高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.2 两条直线的位置关系课件 理 苏教版

1、9.2两条直线的位置关系,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 两条直线平行： ()对于两条不重合的直线l1、l2，若其斜率分别为k1、k2，则有l1l2 . ()当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1l2. 两条直线垂直： ()如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1l2 . ()当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1l2.,知识梳理,k1k2,k1k21,(2)两条直线的交点 直线l1：a1xb1yc10，l2：a2xb2yc20，则l1与l2的交点坐标 就是方程组

2、 的解.,2.几种距离 (1)两点p1(x1，y1)，p2(x2，y2)之间的距离p1p2 . (2)点p0(x0，y0)到直线l：axbyc0的距离d . (3)两条平行线axbyc10与axbyc20(其中c1c2)间的距离 d .,1.直线系方程 (1)与直线axbyc0平行的直线系方程是axbym0(mr且mc). (2)与直线axbyc0垂直的直线系方程是bxayn0(nr). 2.两直线平行或重合的充要条件 直线l1：a1xb1yc10与直线l2：a2xb2yc20平行或重合的充要条件是 .,a1b2a2b10,3.两直线垂直的充要条件 直线l1：a1xb1yc10与直线l2：a2

3、xb2yc20垂直的充要条件是 . 4.过直线l1：a1xb1yc10与l2：a2xb2yc20的交点的直线系方程为a1xb1yc1(a2xb2yc2)0(r)，但不包括l2. 5.点到直线与两平行线间的距离的使用条件 (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式. (2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等.,a1a2b1b20,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.() (2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.() (3)已知直线l1：a1xb1yc10，l2：a2

4、xb2yc20(a1、b1、c1、 a2、b2、c2为常数)，若直线l1l2，则a1a2b1b20.() (4)点p(x0，y0)到直线ykxb的距离为 .(),(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离. () (6)若点a，b关于直线l：ykxb(k0)对称，则直线ab的斜率等于 ，且线段ab的中点在直线l上.(),考点自测,1.(2016徐州模拟)过点(1,0)且与直线x2y20平行的直线方程是_.,答案,解析,x2y10,直线x2y20可化为y x1，,所以过点(1,0)且与直线x2y20平行的直线方程可设为y xb，,将点(1,0)代入得b .,所以所求直线方程为x

5、2y10.,2.(教材改编)已知点(a,2)(a0)到直线l：xy30的距离为1，则a_ .,答案,解析,依题意得 1.,解得a1 或a1 .,a0，a1 .,3.已知直线l过圆x2(y3)24的圆心，且与直线xy10垂直，则l的方程是_.,答案,解析,xy30,圆x2(y3)24的圆心为点(0,3)， 又因为直线l与直线xy10垂直， 所以直线l的斜率k1. 由点斜式得直线l：y3x0，化简得xy30.,4.(2016 苏州模拟)已知两点a(1,2)，b(5,5)到直线l的距离分别是3和2，则满足条件的直线共有_条.,答案,解析,3,以a(1,2)为圆心，3为半径的圆a：(x1)2(y2)2

6、9， 以b(5,5)为圆心，2为半径的圆b：(x5)2(y5)24， 根据题意所要满足的条件， 则l是圆a与圆b的公切线，因为a(1,2)，b(5,5)两点间的距离d5， 即dr1r2，所以圆a与圆b相外切，所以有3条公切线.,5.(教材改编)若直线(3a2)x(14a)y80与(5a2)x(a4)y70垂直，则a_.,答案,解析,0或1,由两直线垂直的充要条件， 得(3a2)(5a2)(14a)(a4)0， 解得a0或a1.,题型分类深度剖析,题型一两条直线的平行与垂直 例1(1)(2017苏北四市联考)已知a，b为正数，且直线axby60与直线2x(b3)y50互相平行，则2a3b的最小值

