高考数学大一轮复习 第八章 立体几何 8.4 平行关系课件 文 北师大版

1、8.4平行关系,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.直线与平面平行的判定与性质,知识梳理,a,a，b ， ab,a,a，a， b,a,ab,2.面面平行的判定与性质,a，b，abp，a，b,，a，b,重要结论： (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a，a，则； (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a，b，则ab； (3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若，则.,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面.() (2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面

2、内的任一条直线.() (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.(),(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.() (5)若直线a与平面内无数条直线平行，则a.() (6)若，直线a，则a.(),1.(教材改编)下列命题中正确的是 a.若a，b是两条直线，且ab，那么a平行于经过b的任何平面 b.若直线a和平面满足a，那么a与内的任何直线平行 c.平行于同一条直线的两个平面平行 d.若直线a，b和平面满足ab，a， b ，则b,考点自测,答案,解析,a中，a可以在过b的平面内； b中，a与内的直线可能异面； c中，两平面可相交； d中，由直

3、线与平面平行的判定定理知，b，正确.,2.设l，m为直线，为平面，且l，m，则“lm”是“”的 a.充分不必要条件 b.必要不充分条件 c.充要条件d.既不充分也不必要条件,答案,解析,当平面与平面平行时，两个平面内的直线没有交点，故“lm”是“”的必要条件；当两个平面内的直线没有交点时，两个平面可以相交，lm是的必要不充分条件.,3.(2016烟台模拟)若平面平面，直线a平面，点b，则在平面内且过b点的所有直线中 a.不一定存在与a平行的直线 b.只有两条与a平行的直线 c.存在无数条与a平行的直线 d.存在唯一与a平行的直线,答案,解析,当直线a在平面内且过b点时，不存在与a平行的直线，故

4、选a.,4.(教材改编)如图，正方体abcda1b1c1d1中，e为dd1的中点，则bd1与平面aec的位置关系为_.,答案,解析,平行,连接bd，设bdaco，连接eo，在bdd1中，o为bd的中点，所以eo为bdd1的中位线，则bd1eo，而bd1 平面ace，eo平面ace，所以bd1平面ace.,5.过三棱柱abca1b1c1任意两条棱的中点作直线，其中与平面abb1a1平行的直线共有_条.,答案,解析,6,各中点连线如图，只有面efgh与面abb1a1平行，在四边形efgh中有6条符合题意.,题型分类深度剖析,例1如图，四棱锥pabcd中，adbc，abbc ad，e，f，h分别为线

5、段ad，pc，cd的中点，ac与be交于o点，g是线段of上一点. (1)求证：ap平面bef；,题型一直线与平面平行的判定与性质,命题点1直线与平面平行的判定,证明,连接ec， adbc，bc ad， bc綊ae， 四边形abce是平行四边形， o为ac的中点. 又f是pc的中点，foap， fo平面bef，ap 平面bef，ap平面bef.,(2)求证：gh平面pad.,证明,连接fh，oh，f，h分别是pc，cd的中点， fhpd，fh平面pad. 又o是be的中点，h是cd的中点， ohad，oh平面pad. 又fhohh，平面ohf平面pad. 又gh平面ohf，gh平面pad.,例

6、2(2016长沙模拟)如图，四棱锥pabcd的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2 .点g，e，f，h分别是棱pb，ab，cd，pc上共面的四点，平面gefh平面abcd，bc平面gefh. (1)证明：ghef；,命题点2直线与平面平行的性质,证明,因为bc平面gefh，bc平面pbc， 且平面pbc平面gefhgh， 所以ghbc. 同理可证efbc，因此ghef.,(2)若eb2，求四边形gefh的面积.,解答,如图，连接ac，bd交于点o，bd交ef于点k，连接op，gk. 因为papc，o是ac的中点，所以poac， 同理可得pobd. 又bdaco，且ac，bd都在底面内， 所

7、以po底面abcd. 又因为平面gefh平面abcd， 且po 平面gefh，所以po平面gefh. 因为平面pbd平面gefhgk， 所以pogk，且gk底面abcd，,从而gkef. 所以gk是梯形gefh的高. 由ab8，eb2得ebabkbdb14，,所以gk3.,思维升华,判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点)； (2)利用线面平行的判定定理( ，b，aba)； (3)利用面面平行的性质定理(，aa)； (4)利用面面平行的性质(，a ，a ，aa).,跟踪训练1如图所示，cd，ab均与平面efgh平行，e，f，g，h分别在bd，bc，ac，ad上，且cd

8、ab.求证：四边形efgh是矩形.,证明,cd平面efgh， 而平面efgh平面bcdef， cdef. 同理hgcd，efhg. 同理hegf， 四边形efgh为平行四边形. cdef，heab， hef为异面直线cd和ab所成的角或其补角. 又cdab，heef. 平行四边形efgh为矩形.,题型二平面与平面平行的判定与性质,例3如图所示，在三棱柱abca1b1c1中，e，f，g，h分别是ab，ac，a1b1，a1c1的中点，求证： (1)b，c，h，g四点共面；,证明,g，h分别是a1b1，a1c1的中点， gh是a1b1c1的中位线，ghb1c1. 又b1c1bc，ghbc， b，c，

