九五”计划和 2010 年远景目标纲要中提出“九五”期间我国国民生产总值的年平均增长率不低于 8 % ；按 1995 年不变价格计算，在 2010 年实现国民生产总值在 2000 的基础上翻一番。问： (1) 已知我国国民生产总值在“八五”期末的 1995 年为 5.76 万亿元，“九五”期末的 2000 年的国民生产总值不低于多少万亿元

13、？ (2) 21 世纪的头十年我国国民生产总值的年平均增长率为多少？,算例求解,解： (1) 设国民生产总值 1995 年为 P、 2000 年不低于F 万亿元，取 i = 8%，n = 5，由复利法的计算公式可得 F = P ( 1 + i ) n = 5.76 ( 1 + 0.08 )5 = 5.76 1.4693 8.5 ( 万亿元 ) (2) 设平均增长率为 i ，2000 年和 2010 年的国民生产总值分别为 P 和 F 万亿元，取 n = 10，由复利法的计算公式可得 i = ( F / P ) 1/ n - 1 = 2 1/10 - 1 1.072 - 1 = 7.2 %,19

14、91年 21781.5 1992年 26923.5 1993年 35333.9 1994年 48197.9 1995年 60793.7 1996年 71176.6 1997年 78973 1998年 84402.3 1999年 89677.1 2000年 99214.6,2001年 109655.2 2002年 120332.7 2003年 135822.8 2004年 159878.3 2005年 183867.9 2006年 210871 2007年 257306 246619 2008年 300670 2009年 335353,单利与复利的利息(透支利息),F = P ( 1 + n r

15、 ) = P ( 1 + 365 0.001 ) = 1.365 P ( 2.095 P ) F = P ( 1 + i ) n = P ( 1 + 0.001 ) 365 = 1.440 P ( 2.986 P ) 同一笔款项 P ，在利率 i 与 r 相同、计息期 n 相同的情况下，用复利计算的利息金额比用单利计算的利息金额要大。,单利与复利的换算,居民储蓄定期存款年复利的计算,居民储蓄定期存款年复利的计算公式： i = ( F / P ) 1/ n - 1 = ( 1 + n r ) 1/ n - 1 F = P ( 1 + i ) n，P = F / ( 1+ n r )，F / P

16、= ( 1 + n r ) i = ( 1 + r / m ) m -1,统一换算公式,我国居民储蓄定期存款利率与对应的年复利的统一换算公式： ( 1 + i ) = ( 1 + r / m ) m i = ( 1 + r / m ) m -1 式中：r 为居民储蓄定期存款利率 ( 存期小于 1 年时为名义利率，存期大于或等于 1 年时 为单利 )； m = 365 / 存期天数。,历年存款利率表,单利与复利的利弊,由上述讨论可以看出，单利与复利有如下差异： 单利计算利息的多少要比复利容易 复利判别利率的高低要比单利容易 复利体现资金时间价值规律比单利合理，并且直观、明确 鉴于上述原因，在技术

17、经济工作中通常采用复利法。,2. 有效利率、名义利率和实际利率,在实际经济活动中，若不以年作为时间单位计息，如半年计息一次、一季计息一次、一月计息一次或一日计息一次，则会出现利率周期与计息周期不一致的问题。 例3.5 一笔贷款按月计息，月利率为 0.5 %，若分别以单利法和复利法计息，问这笔贷款的年利率各是多少?,利率周期与计息周期,利率是指一定时期内的利息与本金的比率，这里的 “ 一定时期 ” 就是利率周期。按照国际惯例，如没有特别说明，利率通常是指年利率，即利率周期就是 “ 年 ”,或者说是以年为单位。 如前所述，计息周期可以是年，也可以是半年、季、月，甚至是日。 当利率周期与计息周期不一

18、致时，在复利法中就有名义利率和实际利率之分。,有效利率,有效利率( i)是指计息周期发生的真实利率。 在例3.5中是每月计息一次，利率为 0.5 %。这个 0.5 %，是实际计息采用的利率，也是资金在计息期发生的真实利率，就是有效利率。因此， i = 0.5 %。 当计息期为一年，此时的有效利率称为年有效利率。,名义利率,(年)名义利率 ( r ) 是指计息期的有效利率 i 乘以一年中的计息期数 m 所得到的（字面上的）年利率。 如例3.5 的名义利率为 r = i m = 0.5 % 12 = 6 % 名义利率都是以年为时间单位，在实际计息中不用这个利率，它只是习惯上的表示形式。比如对于例3