7、为_.,答案,解析,25,所以a .,所以2a3b 3b4 3(b3)9,13 25(当且仅当 3(b3)，,即b5时取等号).,(2)已知直线l1：ax2y60和直线l2：x(a1)ya210. 试判断l1与l2是否平行；,解答,方法一当a1时，l1：x2y60，l2：x0，l1不平行于l2； 当a0时，l1：y3，l2：xy10，l1不平行于l2；,当a1且a0时，两直线可化为l1：y x3，l2：y x(a1)，,l1l2 解得a1.,综上可知，当a1时，l1l2.,方法二由a1b2a2b10，得a(a1)120， 由a1c2a2c10，得a(a21)160，,故当a1时，l1l2.,当

8、l1l2时，求a的值.,解答,方法一当a1时，l1：x2y60，l2：x0， l1与l2不垂直，故a1不成立； 当a0时，l1：y3，l2：xy10，l1与l2不垂直； 当a1且a0时，,l1：y x3，l2：y x(a1)，,由( ) 1a .,方法二由a1a2b1b20，得a2(a1)0a .,(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件. (2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.,思维升华,跟踪训练1已知两直线l1：xysin 10和l2：2xsin

9、y10，求的值，使得： (1)l1l2；,解答,方法一当sin 0时，直线l1的斜率不存在， l2的斜率为0，显然l1不平行于l2.,当sin 0时，k1 ，k22sin .,要使l1l2，需 2sin ，即sin .,所以k ，kz，此时两直线的斜率相等.,故当k ，kz时，l1l2.,方法二由a1b2a2b10，得2sin210，,所以sin ，所以k ，kz.,又b1c2b2c10，所以1sin 0， 即sin 1.,故当k ，kz时，l1l2.,(2)l1l2.,解答,因为a1a2b1b20是l1l2的充要条件， 所以2sin sin 0， 即sin 0， 所以k，kz. 故当k，kz

10、时，l1l2.,题型二两条直线的交点与距离问题 例2(1)(2016宿迁模拟)求经过两条直线l1：xy40和l2：xy20的交点，且与直线2xy10垂直的直线方程为_.,答案,解析,x2y70,设与直线2xy10垂直的直线方程为x2yc0， 则123c0，c7. 所求直线方程为x2y70.,l1与l2的交点坐标为(1,3).,(2)直线l过点p(1,2)且到点a(2,3)和点b(4,5)的距离相等，则直线l的方程为_.,x3y50或x1,答案,解析,方法一当直线l的斜率存在时， 设直线l的方程为y2k(x1)， 即kxyk20.,由题意知,即|3k1|3k3|，,k .,直线l的方程为y2 (

11、x1)，,即x3y50.,当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，也符合题意. 故所求直线l的方程为x3y50或x1.,方法二当abl时，有kkab ，,直线l的方程为y2 (x1)，,即x3y50. 当l过ab的中点时，ab的中点为(1,4). 直线l的方程为x1. 故所求直线l的方程为x3y50或x1.,(1)求过两直线交点的直线方程的方法： 求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程. (2)利用距离公式应注意：点p(x0，y0)到直线xa的距离d|x0a|，到直线yb的距离d|y0b|；两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相

12、等.,思维升华,跟踪训练2(1)(2016济南模拟)若动点p1(x1，y1)，p2(x2，y2)分别在直线l1：xy50，l2：xy150上移动，则p1p2的中点p到原点的距离的最小值是_.,答案,解析,设p1p2的中点为p(x，y)，,则x ，y .,x1y150，x2y2150. yx10，p(x，x10)， p到原点的距离d,(x1x2)(y1y2)20，即xy10.,(2)如图，设一直线过点(1,1)，它被两平行直线l1：x2y10，l2：x2y30所截的线段的中点在直线l3：xy10上，求其方程.,解答,与l1、l2平行且距离相等的直线方程为x2y20. 设所求直线方程为(x2y2)

13、(xy1)0， 即(1)x(2)y20.又直线过点(1,1)， (1)(1)(2)120.,解得 .,所求直线方程为2x7y50.,题型三对称问题 命题点1点关于点中心对称 例3(2016苏州模拟)过点p(0,1)作直线l，使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100截得的线段被点p平分，则直线l的方程为_.,答案,解析,x4y40,设l1与l的交点为a(a,82a)， 则由题意知，点a关于点p的对称点b(a,2a6)在l2上， 代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4， 即点a(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x4y40.,命题点2点关于直线对称 例4如图，已知a(4,0)，b