9、h，g四点共面.,(2)平面efa1平面bchg.,证明,e，f分别是ab，ac的中点， efbc. ef 平面bchg，bc平面bchg， ef平面bchg. a1g綊eb，四边形a1ebg是平行四边形， a1egb. a1e 平面bchg，gb平面bchg， a1e平面bchg. a1eefe， 平面efa1平面bchg.,引申探究,1.在本例条件下，若d为bc1的中点，求证：hd平面a1b1ba.,证明,如图所示，连接hd，a1b， d为bc1的中点，h为a1c1的中点， hda1b， 又hd 平面a1b1ba， a1b平面a1b1ba， hd平面a1b1ba.,2.在本例条件下，若d1

10、，d分别为b1c1，bc的中点，求证：平面a1bd1平面ac1d.,证明,如图所示，连接a1c交ac1于点m， 四边形a1acc1是平行四边形， m是a1c的中点，连接md， d为bc的中点， a1bdm. a1b平面a1bd1， dm 平面a1bd1， dm平面a1bd1. 又由三棱柱的性质知，d1c1綊bd， 四边形bdc1d1为平行四边形，,dc1bd1. 又dc1 平面a1bd1，bd1平面a1bd1， dc1平面a1bd1， 又dc1dmd，dc1，dm平面ac1d， 平面a1bd1平面ac1d.,思维升华,证明面面平行的方法 (1)面面平行的定义； (2)面面平行的判定定理：如果一

11、个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行； (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行； (4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行； (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.,跟踪训练2(2016西安模拟)如图，四棱柱abcda1b1c1d1的底面abcd是正方形，o是底面中心，a1o底面abcd，abaa1 . (1)证明：平面a1bd平面cd1b1；,证明,由题设知，bb1綊dd1， 四边形bb1d1d是平行四边形，bdb1d1. 又bd 平面cd1b1，b1d1平面cd1b1， bd平面cd1b1. a1d1綊b1c1綊bc， 四边形

12、a1bcd1是平行四边形， a1bd1c. 又a1b 平面cd1b1，d1c平面cd1b1， a1b平面cd1b1. 又bda1bb，平面a1bd平面cd1b1.,(2)求三棱柱abda1b1d1的体积.,解答,a1o平面abcd， a1o是三棱柱abda1b1d1的高.,题型三平行关系的综合应用,例4如图所示，在三棱柱abca1b1c1中，d是棱cc1的中点，问在棱ab上是否存在一点e，使de平面ab1c1？若存在，请确定点e的位置；若不存在，请说明理由.,解答,方法一存在点e，且e为ab的中点时，de平面ab1c1. 下面给出证明： 如图，取bb1的中点f，连接df， 则dfb1c1， a

13、b的中点为e，连接ef，ed， 则efab1，b1c1ab1b1， 平面def平面ab1c1. 而de平面def， de平面ab1c1.,方法二假设在棱ab上存在点e， 使得de平面ab1c1， 如图，取bb1的中点f，连接df，ef，ed，则dfb1c1， 又df 平面ab1c1， b1c1平面ab1c1， df平面ab1c1， 又de平面ab1c1， dedfd， 平面def平面ab1c1， ef平面def，ef平面ab1c1，,又ef平面abb1，平面abb1平面ab1c1ab1， efab1， 点f是bb1的中点，点e是ab的中点. 即当点e是ab的中点时，de平面ab1c1.,思维升

14、华,利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决.,跟踪训练3如图所示，在四面体abcd中，截面efgh平行于对棱ab和cd，试问截面在什么位置时其截面面积最大？,解答,几何画板展示,ab平面efgh， 平面efgh与平面abc和平面abd分别交于fg，eh. abfg，abeh， fgeh，同理可证efgh， 截面efgh是平行四边形. 设aba，cdb，fgh (即为异面直线ab和cd所成的角或其补角).,x0，ax0且x(ax)a为定值，,即当截面efgh的顶点e、f、g、h分别为棱ad、ac、bc、bd的中点

15、时截面面积最大.,sefghfgghsin ,典例(12分)如图，在四棱锥sabcd中，已知底面abcd为直角梯形，其中adbc，bad90，sa底面abcd，saabbc2，tansda . (1)求四棱锥sabcd的体积； (2)在棱sd上找一点e，使ce平面sab，并证明.,立体几何中的探索性问题,答题模板系列5,规范解答,答题模板,解(1)sa底面abcd，tansda ，sa2， ad3. 2分 由题意知四棱锥sabcd的底面为直角梯形，且saabbc2，,(2)当点e位于棱sd上靠近d的三等分点处时，可使ce平面sab. 8分,证明如下： 取sd上靠近d的三等分点为e，取sa上靠近