19、.5 中的“月利率为 0.5 % ”，习惯说法为 “ 年利率为 6 %，每月计息一次。” 通常所说的年利率都是指名义利率。,实际利率,(年)实际利率 ( i )是指以利率周期 “ 年 ”作为计息期而得到的等价年有效利率。 当计息期短于一年时，以计息期的有效利率 i和一年中的计息期数 m 为参数，采用复利法计算实际利率。 设本金为 P ，一年后本利和为 F，则 F = P (1+ i)m 按利率定义得年实际利率,例 3.5 的实际利率,由实际利率 i = (1 + r / m )m - 1 计算例3.5 中贷款的年实际利率为: i = (1 + 0.06 / 12 )12 1 = (1+ 0.0

20、05 )12 - 1 = 1.0617 - 1 = 0.0617 = 6.17 %,三种利率的换算,设利率周期 ( 1 年 ) 内的计息次数为 m，则有效利率 i 、名义利率 r 和实际利率 i 三者之间存在下述换算关系： 名义利率 r = i m 有效利率 i = r / m (银行计算存款利息) 实际利率 i = (1+ i)m - 1 = (1 + r / m )m - 1 当 m = 1 时，三种利率相等； 当 m 1 时，i r ； 当 m 时，称为连续复利计息。,小结,有效利率是指计息期发生的真实利率 名义利率是（有效利率对应的）用单利法换算出来的年利率 实际利率是（有效利率对应的

21、）用复利法换算出来的年利率 在工程经济分析中，如果各方案的计息期不同，就不能简单地使用名义利率来评价，而必须换算成实际利率进行评价，否则会得出不正确的答案。,间断复利与连续复利,年实际利率又分为间断复利计息和连续复利计息两种。 按期(年、半年、季、月或日)计息的方式称为间断复利计息。一年中计息期次愈多，则年实际利率较年名义利率愈高。年实际利率的上限可由连续复利计息方式求得。 按瞬间计息的方式称为连续复利计息。在这种情况下，一年中计息期次为无穷大，年实际利率为,= e r - 1,间断复利与连续复利的算例,表3.6 列出了名义利率为 6 % 时，由复利法按不同计息期次计算的年实际利率。,利息和利

22、率的作用,利率在国民经济中的作用 利率是各国发展国民经济国民经济和管理经济工作的金融杠杆 利息和利率在工程经济活动的作用 利息是占用资金所付的代价或者是放弃使用资金所得的补偿 利息促进企业加强经济核算节约使用资金 利息和利率是以信用方式动员和筹集资金的动力,利率的高低,利率高低的影响因素： 利率的高低首先取决于社会平均利润率的高低，并随之正向变动。在通常情况下，平均利润率是利率的上限 在平均利润率不变的情况下，利率的高低取决于金融市场借贷资本的供求情况 借出资本的风险大小（借出资本要承担风险） 借出资本的期限长短 通货膨胀 (CPI) 对利率的波动有间接影响,利率与汇率 亚洲金融风暴,我国央行

23、时隔3年后的首度加息,2010年10月19日晚，央行宣布自10月20日起上调金融机构人民币存贷款基准利率。其中，金融机构一年期存款基准利率上调0.25个百分点，由现行的2.25%提高到2.50%；一年期贷款基准利率上调0.25个百分点，由现行的5.31%提高到5.56%；除活期存款利率未调整外，其他各档次存贷款基准利率均相应调整。,人民日报：央行为何挥出加息利剑,9月份CPI同比涨幅很可能高于8月份的3.5%，环比也可能上升，表明出现了翘尾因素之外的新涨价因素，物价还可能继续上行。 这些新涨价因素包括全球大宗商品价格上涨带来的输入型通胀压力、货币信贷仍在高位运行、房价大幅攀升后抬高日常消费的成

