高一数学上学期期末复习 专题04 空间几何体、点线面的位置关系导学案

1、第四讲 空间几何体、点线面的位置关系一、基础知识整合1.简单多面体的结构特征(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等且平行的多边形；(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形；(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形.2.旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形任一边所在的直线圆锥直角三角形任一直角边所在的直线圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线球半圆直径所在的直线3.三视图(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.(2)三视图的画法基本要求：长对正，高平齐，宽相等.在画三视图时

2、，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线.4.直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴、y轴的夹角为45(或135)，z轴与x轴、y轴所在平面垂直.(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.5.多面体的表(侧)面积多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和.6.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧(

3、r1r2)l7.柱、锥、台和球的表面积和体积表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VSh锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底VSh台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下V(S上S下)h球S4R2VR38.平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.(2)公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.9.空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言aba相交关系图形语言符号语言abAaAl独有关系图形语言符号语言a，

4、b是异面直线a10.平行公理(公理4)和等角定理平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.11.异面直线所成的角(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)范围：.12.直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义；直线l与平面没有公共点，则称直线l与平面平行.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面a，b，aba性质定理一条直线和一个平面平行，则过这条

5、直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行a，a，bab13.平面与平面平行(1)平面与平面平行的定义；没有公共点的两个平面叫做平行平面.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行a，b，abP，a，b性质定理两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面，aa如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行，a，bab14.与垂直相关的平行的判定(1)a，bab. (2)a，a.15.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线l与平面内的任意直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直.(2)判定定理与性质

6、定理文字语言图形表示符号表示判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直l性质定理 两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行ab16.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直性质定理如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面l三、热点题型展示类型一空间几何体的结构特征【例1】 (1)给出下列命题：在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；

7、直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是()A.0 B.1C.2 D.3(2)以下命题：以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.其中正确命题的个数为()A.0 B.1C.2 D.3答案(1)A(2)B解析(1)不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形

8、，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.(2)由圆台的定义可知错误，正确.对于命题，只有平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，不正确.名师点睛：(1)关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可.(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系.(3)既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略.类型二空间几何体的三视图(多维探究)命题角度一由空间几何体的直观图判断三视图【例1】 一几何体的直观

9、图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()答案B解析该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此选项B适合.命题角度二由三视图判定几何体【例2】 (1) 如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A.三棱锥 B.三棱柱C.四棱锥 D.四棱柱(2)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为()A.1 B. C. D.2答案(1)B(2)C解析(1)由题知，该几何体的三视图为一个三角形、两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱，故选B.(2

10、)由题中三视图知，此四棱锥的直观图如图所示，其中PC平面ABCD，PC1，底面四边形ABCD为正方形且边长为1，最长棱长PA.名师点睛：(1)由实物图画三视图或判断选择三视图，按照“正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽”的特点确认.(2)根据三视图还原几何体.对柱、锥、台、球的三视图要熟悉.明确三视图的形成原理，并能结合空间想象将三视图还原为直观图.根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据.提醒对于简单组合体的三视图，首先要确定正视、侧视、俯视的方向，其次要注意组合体由哪些几何体组成，弄清它们的组成方式，特别应注意它们的交线的位置，区分好实线和虚线的不同.

11、【跟踪训练】 (1)将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为()(2)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个锥体的侧视图和俯视图，则该锥体的正视图可能是()答案(1)B(2)A解析(1)还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线，D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线.故选B.(2)由俯视图和侧视图可知原几何体是四棱锥，底面是长方形，内侧的侧面垂直于底面，所以正视图为A.类型三空间几何体的直观图【例1】 已知等腰梯形ABCD，上底CD1，腰ADCB，下底AB3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图ABC

12、D的面积为_.答案解析如图所示，作出等腰梯形ABCD的直观图：因为OE1，所以OE，EF，则直观图ABCD的面积S.名师点睛：(1)画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”(两坐标轴成45或135)和“二测”(平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴和z轴的线段长度不变)来掌握.对直观图的考查有两个方向，一是已知原图形求直观图的相关量，二是已知直观图求原图形中的相关量.(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图S原图形.【跟踪训练】有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，ABC45，ABAD1，DCBC，则

