拉普拉斯积分变换

1、1, 拉普拉斯(Laplace)积分变换,2,1 拉氏变换的概念,定义 设函数,当,时有定义，而且积分,（s是一个复参量）,在s的某一域内收敛，则由此积分所确定的函数,称为函数,的拉普拉斯变换式（简称拉氏变换式）,记为,F(s)称为,的拉氏变换（或称为象函数）。,一、拉氏变换,3,若F(s)是,的拉氏变换，则称,为F(s)的拉,氏逆变换（或称为象原函数），记为,可以看出，,的拉氏变换，实际上就是,的傅氏变换。,4,例1 求单位阶跃函数,的拉氏变换。,解 由拉氏变换的定义,此积分在,时收敛，且,所以,5,例2 求指数函数,的拉氏变换（k为,解,积分在,时收敛，且有,所以,实数）。,6,2. 拉氏

2、变换的存在定理,可以看出，拉氏变换存在的条件要比傅氏变换存在的条件弱得多。对于一个函数，满足什么条件时，它的拉氏变换一定存在呢？,7,当,时，,的增长速度不超过某一指数函,，使得,成立（满足此条件的函数，称它的增大是指数级,的，c为它的增长指数）。,拉氏变换的存在定理 若函数,满足下列条件：,在,的任一有限区间上分段连续；,数，亦即存在常数M0及,8,则,的拉氏变换,在半平面,上一定存在，右端的积分在,上绝对收敛而且一致收敛，,并且在,的半平面内，,为解析函数。,9,例3 求正弦函数,（k为实数）的拉,解,同样可得余弦函数的拉氏变换：,氏变换。,10,例6 求单位脉冲函数,的拉氏变换。,利用性

3、质：,，有,解,11,例7 求函数,的拉氏变换。,解,在实际工作中，求函数的拉氏变换可通过拉氏变换表查得。,12,3拉氏变换的性质,为了叙述方便起见，假定要求拉氏变换的函数都满足拉氏变换存在定理中的条件，并且把这些函数的增长指数都统一地取为c。以下均设,13,a. 线性性质 若,是常数，则有,根据定义，利用积分性质就可推出这个性质。,此性质表明：函数线性组合的拉氏变换等于各函数拉氏变换的线性组合。,14,b 微分性质,证 由定义并利用分部积分法得,这个性质表明：一个函数求导后取拉氏变换等于这个函数的拉氏变换乘以参变数s，再减去函数的初值。,15,推论:,特别，当初值,时，有,此性质使我们有可能

4、将,的微分方程转化为F(s)的,代数方程，因此它对分析线性系统有着重要的作用。,16,例 求函数,的拉氏变换。,解 由于,由微分性质有,即,移项化简得,17,例 求函数,的拉氏变换，其中m是正整数,解 由于,而,所以,18,即,而,所以,由拉氏变换存在定理，可得到象函数的微分性质：,一般地，有,19,例 求函数,的拉氏变换。,解 因为,根据象函数的微分性质,同理可得，,20,c积分性质,证 设,，则有,，且,由微分性质，有,即,这个性质表明：一个函数积分后再取拉氏变换等于这个函数的拉氏变换除以复参数s。,21,重复应用积分性质可得：,此外，由拉氏变换存在定理，还可以得到象函数 的积分性质：,或

5、,一般地，有,22,例 求函数,的拉氏变换。,解 因为,据象函数的积分性质可知,23,其中,这一公式，常用来计算某些积分。,存在，在象函数的积分性质公式中取s = 0，则有,如果积分,24,例 求积分,解 因为,且,所以,25,d位移性质 若,，则有,证,上式右方只是在,中把s换成,，所以,这个性质表明：一个象原函数乘以指数函数,eat的拉氏变换等于其象函数作位移a。,26,例 求,解 因为,利用位移性质，可得,27,例 求,解 因为,由位移性质得,28,5. 延迟性质 若,，又,时,则对于任一非负实数,有,或,证,29,由于,时，,，所以上式右端第一,个积分为零。对于第二个积分，令,，则,3

6、0,函数,与f(t)相比，f(t)是从t = 0开始有非零数值，,而,是从,开始才有非零数值，即延迟了一个,时间,。从它们的图象来讲，,的图象是由f(t)的,图象沿t 轴向右平移距离而得。,象函数乘以指数因子,。,这个性质表明，时间函数延迟,的拉氏变换等于它的,31,例 求函数,的拉氏变换。,解 由于,根据延迟性质，有,32,二、拉氏逆变换,在实际应用中常会碰到的问题是：已知象函数,求它的象原函数f(t)。,由拉氏变换的概念可知，函数 的拉氏变换就是 的傅氏变换。,33,于是，当,满足傅氏积分定理的条件时，,按傅氏积分公式，在,连续点处有:,34,等式两边乘以 ，并考虑到它与积分变量 无关，则

7、,令 ，有,这就是从象函数F(s)求它的象原函数f(t)的一般公式，右端的积分称为拉氏反演积分。,35,此公式是一个复变函数的积分，通常计算起来 比较困难，但当F(s)满足一定条件时，可以用 留数学方法来计算这个反演积分，特别当F(s) 为有理函数时更为简单。,36,定 理,若 是函数 的所有奇点（适当选取 使这些奇点全在 的范围内），且当 时， ，则有,即,37,例1：求,的逆变换。,解 : F(s)有两个一级极点,由拉氏反演积分公式得,38,例2： 求,的逆变换。,解: s=0 为一级极点，s=1为二级极点，拉氏反演积 分公式得,39,例3： 求,的逆变换。,解 : 利用部分分式的方法将F

8、(s)化成,所以,40,卷 积,拉氏变换的卷积性质，不仅被用来求某些函数的逆变换及一些积分值，而且在线性系统的分析中起着重要的作用。,41,1. 卷积的概念,傅氏变换中两个函数的卷积是指,在拉氏变换中函数 如果都满足条件：当t0时，,则上式可写成,今后如不特别声明，都假定这些函数在t0时恒为零。,42,例1 求函数 和 的卷积， 即求 。,解：根据定义得：,43,卷积的性质：,44,2. 卷积定理,假定 ， 满足拉氏变换存在定理中的条件， 且 ，则 的拉 氏变换一定存在，且,或,45,推论,若 满足拉氏变换存在定理中 的条件，且 ，则有,在拉氏变换的应用中，卷积定理起着十分重要的作用。下面举例

9、说明它在求函数的逆变换中的应用。,46,例2 设 ，求f(t)。,解:,令,则,根据卷积定理和例1得,47,例3 设 ，求f(t)。,解：,所以,48,例4 设 ，求f(t)。,解：,根据位移性质，,所以,49,50,微分方程的拉氏变换解法,利用拉氏变换的线性性质和微分性质来解常微分方程，其方法是先取拉氏变换把微分方程化为象函数的代数方程，根据这个代数方程求出象函数，然后再对象函数取逆变换就得出原来微分方程的解。解法的的过程如下图所示。,51,52,例1 求方程 的解。 满足初始条件,解: 设Ly(t)=Y(s)。在方程两边取拉氏变换，并 考虑到初始条件，得,这是含未知量Y(s)的代数方程，整理后解 出Y(s)，得所求函数的拉氏变换,53,取它的逆变换便可以得出所求函数y(t)。,取逆变换得到所求微分方程的解,54,例2 求方程组