24、本等 。 随着物价上涨，我国“负利率”已持续7个月之久，这不利于存款人增加收入、扩大消费，也可能导致居民强化投资股市、购买住房等意愿，不利于银行体系资金稳定。,3.2 普通复利公式,本节介绍在技术方案的经济评价中用于资金等值换算的普通复利公式及与之相关的一些概念和方法。,3.2.1 现金流量及现金流量图,对于一个经济系统而言，如某个自然人或法人投放的资金、花费的成本、获取的收益，都可看成是以货币形式体现的现金流出或现金流入。 现金流出 现金流入 通常用货币单位来计量工程技术方案的得失，,技术经济分析的基本方法,技术经济分析的基本方法是用现金流量而非会计帐目来衡量投资的得失。现金流量反映的是实际

25、发生的现金收支，而非应收、应付帐款及折旧、摊销费用。 会计利润是帐面数字、是纸上富贵；现金收益是真金白银，能落袋为安。,经济系统及其现金流入和现金流出,对于一个系统 (如国家、部门、企业或个人等经济实体 )，它的各种形式的支出和收入都可看作是以货币形式体现的资金流出和资金流入。在技术经济分析中，为了对考察对象 ( 如一个投资方案 ) 进行经济性评价，是按这个独立对象的投入和产出来界定相关系统的资金流出和资金流入。,在技术经济分析中，考察对象 ( 投资项目 ) 是特定的，而经济系统 ( 投资者 ) 是泛指的，研究的注意力是放在前者。因此，通常把某个系统相对于特定考察对象的现金流量说成是这个考察对

26、象的现金流量。,现金流量的概念,在技术经济分析中： 把各个时间点流出系统的货币称为现金流出 CO ( cash output )，流入系统的货币称为现金流入 CI ( cash income )； 现金流入和现金流出统称为现金流量 CF ( Cash Flow )； 同一时间点上的现金流入和现金流出的代数和称为净现金流量(NC)。,现金流量及其表达要素,要准确界定现金流量，必须把握住表达现金流量的三个要素：现金流量的大小（资金数额）、流向（资金流入或流出）和时间点（资金发生的时间）。,现金流量表,一个项目的实施，需要持续一定的时间。在项目的寿命期内，各种现金流量的数额和发生的时间不尽相同。为了

27、便于分析不同时间上的现金流入和现金流出，计算其净现金流量，通常采用现金流量表的形式来表示特定项目（即某个经济系统）在一定时间内发生的现金流量。,现金流量表（税前）, 现金流量构成 ,1. 现金流出 (1) 投资 固定资产投资 流动资金 其他投资(包括预备费与建设期贷款利息), 现金流量构成 ,(2) 经营成本 经营成本是为技术经济分析而提出的有别于财务会计中销售成本的一种专门成本概念，计算公式为： 经营成本=总成本费用- 折旧及摊消费- 利息支出 总成本费用 = 生产成本+销售费用+管理费用 + 财务费用, 现金流量构成 ,之所以扣除折旧与利息，是因为： 折旧是对固定资产磨损的价值补偿，并不是

28、实际发生的现金流出，如再计入成本，会造成固定资产投资的重复计算。 贷款利息对于企业而言虽是实际的现金流出，但在考察全部投资的实际经济效果时，并不考虑资金的来源问题，故无需考虑利息支出。, 现金流量构成 ,(3)税金与规费 税金是国家凭借政权的力量参与国民收入分配与再分配的一种方式。它的课目种类和计征办法等，均由国家以法律法规的形式加以明确规定；未经授权，各地不得随意增减、豁免。 规费即各种行政性收费，是中央或地方政府为执行公务、提供服务或达到某种公共目的，以行政命令的形式向特定的对象征收的一种费用。, 现金流量构成 ,2. 现金流入 (1) 经营收入 经营收入是企业向社会出售其产品或劳务的货币