13、这块菜地的面积为_.答案2解析如图1，在直观图中，过点A作AEBC，垂足为E.在RtABE中，AB1，ABE45，BE.又四边形AECD为矩形，ADEC1.BCBEEC1.由此还原为原图形如图2所示，是直角梯形ABCD.在梯形ABCD中，AD1，BC1，AB2.这块菜地的面积S(ADBC)AB22.【易错防范】1.台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点.2.空间几何体不同放置时其三视图不一定相同.3.对于简单组合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，易忽视实虚线的画法.类型四 空间几何体的表面积与体积【例1】 (1)某几何体的三视图如

14、图所示，则该几何体的表面积等于()A.82 B.112C.142 D.15(2)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是()A.17 B.18C.20 D.28答案(1)B(2)A解析(1)由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示.直角梯形斜腰长为，所以底面周长为4，侧面积为2(4)82，两底面的面积和为21(12)3.所以该几何体的表面积为823112.(2)由三视图知该几何体为球去掉了球所剩的几何体(如图).设球的半径为R，则R3，R2.故几何体的表面积S4R2R217 .【例2】一个由半球和四棱锥组

15、成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为()A. B.C. D.1答案C解析由三视图知该四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为，从而该几何体的体积为121.名师点睛：1.空间几何体表面积的求法.(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.2.空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解.(2)若所给定的几何体的

16、体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.【跟踪训练】1.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多 面体的三视图，则该多面体的表面积为()A.1836 B.5418C.90 D.81答案B解析由几何体的三视图可知，该几何体是底面为正方形的斜平行六面体.由题意可知该几何体底面边长为3，高为6，所以侧棱长为3.故该几何体的表面积S322(36)2(33)25418.2.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是_cm3.答案解析：由三视图可知该几何体是

17、由棱长为2 cm的正方体与底面边长为2 cm正方形、高为2 cm的正四棱锥组成.又正方体的体积V1238(cm3)，正四棱锥的体积V2222(cm3).所以该几何体的体积VV1V2(cm3).类型五异面直线所成的角【例1】如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是AC的中点，AA1AB1，则异面直线AB1与BD所成的角为_.答案60解析(1)取A1C1的中点E，连接B1E，ED，AE，在RtAB1E中，AB1E为异面直线AB1与BD所成的角.设AB1，则A1A，AB1，B1E，故AB1E60.名师点睛： (1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线

18、平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移.(2)求异面直线所成角的三个步骤作：通过作平行线，得到相交直线的夹角.证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角.求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.【跟踪训练】 如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中， AA12AB2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A. B.C. D.答案D解析连接BC1，易证BC1AD1，则A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角.连接A1C1，由AB1，AA12，则A1C1，A1BBC1

19、，在A1BC1中，由余弦定理得cosA1BC1.【易错防范】1.异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交.2.直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”.3.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.类型六直线与平面平行的判定与性质命题角度一直线与平面平行的判定【例1】如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点.(1)证明：MN平面PAB；(2

20、)求四面体NBCM的体积.(1)证明由已知得AMAD2.如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TNBC，TNBC2.又ADBC，故TN綉AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.(2)解因为PA平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为PA.如图，取BC的中点E，连接AE.由ABAC3得AEBC，AE.由AMBC得M到BC的距离为，故SBCM42.所以四面体NBCM的体积VNBCMSBCM.命题角度二直线与平面平行性质定理的应用【例2】 如图，四棱锥PABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均

21、为2. 点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH平面ABCD， BC平面GEFH.(1)证明：GHEF；(2)若EB2，求四边形GEFH的面积.(1)证明因为BC平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC平面GEFHGH，所以GHBC.同理可证EFBC，因此GHEF.(2)解如图，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.因为PAPC，O是AC的中点，所以POAC，同理可得POBD.又BDACO，且AC，BD都在底面ABCD内，所以PO底面ABCD.又因为平面GEFH平面ABCD，且PO平面GEFH，所以PO平面GEFH.因为平面PBD平面GEF

22、HGK，PO平面PBD.所以POGK，且GK底面ABCD，又EF平面ABCD，从而GKEF.所以GK是梯形GEFH的高.由AB8，EB2得EBABKBDB14，从而KBDBOB，即K为OB的中点.再由POGK得GKPO，即G是PB的中点，且GHBC4.由已知可得OB4，PO6，所以GK3.故四边形GEFH的面积SGK318.名师点睛：(1)判断或证明线面平行的常用方法有：利用反证法(线面平行的定义)；利用线面平行的判定定理(a，b，aba)；利用面面平行的性质定理(，aa)；利用面面平行的性质(，a，aa).(2)利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位

