高三数学 直线、平面、简单几何体（二）教案同步教案 新人教A版

1、 第九章 直线、平面、简单几何体（二）本讲重点9.4直线与平面垂直的判定和性质9.5两个平面平行的判定和性质9.6两个平面垂直的判定和性质学习指导1直线和平面垂直的判定（1）如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。（2）两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。（3）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则这条直线也垂直于另外一个平面。（4）若两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于这两个平面交线的直线垂直于另外一个平面。2直线与平面垂直的性质（1）如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。（2）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条

2、直线垂直于这个平面内的所有直线。3两个平面平行的判定（1）如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。（2）同垂直于一条直线的两个平面平行。（3）同平行于一个平面的两个平面平行。4两个平面平行的性质（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面（2）如果两个平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。5面面垂直的判定（1）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（2）利用二面角的大小为90加以判定。6三垂直定理及其逆定理（1）三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这个斜线垂直。（2）三垂线

3、定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么这也和这条斜线的射影垂直。7射影定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；（3）垂线段比任何一条斜线段都短。8最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线段和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角。9掌握直线与平面所成角的定义及其范围，如图所示：平面，有，在解选择、填空题时可以加快解题速度。10掌握二面角、二面角的平面角的定义及其范围，掌握求解二面角的一般方法：利用三垂线定理及其逆定理作出二面角的平面角；证明

4、所作的角为二面角的平面角；解，求出平面角的大小；下出结论。另外，利用面积射影定理：来求解，也能提高解题速度，其中为二面角的平面角，分母是平面图形的面积，分子是比平面图形在二面角的另一个面内的射影的面积。11常见的几何结论：（1）如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上。另外，此结论的条件改为平面外一点与角的顶点的连线与角的两边所成的角相等，结论依然成立。（2）两个平面同时垂直于第三个平面，那么这两个平面有交线的话，这条交线与第三个平面垂直。（3）设是任一平面，点P是空间任一点，则过点P有且只有一条直线是的垂线；设是任一直线，点P是空间任一点，则过点

5、P有且只有一个平面是的垂面。（4）若两个平面互相垂直，那么一个平面内垂直于另外一个平面的直线必在这个平面内。12本讲主要要求学生灵活掌握线面垂直、线线垂直、面面垂直、面面平行的判定及性质定理，并加以灵活运用，要牢记定理及常见的几何结论，拓宽知识面，培养思维的敏捷性和发散性。例题选讲例1如图，PO是平面的斜线，O是斜足，于A，BC是内过点O的直线，若是锐角，则有A B C D解：过A作于D，连结PD ， 平面PAD， 设， ， 是平面的斜线，是锐角 又、都是锐角 ， 故应选（C）。注：结论“”应熟练掌握，在解题时有着广泛的应用，从上述结论容易证得：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内的直线所成

6、的一切角中最小角。例2在正方体中，求BD与平面所成的角。解：连结，（法一）设，连结PO，过B作于。平面平面 平面 斜线BD在平面上的射影为DE，斜线BD与平面所成的角为。 在直角梯形中，容易求得与平面所成的角为。注：求斜线与平面所成的角一般有三个步骤：（1）求出斜线在给定平面内的射影；（2）指出并论证斜线与平面所成的角是哪一个角；（3）在含有斜线与平面所成的角的三角形中，利用平面几何或三角函数知识求出这个角。以上三个步骤中，第一步是关键。解法二、在正方体中，由对称性可知：斜线BD在平面内的射影是的角平分线DO，即为斜线与平面所成的角。同法一，解得。例3已知 ABCD中，将它没对角线AC折成的二

7、面角。求（1）B、D两点间的距离； （2）线段BD与平面ABC所成的角； （3）二面角DABC的大小。 解：（1）在平面ABC内过点C作CE/AB 又，则是二面角DACB的平面角 ，异面直线AB和CD所成的角为，且AC是异面直线AB和CD的公垂线 即B、D点的距离为。（2），平面CDE 平面ABC 平面平面CDE作于F，连BF 则平面ABC 为线段BD与平面ABC所成的角 在直角中，在直角中， 线段BD与平面ABC所成的角为（3）在平面ABC内过点F作于G，连DG 平面ABC （三垂线定理）在直角中， 二面角DABC的大小为 例4在正方体中，E、F分别是、的中点。（1）证明（2）求AE与D1F

8、所成的角；（3）证明面AED面A1FD1（1）证明：是正方体 面DC1，又面 （2）解：取AB的中点G，连A1G、FG F上CD的中点 GFAD； 又A1D1AD，GFA1D1GFD1A1是平行四边形 A1G/D1F 设A1G与AE相交于点H，则AHA1即为AE与D1FFG所成的角。E是BB1的中点 即直线AE与DF所成的角为直角（3）证明：由（1）可知ADD1F 由（2）知AED1F 又ADAE=A D1F面AED 而D1F面A1FD面AED面A1FD例5已知二面角为，点A和点B分别在平面和平面内，点C在棱PQ上， （1）求证：ABPQ；（2）求点B到平面的距离；（3）设R是线段CA上的一点

9、，直线BR与平面所成角的大小为，求线段CR的长度。（1）证：在平面内作BDPQ于D，连AD。 BCDACD，且CACBa，CDCD BCDACDADPQ 于是PQ平面ABD ABPQ（2）解：BDPQ，ADPQ ADB为二面角的平面角， 在中，BCa 过B作BHAD于H PQ平面ABD 平面ABD平面，于是点B到平面的距离（3）解：连HR 是BR与平面所成的角， 在中，ADAB， 为正三角形，在中，ACBCa，由余弦定理得在BCR中，设CRx，由余弦定理得 即即 解之得（不合）或 的长为巩固与练习一、 选择题：1设a、b、c是空间的三条直线，下面给出四个命题：若ab，bc，则a/c；若a、b是

10、异面直线，b、c是异面直线，a、c也是异面直线；若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面；其中真命题的个数是（ ）A3 B2 C1 D02二面角的平面角是锐角，C是面内的一点（不在棱AB上），点D是点C在面内的射影，点E是棱AB上满足CEB为锐角的任意一点，则（ ）ACEBDEB BCEBDEB CCEBDEB DCEB与DEB的大小关系不确定3E、F分别是正三角形ABC边AB、AC的中点，以EF为棱折成角二面角AEFBC，这时设，下面结论成立的是（ ）A B C D二、填空题4A是直二面角的棱上的一点，两条长均为a的线段AB、AC分别在面、内，且与均成角，则BC的长为 。5在ABC中，AC3，BC4，CD是ACB的平分线，沿CD把ACD折起，使平面ACD平面BCD，这时AB与平面BCD所成角的正切值为 。6在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABa，ADAA1b，P是棱AB上的一点，则A1PPC的最小值为 。三、解答题7设ABC和DBC所在的两平面互相垂直，且ABBCBD，求：（1）AD与平面BCD所成的角；（2）AD与BC所成的角；（3）二面角ABDC的大小。8设S是所在平面外的一点，SASBSC，当平面SAB平面ABC时，求证：。9直角三角形ACB中，ABBC，E在AC上，过E作EF/BC交AB于F