29、收入。 经营收入与总产值不同：总产值是企业的产品、半成品和在产品等按照某种价格计算的价值总和，是生产阶段的效益反映，它不一定通过销售并以货币形式表现出来，即企业不一定取得了实际的货币收入；而经营收入则是企业真正的经济收益，是实际的现金流入。, 现金流量构成 ,(2) 固定资产残值与流动资金回收 对于项目而言，固定资产残值与流动资金都是在项目期的终了时可以回收的现金流入。,怎样计算净现金流量,(1) 项目建设期内的现金流量 表现为只有现金流出，暂无现金流入。 建设期的年净现金流量-(建设投资 + 流动资金垫资) (2) 项目投、达产期的现金流量 投、达产期的年净现金流量销售收入经营成本 销售税金

30、流动资金增加额,怎样计算净现金流量,(3) 项目正常运营期的现金流量 正常运营期的年净现金流量销售收入经营成本 销售税金 (4) 项目寿命期末的现金流量 寿命期末的年净现金流量销售收入 + 回收固定资产 余值+回收流动资金经营成本销售税金,财务现金流量表,现金流量表由现金流入、现金流出和净现金流量构成。 财务现金流量表主要用于建设项目财务评价。 财务现金流量表按其评价的角度不同可分为 项目财务现金流量表 资本金财务现金流量表 投资各方财务现金流量表 项目增量财务现金流量表 资本金增量财务现金流量表,现金流量构成的基本要素,投资、经营成本、销售收入和税金等是构成经济系统财务现金流量的基本要素，这

31、些经济要素也是进行工程经济分析最重要的基础数据。因此，必须明确各基本经济要素的概念与计算。,现金流量图,由于资金时间价值的存在，使不同时间上发生的货币无法直接加以比较。一定量的资金必须赋予相应的时间，才能表达其确切的价值概念。 为了对项目进行经济评价和对方案进行比较，反映项目和各技术方案的费用、效益的大小及相应发生的时间，需要借助一个直观的图示系统来反映项目经济活动的全过程，现金流量图就是这样一个有效的工具。 现金流量图 (cash flow diagram) 是一种描述某个经济系统资金运动状态的二维图式，（它能全面反映现金流量的三要素）。,现金流量图的要素及形式,一个完整的现金流量图一般具有

32、以下三个要素： 描述时间序列的水平数轴 表示现金流量的垂直箭线 用于资金等值计算的利率 ( 贴现率 ) 现金流量图一般形式如右图所示。,现金流量图的要素及其解释,水平数轴是一个向右延伸的时间轴。时间轴的单位长度一般代表计息周期或支付周期，每个单位数对应的时间点既表示本周期的结束时刻又表示下一周期的开始时刻。时间轴的总长度表示考察对象的寿命期，寿命期初为起点，期末为终点。时间轴上的点统称为时点。 采用间断复利计息时，时间轴实质上表示一个时间序列，只有整 数时点才是有 意义的。,现金流量图的要素及其解释(续1),垂直箭线表示现金流量，箭尾一般与时点相连。表示现金流出和流入的垂直箭线分别位于时间轴的

33、下方 (即箭头向下) 和上方 (即箭头向上)。垂直箭线的长短示意现金流量的大小，但无须严格按比例绘制，现金流量的金额可在箭头的下方或上方用数值标出。,( i 0 ),现金流量图的要素及其解释(续2),由于资金时间价值的存在，不同时点上的现金流量不能直接进行比较，选取适当的贴现率就有了现金流量折算或比较的基准。,3.2.2 普通复利公式,基本概念 普通复利公式 复利系数之间的关系,1. 基本概念,资金的等值计算可以借助直观的现金流量图来描述。因此，在推导用于资金等值计算的复利公式之前，先引人几个相关的基本概念： 时间轴：表示一个时间序列，只有整数点才有意义。 时点：时间轴上的点统称为时点，长度为

34、 n 的时间轴有 n+1个时点，其中 n 个是期末 (或期初 ) 时点 1 n ( 0 n-1 )； 时值 T ( time value )：现金流量在时点上的数值；,时点与时值,寿命期数 n ( number )：表示以计算期为单位的时间轴长度，计算期一般取计息期或者支付期，依具体情况而定。,P,T1,T2,T3,Tn-1,Tn,T0,( i 0 ),现值、终值和年值,现值 P ( present value ) ：时值在 ( 或者说时值折算为 ) 时间序列起点上的价值； 终值或将来值 F ( future value )：时值在时间序列终点上的价值；,P,T1,T2,T3,Tn-1,Tn,

