高二数学选修2-2~2.3数学归纳法3.ppt

1、2.1数学归纳法及其应用实例，2.1数学归纳法及其应用实例，2.1数学归纳法及其应用实例，2.1数学归纳法及其应用实例，2.1数学归纳法及其应用实例，2.1数学归纳法及其应用实例，第三课时，2.3数学归纳法(3)，星期六，2020年7月25日其格式有两个主要步骤。一个结论， (1)，证明了当n取n0的第一个值(如n0=1或2等)时，结论是正确的。)。验证初始条件(2)假设当n=k时结论是正确的，并证明当n=k=1时结论是正确的；假设推理(3)从(1)和(2)中得出结论，总结问题，准确地找到起点，打下坚实的基础，用假设递归为真，写出完整的结论。复习复习，1。数学归纳法是一种完全归纳法，它以可靠性

2、为基础，利用命题本身的传递性，使用“有限”的手段。来解决“无限”的问题。2.数学归纳法克服了完全归纳法的复杂性和不可行性以及不完全归纳法结论不可靠的缺点，实现了事物从简单到复杂、从特殊到一般、从有限到无限的转变。数学归纳法的核心思想。1.证明等式123 (2N1)=(n1) (2N当n2时，左项为；1 2 3 1 2 3 4 5 2。通过数学归纳法证明，当n1被证明为真时，左项是()，A，1，B，1 a，C，1 a，a2，D，1 a，a2，a3，C，课前热身，B，方程成立，3。众所周知，N是一个正偶数。然后我们需要用归纳假设来证明()这个方程成立，当A，C和D、1)、1、4、1、2、1、1、(

3、N、-、-、-、-、L、N，证明：(N 1)Left=right，这个方程成立。课前热身，=2k 1 3(2k-1)(2k 1)2=2k 11 3(2k-1)2(k 1)-1当n=k 1时方程成立。从这里，我们可以看出，原始方程适用于所有nN。如果n=k(kN)有：(k 1)(k 2)(k k)=2k 1 3 (2k-1)，那么当n=k 1，左侧=(k 2)(k 3)(k k)(k 1)(k 2)，并证明你的结论。求解：使n=1，2，并对其进行排序。下面用数学归纳法证明：(1)当n=1时，上述解表明结论是正确的。(1)数学归纳法证明等式问题：数学归纳法的应用实例：(2)假设n=k时结论正确，即

4、(2)“假设n=k时命题正确”并写出命题形式；3)分析“n=k=1”时命题是什么，找出命题形式与“n=k”时命题形式的区别，找出左端应加的项目；4)明确方程左端的变形目标，掌握恒等式变形的常用方法：乘法公式、因式分解、加减项、公式等。5)两步和一个结论是必不可少的，否则结论无法成立；配方：递归基础是必不可少的，归纳假设应该使用，结论不应该忘记！通过数学归纳法证明恒等式的步骤和注意事项：例1判断是否有常数A、B和C，这使得下面的等式成立。注：对于存在的问题，一般需要通过“观察-归纳-猜想-证明”的过程来巩固实践。对于这类题目，一般需要用特殊的N值来求出待定系数。例2知道序列的计算，根据计算结果猜

5、测表达式，并用数学归纳法证明。例2:已知正序中前n项之和为Sn，并通过数学归纳法证明当n=1时，结论成立。(2)假设n=k，结论成立。这个结论也成立。根据(1)和(2)，上述结论适用于所有正整数n。(2)数学归纳法证明了可除性问题：例1通过数学归纳法证明了当n是正偶数时xn-yn可以被x y整除。(1)当n=2时，x2。(2)如果n=2k，命题成立，也就是说x2k-y2k可以被x y整除，那么当n=2k 2时，所有的都可以被x y整除，所以x2k 2-y2k 2可以被x y整除，也就是说，当n=2k 2时，命题成立，并且从(1)和(2)可知，原来的命题对所有的都是偶数。证明：(1)当n=1，A

6、1=5 2 1=8时，这个命题显然成立。(2)假设当n=k时，Ak可以被8整除，即8的倍数，那么有：其中Ak是8的倍数，3k-1 1是偶数，即4(3k-1 1)也是8。从(1)和(2)，我们知道所有正整数n和an都可以被8整除。例3证明了：x3n-1 x3n-2 1可以被x2 x 1整除。证明：(1)当n=1时，x3n-1 x3n-2 1=x2 x 1，显然这个命题成立。(2)然后，当n=k 1，x3 (k 1)-1x3 (k 1)-21=x3k2x3k11，=x3(x3k-1 x3k-2-1)-x3 1=x3(x3k-1 x3k-21)-(x-1)(x2 x 1)，因为x3k-因此，上述公式

7、的左侧可以被x2 x 1整除，即当n=k 1时，命题成立。根据(1)和(2)，对于所有正整数n，这个命题成立。例6:平面上有n (n2)条直线，任意两条都不平行，任意三条都是同一点。交叉点的数量是多少？并且证明了当n=k 1时，k 1直线和前k条直线分别在一点相交，总共增加k个点。从1)和2)可以知道，所有nN个原始命题都是有效的。证明了：1)当n=2:两条直线的交点个数为1，f(2)=2(2-1)=1时，命题成立。k 1线的交点数=f(k)k=k(k-1)k=k(k-1 2)=k(k-1)=(k-1)(k-1)-1=f(k-1)，也就是说，当n=k-1时，这个命题仍然成立。，2)假设n=k(

8、kN，k2)，k条直线的交点个数为f (k)=k (k-1)，(3)用数学归纳法证明几何问题，2 .在上述例子的条件下，有两个结论如下：(1)把这N条直线分成f(n) (2)这N条直线把平面分成(N2 N 2)/2个区域，解释：1。用数学归纳法证明几何问题，重点是当n=k=1时，把假设和几何知识结合起来处理命题。解决这个问题的关键是“找项”，即当几何元素从K变为k 1时，几何量将增加多少。常用的方法是加1:练习1:凸n边有f(n)条对角线，那么凸n-1边的对角线数是f(n)=f(n)_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，n-1，练习2:有k个平面通过一个点，其中任意三个平面或

9、三个以上平面不共享一条直线，其中k接着k 1个平面将空间分成f(k 1)=f(k)_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。2k(4)用数学归纳法证明不等式问题：例1，用数学归纳法证明：并证明：(1)当n=2时，left=不等式成立。有：也就是说，当n=k 1时，这个不等式适用于所有情况。例2证明了不等式：(1)当n=1，左侧=1，右侧=2时，不等式显然成立。(2)假设当n=1时，不等式也成立。根据(1)和(2)，原始不等式适用于所有正整数。例3证明了：(1)当n=2时，左侧=，右侧=，所以不等式成立。(2)如果n=k()，则命题成

10、立，即当n例4知道x 1，并且x0，n n和n2证明：(1 x)n1 NX。(2)如果n=k，则不等式成立，即(1 x)k1 kx有左侧=(1 x)k1=(1 x)k(1 x)(1 x)(1 x)1kx Right=1(k 1)x(因为x 1，所以x 0)是从kx20开始，然后向左和向右，即(1 x0) k 11 (k 1) x，也就是说，当n=k 1时，原来的不等式成立。根据(1)和(2)，原始不等式适用于任何不小于2的自然数n。证明了3360(。当1 2x21 2x=右n=2时，不等式成立。在实施例5，2中引用。当：在(N2，nn)过程中从“n=k”变为“n=k 1”时，左表达式中要添加的项数为()，(2)假设当n=k(k2)时不等式成立，即当n=k=1时，有33，360个不等式，即当n=