23、线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.（3）.线线、线面、面面平行间的转化其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化.【易错防范】1.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.2.面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件.3.如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交.4.运用性质定理，要遵从由“高维”到“低维”，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”.类型六线面垂直的判定与性质【例1】 如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，

24、PAABBC，E是PC的中点.证明：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.证明(1)在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD，又ACCD，且PAACA，CD平面PAC.而AE平面PAC，CDAE.(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中点，AEPC.由(1)知AECD，且PCCDC，AE平面PCD.而PD平面PCD，AEPD.PA底面ABCD，AB平面ABCD，PAAB.又ABAD，且PAADA，AB平面PAD，而PD平面PAD，ABPD.又ABAEA，PD平面ABE.名师点睛：(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：判定定理；垂直于平面的传递性(a

25、b，ab)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质(，a，la，ll).(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.【跟踪训练】如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且ADDB，点C为圆O上一点，且BCAC，PD平面ABC，PDDB.求证：PACD.证明因为AB为圆O的直径，所以ACCB.在RtABC中，由ACBC得，ABC30.设AD1，由3ADDB得，DB3，BC2.由余弦定理得CD2DB2BC22DBBCcos 303，所以CD2DB2BC2，即CDAB. 因为PD平面ABC，C

26、D平面ABC，所以PDCD，由PDABD得，CD平面PAB，又PA平面PAB，所以PACD.类型七面面垂直的判定与性质【例1】如图，三棱台DEFABC中，AB2DE，G，H分别为AC，BC的中点.(1)求证：BD平面FGH；(2)若CFBC，ABBC，求证：平面BCD平面EGH. 证明(1)连接DG，CD，设CDGFM，连接MH.在三棱台DEFABC中，AB2DE，G为AC中点，可得DFGC，且DFGC，则四边形DFCG为平行四边形.从而M为CD的中点，又H为BC的中点，所以HMBD，又HM平面FGH，BD平面FGH，故BD平面FGH.(2)连接HE，因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH

27、AB.由ABBC，得GHBC.又H为BC的中点，所以EFHC，EFHC，因此四边形EFCH是平行四边形，所以CFHE.又CFBC，所以HEBC.又HE，GH平面EGH，HEGHH，所以BC平面EGH.又BC平面BCD，所以平面BCD平面EGH.名师点睛：1.证明线面垂直的方法：(1)线面垂直的定义：a与内任何直线都垂直a；(2)判定定理1：l；(3)判定定理2：ab，ab；(4)面面垂直的性质：，l，a，ala；2.证明面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a，a.3.转化思想：垂直关系的转化【跟踪训练】 如图，在三棱锥PABC中，平面PAB平面A

28、BC，PAPB，M，N分别为AB，PA的中点.(1)求证：PB平面MNC；(2)若ACBC，求证：PA平面MNC.证明(1)因为M，N分别为AB，PA的中点，所以MNPB.又因为MN平面MNC，PB平面MNC，所以PB平面MNC.(2)因为PAPB，MNPB，所以PAMN.因为ACBC，AMBM，所以CMAB.因为平面PAB平面ABC，CM平面ABC，平面PAB平面ABCAB.所以CM平面PAB.因为PA平面PAB，所以CMPA.又MNCMM，所以PA平面MNC.【易错防范】1.证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件.2.面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视.3.面

29、面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误.4.在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的相互转化.四、强化训练提高1.如图所示的几何体是棱柱的有()A. B.C. D.解析由棱柱的定义知两个几何体是棱柱.答案C2.将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()解析易知侧视图的投影面为矩形，又AF的投影线为虚线，即为左下角到右上角的对角线，该几何体的侧视图为选项D.答案D3.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱

30、的长度为()A.6 B.4C.6 D.4解析如图，设辅助正方体的棱长为4，三视图对应的多面体为三棱锥ABCD，最长的棱为AD6.答案C4.在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)，给出编号的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()A.和 B.和C.和 D.和解析如图，在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为，俯视图为.答案D5.如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为平行四边形，NB2PN，则三棱锥NPAC与三棱锥DPAC的体积比为()A.12 B.18C.16 D.13解析设点

31、P，N在平面ABCD内的投影分别为点P，N，则PP平面ABCD，NN平面ABCD，所以PPNN，则在BPP中，由BN2PN得.V三棱锥NPACV三棱锥PABCV三棱锥NABCSABCPPSABCNNSABC(PPNN)SABCPPSABCPP，V三棱锥DPACV三棱锥PACDSACDPP，又四边形ABCD是平行四边形，SABCSACD，.故选D.答案D6.下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB平面MNP的图形的序号是()A. B.C. D.解析中，易知NPAA，MNAB，平面MNP平面AAB，可得出AB平面MNP(如图).中，NPAB，能得出