35、T0,( i 0 ),年值或年金 A (annuity )：时间序列中每期期末( 或期初 ) 时点上流向相同、金额相等的一系列时值，这种年金称为后付年金( 或先付年金 ) 。在此，只讨论后付年金。,P,T1,T2,T3,Tn-1,Tn,T0,( i 0 ),贴现与贴现率,贴现 ( discount ) 与贴现率 i ：把时值换算成现值的操作称为贴现或折现，贴现所用的利率称为贴现率或折现率。,P,T1,T1,T2,T3,Tn-1,Tn,T0,( i 0 ),2. 普通复利公式,一次支付终值公式 一次支付现值公式 等额分付终值公式 等额分付积累基金公式 等额分付资金回收公式 等额分付现值公式 均匀

36、梯度序列公式,(1) 一次支付终值公式,第 1 年年初存入本金 P ，利率为 i，问第 n 年年末本利和 F 是多少。 这项资金运作的现金流量图如下，问题的实质是求时值的终值 F，计算公式为 F = P ( 1 + i )( 1 + i ) ( 1 + i ) = P ( 1 + i ) n ( 3.1 ),F = ?,P,n 期,一次支付终值系数,式 (3.1) 称为一次支付终值公式或一次支付复利公式 ( single-payment compound-amount formula )，式中的系数 ( 1 + i ) n 称为一次支付终值系数，记为 ( F / P , i , n ) 。因此

37、，式 (3.1) 又可以写成 F = P ( F / P , i , n ) = P ( 1 + i ) n ( 3.2 ) ( 1 + i ) n = ( F / P , i , n ) = F / P,(2) 一次支付现值公式,若 n 年后欲取得储蓄金 F ，利率为 i ，问现在存入的本金 P 是多少。 如现金流量图所示，这个问题的一般意义是求时值的现值 P ，亦是一次支付终值公式的逆向运算。,将式 (3.1)等号两边除以一次支付终值系数 ( 1 + i ) n ， 可得到计算公式 P = F ( 1 + i )- n ( 3.3 ),F,P = ?,一次支付现值系数,式 ( 3.3 )

38、称为一次支付现值公式 ( single-payment present-value formula )，相应地，式中的系数 ( 1 + i )- n 称为一次支付现值系数， 记为 ( P / F , i , n ) 。因此 P = F ( P / F, i , n ) ( 3.4 ),翻一番的 72 规则,售房高招,某房地产公司的商品房推行九折优惠，几个月过去了，但所吸引的顾客寥寥无几。销售部经理正好学习了有关资金的时间价值原理，于是他灵机一动，按当年的利率10 % 仔细一算，目前10 %的房款折扣，过 24 25 年又增值为一套房子的房款。这简直太奇妙了！他立即着手起草了一份广告，标题是：

39、100% 返款售房,售房广告正文,广告一出，即吸引了大批顾客。广告正文如下： 您只要按原销售价格购买一套住宅，则本公司将在第 23 25 年，分三次按照 20 %、30 %、50%的比例退还您的全部房款。届时您便可用这笔钱再购买一套住宅，供您的子女结婚居住。如此循环下去，可使您的子孙后代都能在结婚成家时获得一套住宅。可谓一次投资，惠及千秋万代。,售房高招之返款测算,设房款为 F，房款折扣为 P，已知 i =10%, 则 (1) F = P ( 1+ i ) n = 0.1F (1+ 0.1 ) n = 0.1F (1.1 ) n 1.1n = F / 0.1F = 10 (2) n = ( l

40、g F - lg P ) / lg ( 1 + i ) = lg ( F / P ) / lg ( 1 + i ) = lg 10 / lg 1.1 = 1 / lg 1.1 = 24.16 (年),(3) 等额分付终值公式序列,每年年末存入本金 A ，利率为 i，问第 n 年年末本利和 F 是多少。 这样一种储蓄方式就是所谓的 “零存整取”，问题是求年值 A 的终值 F。如相应的现金流量图所示，等额,F = ?,分付的终值可以看作是 n 个一次支付的终值之和。,等额分付终值公式及其推导,运用一次支付终值公式可得 F = F1 + F2 + F3 + + Fn-1 + Fn = A(1+i)n