16、a的三等分点为f，连接ce，ef，bf，,bc綊ef，cebf.10分 又bf平面sab，ce 平面sab， ce平面sab.12分,返回,解决立体几何中的探索性问题的步骤： 第一步：写出探求的最后结论； 第二步：证明探求结论的正确性； 第三步：给出明确答案； 第四步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范.,返回,课时作业,1.(2016保定模拟)有下列命题： 若直线l平行于平面内的无数条直线，则直线l； 若直线a在平面外，则a； 若直线ab，b，则a； 若直线ab，b，则a平行于平面内的无数条直线. 其中真命题的个数是 a.1 b.2 c.3 d.4,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7

17、,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,命题：l可以在平面内，不正确； 命题：直线a与平面可以是相交关系，不正确； 命题：a可以在平面内，不正确； 命题正确.故选a.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.(2016滨州模拟)已知m，n，l1，l2表示直线，表示平面.若m，n，l1，l2，l1l2m，则的一个充分条件是 a.m且l1 b.m且n c.m且nl2 d.ml1且nl2,答案,解析,由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项d可推知.故选d.,1,2,3,4

18、,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.设l为直线，是两个不同的平面.下列命题中正确的是 a.若l，l，则b.若l，l，则 c.若l，l，则d.若，l，则l,答案,解析,l，l，则与可能平行，也可能相交，故a项错； 由“同垂直于一条直线的两个平面平行”可知b项正确； 由l，l可知，故c项错； 由，l可知l与可能平行，也可能l，也可能相交，故d项错. 故选b.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.已知平面平面，p是，外一点，过点p的直线m与，分别交于a，c两点，过点p的直线n与，分别交于b，d两点，且pa6，ac9，pd8，则bd的长为,答案,解析,由得ab

19、cd. 分两种情况：,5.(2016全国甲卷)，是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题： 如果mn，m，n，那么； 如果m，n，那么mn； 如果，m，那么m； 如果mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等. 其中正确的命题有_.(填写所有正确命题的编号),答案,解析,当mn，m，n时，两个平面的位置关系不确定，故错误，经判断知均正确，故正确答案为.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,6.设，是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“m，n，且_，则mn”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命

20、题为真命题. ，n；m，n；n，m. 可以填入的条件有_.,答案,解析,或,由面面平行的性质定理可知，正确； 当n，m时，n和m在同一平面内，且没有公共点， 所以平行，正确.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.如图，在正四棱柱abcda1b1c1d1(底面是正方形的直四棱柱叫正四棱柱)中，e、f、g、h分别是棱cc1、c1d1、d1d、cd的中点，n是bc的中点，动点m在四边形efgh上及其内部运动，则m满足条件_时，有mn平面b1bdd1.,答案,解析,m线段fh,因为hnbd，hfdd1，所以平面nhf平面b1bdd1，故线段fh上任意点m与n相连，都有mn平

21、面b1bdd1.(答案不唯一),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”.给出下列四个命题： 垂直于同一平面的两直线平行；垂直于同一平面的两平面平行；平行于同一直线的两直线平行；平行于同一平面的两直线平行. 其中是“可换命题”的是_.(填命题的序号),答案,解析,由线面垂直的性质定理可知是真命题，且垂直于同一直线的两平面平行也是真命题，故是“可换命题”； 因为垂直于同一平面的两平面可能平行或相交，所以是假命题，不是“可换命题”； 由公理4可知是真命题，且平行于同一平面的两平面

22、平行也是真命题，故是“可换命题”； 因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故是假命题，故不是“可换命题”.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,如图，取cd的中点e，连接ae，be. 则emma12， enbn12， 所以mnab. 所以mn平面abd， mn平面abc.,9.在四面体abcd中，m，n分别是acd，bcd的重心，则四面体的四个面中与mn平行的是_.,答案,解析,平面abd与平面abc,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*10.在三棱锥sabc中，abc是边

23、长为6的正三角形，sasbsc15，平面defh分别与ab，bc，sc，sa交于点d，e，f，h.d，e分别是ab，bc的中点，如果直线sb平面defh，那么四边形defh的 面积为_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,如图，取ac的中点g， 连接sg，bg. 易知sgac，bgac，sgbgg， 故ac平面sgb， 所以acsb. 因为sb平面defh，sb平面sab，平面sab平面defhhd， 则sbhd.同理sbfe. 又d，e分别为ab，bc的中点， 则h，f也为as，sc的中点，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,所

24、以四边形defh为平行四边形. 又acsb，sbhd，deac， 所以dehd， 所以四边形defh为矩形，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.如图，e、f、g、h分别是正方体abcda1b1c1d1的棱bc、cc1、c1d1、aa1的中点.求证： (1)eg平面bb1d1d；,证明,取b1d1的中点o，连接go，ob， 易证四边形bego为平行四边形，故obeg， 由线面平行的判定定理即可证eg平面bb1d1d.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)平面bdf平面b1d1h.,证明,由题意可知bdb1d1. 如图，连接hb、d1f， 易证四边形hbfd1是平行四边形，故hd1bf. 又b1d1hd1d1， bdbfb， 所以平面bdf平面b1d1h