32、AB平面MNP.在中不能判定AB平面MNP.答案B7.已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是()A.若m，n，则mn B.若m，n，则mnC.若m，mn，则n D.若m，mn，则n解析若m，n，则m，n平行、相交或异面，A错；若m，n，则mn，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B正确；若m，mn，则n或n，C错；若m，mn，则n与可能相交，可能平行，也可能n，D错.答案B8.如图，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是()A.BC平面PDF B.DF平面PAEC.平面PDF平面PAE D.平面PDE平面ABC解析因为BC

33、DF，DF平面PDF，BC平面PDF，所以BC平面PDF，故选项A正确.在正四面体中，AEBC，PEBC，AEPEE，BC平面PAE，DFBC，则DF平面PAE，又DF平面PDF，从而平面PDF平面PAE.因此选项B，C均正确.答案D9.如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把ABD和ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：BDAC； BAC是等边三角形；三棱锥DABC是正三棱锥； 平面ADC平面ABC. 其中正确的是()A. B. C. D.解析由题意知，BD平面ADC，且AC平面ADC，故BDAC，正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD平面A

34、CD，所以ABACBC，BAC是等边三角形，正确；易知DADBDC，又由知正确；由知错.答案B10. 一水平放置的平面四边形OABC，用斜二测画法画出它的直观图OABC如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC面积为_.解析因为直观图的面积是原图形面积的倍，且直观图的面积为1， 所以原图形的面积为2. 答案211.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1， C1C的中点，有以下四个结论：直线AM与CC1是相交直线； 直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线； 直线MN与AC所成的角为60.其中正确的结论为_(填序号).解析A，M，C

35、1三点共面，且在平面AD1C1B中，但C平面AD1C1B，C1AM，因此直线AM与CC1是异 面直线，同理AM与BN也是异面直线，错；M，B，B1三点共面，且在平面MBB1中，但N平面 MBB1，BMB1，因此直线BN与MB1是异面直线，正确；连接D1C，因为D1CMN，所以直线MN 与AC所成的角就是D1C与AC所成的角，且角为60.答案12.已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为_.解析依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径，可设球半径为R，则2R2， 解得R1，所以VR3.答案13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_.解析由三视图可

36、知，该几何体是一个底面半径为1，高为2的圆柱和底面半径为1， 高为1的半圆锥拼成的组合体.体积V122121.答案 14.如图，已知PA平面ABC，BCAC，则图中直角三角形的个数为_.解析PA平面ABC，AB，AC，BC平面ABC， PAAB，PAAC，PABC，则PAB，PAC为直角三角形.由BCAC， 且ACPAA，BC平面PAC，从而BCPC，因此ABC，PBC也是直角三角形.答案415.如图所示，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1， D1D， DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足 条件_时，就有MN平面B

37、1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可， 不必考虑全部可能情况)解析连接HN，FH，FN，则FHDD1，HNBD， 平面FHN平面B1BDD1，只需MFH，则MN平面FHN，MN平面B1BDD1.答案点M在线段FH上(或点M与点H重合)16.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可).解析由定理可知，BDPC.当DMPC(或BMPC)时，有PC平面MBD. 又PC平面PCD，平面MBD平面PCD.答案DMPC(或BMPC等)17.已知一个几何体的三视图如图所示. (1

38、)求此几何体的表面积；(2)如果点P，Q在正视图中所示位置，P为所在线段中点，Q为顶点，求在几何体表面上，从P点到Q点的最短路径的长.解(1)由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和.S圆锥侧(2a)(a)a2，S圆柱侧(2a)(2a)4a2，S圆柱底a2，所以S表a24a2a2(5)a2.(2)沿P点与Q点所在母线剪开圆柱侧面，如图.则PQa，所以从P点到Q点在侧面上的最短路径的长为a.18.如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA底面ABCD，OA2，M为OA的中点.(1)求四棱锥OABCD的体积；(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值.解(1)由已知可求得正方形ABCD的面积S4，所以四棱锥OABCD的体积V42.(2)如图，连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE，又M为OA中点，MEOC，则EMD(或其补角)为异面直线OC与MD所成的角，由已知可得DE，EM，MD，