14、(0,4)，从点p(2,0)射出的光线经直线ab反射后再射到直线ob上，最后经直线ob反射后又回到p点，则光线所经过的路程是_.,答案,解析,直线ab的方程为xy4， 点p(2,0)关于直线ab的对称点为d(4,2)， 关于y轴的对称点为c(2,0). 则光线经过的路程为cd,命题点3直线关于直线的对称问题 例5(2016泰州模拟)已知直线l：2x3y10，求直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程.,解答,在直线m上任取一点，如m(2,0)， 则m(2,0)关于直线l的对称点m必在直线m上. 设对称点m(a，b)，则,解得,设直线m与直线l的交点为n，则,得n(4,3).,又m经过点

15、n(4,3). 由两点式得直线m的方程为9x46y1020.,解决对称问题的方法 (1)中心对称 点p(x，y)关于q(a，b)的对称点p(x，y)满足 直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决. (2)轴对称 点a(a，b)关于直线axbyc0(b0)的对称点a(m，n)，则有,思维升华,直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.,跟踪训练3已知直线l：3xy30，求： (1)点p(4,5)关于l的对称点；,解答,设p(x，y)关于直线l：3xy30的对称点为p(x，y)，,kppkl1，即 31.,又pp的中点在直线3xy30上，,3 30.,由得,把x4，y5代入得x

16、2，y7， p(4,5)关于直线l的对称点p的坐标为(2,7).,(2)直线xy20关于直线l对称的直线方程；,解答,用分别代换xy20中的x，y， 得关于l的对称直线方程为,化简得7xy220.,(3)直线l关于(1,2)的对称直线.,解答,在直线l：3xy30上取点m(0,3)关于(1,2)的对称点m(x，y)，, 1，x2， 2，y1，,m(2,1).,l关于(1,2)的对称直线平行于直线l，k3， 对称直线方程为y13(x2)， 即3xy50.,一、平行直线系 由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系. 典例1求与直线3

17、x4y10平行且过点(1,2)的直线l的方程.,妙用直线系求直线方程,思想与方法系列20,规范解答,思想方法指导,因为所求直线与3x4y10平行，因此，可设该直线方程为3x4yc0(c1).,解依题意，设所求直线方程为3x4yc0(c1)， 又因为直线过点(1,2)， 所以3142c0， 解得c11. 因此，所求直线方程为3x4y110.,二、垂直直线系 由于直线a1xb1yc10与a2xb2yc20垂直的充要条件为a1a2b1b20.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必要的关系.可以考虑用直线系方程求解. 典例2求经过a(2,1)，且与直线2xy100垂直的直线l的方程.,规范解答,思

18、想方法指导,依据两直线垂直的特征设出方程，再由待定系数法求解.,解因为所求直线与直线2xy100垂直， 所以设该直线方程为x2yc10， 又直线过点(2,1)， 所以有221c10， 解得c10，即所求直线方程为x2y0.,三、过直线交点的直线系 典例3求经过两直线l1：x2y40和l2：xy20的交点p，且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程.,规范解答,思想方法指导,可分别求出直线l1与l2的交点及直线l的斜率k，直接写出方程； 也可以利用过交点的直线系方程设直线方程，再用待定系数法求解.,几何画板展示,解方法一解方程组 得p(0,2).,因为l3的斜率为 ，且ll3，,所以直线l的

19、斜率为 ，,由斜截式可得l的方程为y x2，,方法二设直线l的方程为x2y4(xy2)0， 即(1)x(2)y420. 又ll3，3(1)(4)(2)0，解得11. 直线l的方程为4x3y60.,即4x3y60.,课时作业,1.(2016常州模拟)过点m(3，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为_.,答案,解析,4x3y0或xy10,若直线过原点，则k ，,所以y x，即4x3y0.,若直线不过原点，设直线方程为 1，即xya，,则a3(4)1，所以直线的方程为xy10.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.(2016泰州模拟)已知直线l1：x2my30，直