41、-1 + A(1+i)n-2 + + A(1+i) + A = A 1 + (1+i) + (1+i)2 + + (1+i)n-2 + (1+i)n-1 式中，1 + (1+i) + (1+i)2 + + (1+i)n-2 + (1+i)n-1 为一等比数列的前 n 项和，其公比为 (1+i )，按照求和公式它等于 1 - (1+i)n / 1 - (1+i) ，即 (1+i)n - 1 / i 。因此,( 3.5 ),等额分付终值系数,式 (3.5) 称为等额分付终值公式或等额支付序列复利公式(uniform-series compound-amount formula )，式中的系数 (1

42、+i)n - 1 / i 称为等额分付终值系数，可以用 ( F / A , i , n )表示。因此，式 (3.5) 又可以写成 F = A ( F / A , i , n ) ( 3.6 ),算例,例3.8 资源 07级某本科生在大学四年里，每年开支 12 000 元，若年利率为 i = 3 %，问该生大四那年本科教育费用 F 是多少？ 解：相应现金流量图如下，由式 ( 3.5 ) 可得,A = 12 000,F = ?,(4) 等额分付积累基金公式,额分付终值系数，可得到计 算公式,F,第 n 期期末要提取一笔款项 F ，利率为 i ，问每期期末存入本金 A 是多少。 如现金流量图所示，这

43、个问题的意义是求终值的等价年值 ，亦是等额分付终值公式的逆运算。将式 (3.6)等号两边除以等,A = ?,( 3.7 ),等额分付积累基金系数,式 ( 3.7 ) 称为等额分付偿债基金公式或等额支付序列积累基金公式 (uniform-series sinking-fund deposit formula )，相应地，公式中的系数 i / (1+i)n - 1 称为等额分付偿债基金系数，记为 ( A / F , i , n ) 。因此 A = F ( A / F , i , n ) ( 3.8 ),算例,例3.9 资源 07 级某本科生的家长在该生小学毕业时就开始为其积攒 10 年后的本科教育

44、资金 50 203 元，若年利率为 i = 5 %，问每年需要存款多少？ 解：直接应用式( 3.8 )，计算可得 A=F(A/F , 5 % , 10) = 50 203 0.0795=3 991,(5) 等额分付资金回收公式,第 1 期期初发放贷款 P，n 期内收回全部本和息，利率为 i，问每期期末要回收的等额资金 A 是多少。 目前银行的房贷就是采用这种方式，相应的现金流量图如 下，问题是求 现值 P 的等价 年值 A 。,P,A = ?,等额分付资金回收公式及其推导,直接推导由 P 计算 A 的公式较为繁琐，若借助等额分付积累基金公式 A = F ( A / F , i , n ) 和一

45、次支付终值公式 F = P ( F / P , i , n ) ，可得到 A 与 P 的关系 A = F ( A / F , i , n ) = P ( F / P , i , n ) ( A / F , i , n ) 即,( 3.9 ),等额分付资金回收系数,公式 ( 3.9 ) 称为等额分付资金回收公式 ( uniform-series capital-recovery formula ) 或等额支付序列资金恢复公式，相应地，公式中的系数 i (1 + i ) n / (1+i ) n - 1 称为等额分付资金回收系数，记为 ( A / P , i , n ) 。因此 A = P ( A

46、 / P , i , n ) ( 3.10 ),算例,例3.10 建行提供贷款 30 万元购买住房，贷款期限 25 年，年利率为 6 %，每月计息一次，采用每月等额本息还款法。问每月还贷多少元？ 解：这是已知现值 P 求年金的问题，确切地说本例是求月供 A。设贷款期限 n =12 25 = 300 (月)，月有效利率 i = 0.06 12 = 0.005，则 A = P i (1 + i ) n/ (1 + i ) n - 1 = 300 0000.005(1+0.005)300/(1+0.005)300-1 = 300 000 (0.0054.465) (4.465-1) = 300 00