20、线l2的方向向量为a(1,2)，若l1l2，则m的值为_.,答案,解析,1,由直线l2的方向向量是a(1,2)，知直线l2的斜率为k22.,l1l2， 直线l1的斜率存在，且k1 .,由k1k21，即 21，得m1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.(2016山东省实验中学质检)从点(2,3)射出的光线沿与向量a(8,4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为_.,答案,解析,x2y40,由直线与向量a(8,4)平行知：,过点(2,3)的直线的斜率k ，所以直线的方程为y3 (x2)，,其与y轴的交点坐标为(0,2)， 所以反射光线过点(2,3)与(0

21、,2)， 由两点式求得方程为x2y40.,又点(2,3)关于y轴的对称点为(2,3)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,4.一只虫子从点o(0,0)出发，先爬行到直线l：xy10上的p点，再从p点出发爬行到点a(1，1)，则虫子爬行的最短路程是_.,答案,解析,2,点o(0,0)关于直线xy10的对称点为o(1,1)， 则虫子爬行的最短路程为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.若p，q分别为直线3x4y120与6x8y50上任意一点，则pq 的最小值为_.,答案,解析,因为 ，所以两直线平行，,由题意可知pq的最小值为这两条平行直线间的

22、距离，,所以pq的最小值为 .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,6.(2016苏州模拟)将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合， 点(7,3)与点(m，n)重合，则mn_.,答案,解析,由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线， 即直线y2x3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，,于是,解得,故mn .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.(2016盐城模拟)正方形的中心为点c(1,0)，一条边所在的直线方程是x3y50，其他三边所在直线的方程分别为_、_、_.,答案,解析,x3y70,

23、3xy30,3xy90,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,点c到直线x3y50的距离,设与x3y50平行的一边所在直线的方程是x3ym0(m5)，,点c到直线x3y50的距离,解得m5(舍去)或m7， 所以与x3y50平行的边所在直线的方程是x3y70. 设与x3y50垂直的边所在直线的方程是3xyn0，,则点c到直线3xyn0的距离,解得n3或n9，所以与x3y50垂直的两边所在直线的方程分别是3xy30和3xy90.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.(2016徐州模拟)已知直线l1：axy10，直线l2：xy30，若直线l1的倾斜角

24、为 ，则a_；若l1l2，则a_；若l1l2，则两平行直线间的距离为_.,答案,解析,1,1,若直线l1的倾斜角为 ，则aktan 1，故a1；,若l1l2，则a11(1)0，故a1； 若l1l2，则a1，l1：xy10，,两平行直线间的距离,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.如图，已知直线l1l2，点a是l1，l2之间的定点，点a到l1，l2之间的距离分别为3和2，点b是l2上的一动点，作acab，且ac与l1交于点c，则abc的面积的最小值为_.,答案,解析,6,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,以a为坐标原点，平行于l1的直线为x轴

25、，建立如图所示的直角坐标系， 设b(a，2)，c(b,3). acab，,ab60，ab6，b .,rtabc的面积s,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,10.在平面直角坐标系内，到点a(1,2)，b(1,5)，c(3,6)，d(7，1)的距离之和最小的点的坐标是_.,(2,4),答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,如图，设平面直角坐标系中任一点p，p到点a(1,2)，b(1,5)，c(3,6)，d(7，1)的距离之和为papbpcpdpbpdpapcbdacqaqbqcqd， 故四边形abcd对角线的交点q即为所求距离 之和最小的

26、点. a(1,2)，b(1,5)，c(3,6)，d(7，1)， 直线ac的方程为y22(x1)， 直线bd的方程为y5(x1).,由 得q(2,4).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,11.已知方程(2)x(1)y2(32)0与点p(2，2). (1)证明：对任意的实数，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；,证明,显然2与(1)不可能同时为零， 故对任意的实数，该方程都表示直线. 方程可变形为2xy6(xy4)0，,故直线经过的定点为m(2，2).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)证明：该方程表示的直线与点p的距离d小于 .,证明,过p作直线的垂线段pq，由垂线段小于斜线段知pqpm， 当且仅当q与m重合时，pqpm，kpm1，直线与pm垂直， 此时对应的直线方程是y2x2，即xy40. 但直线系方程唯独不能表示直线xy40， m与q不可能重