47、0 0.0223 = 1932.89 (元),(6) 等额分付现值公式,期数为 n ，每期期末提取等额资金A ，利率为 i，问第 1 期期初存入本金 P 是多少。 如现金流量图所示，这个问题是求年值的等价现值 P ，亦是等额分付资金回收公式的逆运算。将式 (3.10) 等号两边除以,等额分付资金回收系数，可 得到计算公式,( 3.11 ),等额分付现值系数,式 ( 3.11 ) 称为等额分付现值公式或等额支付序列现值公式 ( uniform-series present-value formula )，相应地，公式中的系数称为等额分付现值系数，记为 ( P / A , i , n ) 。因此

48、P = A ( P / A , i , n ) ( 3.8 ),算例,例3.11 某项房贷月供 1932.89 元，还贷期限还剩 12.5 年，年利率为 6 %，每月计息一次。若现在欲一次还清剩余贷款，应支付多少钱？ 解：这是已知月供 A 求现值 P 的问题。设剩余贷款期限 n =12 12.5 = 150 (月)，月有效利率 i = 0.06 12 = 0.005，则 P = A(1 + i ) n - 1 / i (1 + i ) n = 1932.89 (1+0.005)150-1 /0.005(1+0.005)150 = 1932.89(1.1130 0.0106)= 1932.891

49、05.3455 = 203621.22 (元),(7) 均匀梯度序列公式,均匀梯度支付序列是在一定的基础数值上逐期等差增 加或减少的现金流量。一般情况是将第 1 期期 末的现金流量 A1 作为基础数值，然后 从第 2 期期末开始逐期按等差 额 G 递增或等差递减。 前者的现金 流量图 如下。,现金流量的分解与转换,比较简便的方法是把一个均匀递增的支付序列看作是由下列两个支付序列的叠加；一个是由基础数值 A1 组成的等额支付序列；另一个则是由 0，G，2G，(n-2)G，(n-1)G 组成的递增支付序列。如果能把后者也转换成一个等额支付序列 A2 ，那么整个均匀递增支付序列就可以转换成一个等额支

50、付序列 A = A1+ A2 。这种转换关系如图所示。,分解与转换的图示,均匀梯度序列公式及系数,事实上，A2 可以表示为 G 的函数，通过推导可得 上式称为均匀梯度序列公式。式中系数称为均匀梯度系数，记作 ( A / G , i , n )。因此 A2 = G ( A / G , i , n ) 当 G 0 时 A = A1+ A2 A1 当 G 0 时 A = A1+ A2 A1,退休金,例3.12 某企业按下述方式给一退休职工发放前十年的退休金：第 1 年 1 万元，以后每年增加 3 百元 (该退休职工领取退休金的现金流量图如下)。假如年利率为 5%，问与其等价的等额退休年金 A 是多少

51、？,解：设 A1=10 000 , G = 300 , i = 5 % , n = 10 . 则 A2 = 300 ( A / G , 0.05 , 10 ) = 300 4.0991 1 230 A = A1+ A2 = 11 230 元,万元,等额本金还款法,例3.13 一项借贷，本金为 1 万元，年利率为 10 %，期限10年，采用等额本金还款法，即每年归还本金的十分之一，另外加上当年的利息。贷方收回贷款的现金流,量图如下。问与其等价的等额本息还款法每年归还的金额 A 是多少？ 解：A1=2000 , G = -100 , A2 = -100 ( A / G , 0.10 , 10 )

52、= -100 3.7255 = -372.55 A = A1+ A2 = 1627.45,六个基本公式,六个常用的普通复利公式,当问题包括P和A时，系列的第一个 A是在P发生一年后的年末发生；当 问题包括F和A时，系列的最后一个 A是和F同时发生；,友情提示,运用利息公式应注意的问题: (1) 方案实施时的初始投资，假定发生在方案寿命期的期初； (2) 方案实施结束时的残余价值，假定发生在方案寿命期的期末； (3) 方案实施过程中的经常性收支，假定发生在计息期期末； (4) 后付年金 A 是在考察期间各期期末发生。 (5) 均匀梯度系列中，第一个等差额 G 发生在考察期间的第二期期末。,复利系

53、数与金额换算,A,F,P,( F / A , i , n ),(A / F , i , n ),( P / A , i , n ),( F / P , i , n ),( P / F , i , n ),( A / P , i , n ),( 2 ) 连环关系 ( F/P, i , n )( A/F, i , n )( P/A, i , n ) =1 ( A/P, i , n )( F/A, i , n )( P/F, i , n ) =1 ( 3 ) 特殊关系 ( A/P, i , n ) - ( A/F, i , n ) = i,复利系数之间的关系,( 1 ) 倒数关系 ( F/P, i

54、, n )( P/F, i , n ) =1 ( A/F, i , n )( F/A, i , n ) =1 ( P/A, i , n )( A/P, i , n ) =1,( 2 ) 连环关系 ( F/P, i , n )( A/F, i , n )( P/A, i , n ) =1 ( A/P, i , n )( F/A, i , n )( P/F, i , n ) =1 ( 3 ) ( A/P, i , n ) - ( A/F, i , n ) = i,复利系数之间的关系,( 1 ) 倒数关系 ( F/P, i , n )( P/F, i , n ) =1 ( A/F, i , n )(

55、 F/A, i , n ) =1 ( P/A, i , n )( A/P, i , n ) =1,A,F,P,( F / A , i , n ),(A / F , i , n ),( P / A , i , n ),( F / P , i , n ),( P / F , i , n ),( A / P , i , n ),关系 ( 3 ) 的推导,( A / P, i , n ) - ( A / F, i , n ) = i,3.3 资金的等值计算,给我一个支点我能撬动地球 阿基米德 金 额 如 力 气 利 率 当 支 点 时 间 是 杠 杆,3.3.1 等值的含义,如果两个事物的作用是相同的

56、，则称它们是等价的。 例如两个力矩的等价 “ 等价 ” 一词的原始含义是指资金或货币的价值相等，技术经济分析中，资金的等价习惯地称为资金的等值。 与资金价值相关的术语还有增值、贬值、保值等。,资金的等值,资金等值是考虑了资金时间价值的等值。即使资金的金额相等，由于发生的时间不同，其价值并不一定相等；反之，不同时间上发生的金额不等，其资金的价值却可能相等。 例如，在年利率 6 % 的情况下，现在的 300 元等值于 9 年后的 506.80=300 (F /P, 6% , 8) = 300 (1+0.06)8 元；相反，现在的 300 元与 9 年后的 300 元在年利率 6 % 的情况下，虽然

57、金额相等，由于生辰八字不同，其资金的价值并不相等。,资金等值的概念及因素,狭义地讲，资金等值是指两笔资金在同一时点的时值相等。或是指两者的效益相等。 广义地说，若两个现金流量的贴现值相等，则称它们是等值的。反之，若有两个现金流量等值，则两者在任何时点上的时值均相等。特别地，它们的现值终值年值也相等 现金流量是由一系列时值组成，现金流量的贴现值是其中所有时值贴现值的叠加。显然，时值的贴现值与本身金额的大小，发生时间的早晚(时点的位置) 以及贴现率的高低三者有关。 资金等值的三个影响因素：资金的金额、资金的发生时间和利率。,现金流量的等值,某企业获得 10 万元贷款，还款期 5 年，年利率 10

58、%。这笔贷款有好几种归还方式，下面列举了几种典型的还款法： 方法 1 ( 等额本金还款法 ) ； 方法 2 ( 等额本息还款法 ) ； 方法 3 ( 一次本金还款法 ) ； 方法 4 ( 一次本息还款法 ) ； 方法 5 ( 扣息本金还款法 ) 。( 6.21万元 ),还贷方式与还贷金额,还贷方式的现金流量图,3.3.2 等值的计算,等值的计算是指时值或者现金流量的等值变换。等值计算的工具是普通复利公式。 等值计算涉及计息期、支付期和计算期三个时间概念： 计息期是指相邻两次计息的时间间隔 支付期是指现金流量相邻两次支付的时间 间隔 计算期是指等值计算所采用的时间间隔,1. 现金流量的整理,对于