高三数学大一轮复习讲义 2.6对数与对数函数 理 新人教A版

1、2.6对数和对数函数2014高考会是这样调查1 .对数函数的图象，性质2 .对数方程式或者不等式的求解3 .关于对数函数的复合函数复习备注1 .函数定义域的限制及基数与1的大小关系对函数性质的影响留心2 .熟练掌握对数函数的图像、性质，明确复合函数的结构及与对数函数的关系1 .对数概念如果ax=N(a0且a1 )，则函数x被称为以a为底数n的对数，并表示为x=logaN，其中，_a_称为对数的底数，_N_称为真数。2 .对数的性质和算法(1)对数的算法如果a0且a1、M0、N0loga(MN)=logaM logaN； loga=logaM-logaN；日志amn=日志am (n-r )； l

2、ogamMn=logaM。(2)对数的性质语言=_ _ _； logaan=_ _ _ (a 0且a1 )。(3)对数的重要公式换底式： logbN=(a、b都大于零不等于1 )；推进logab=、logablogbclogcd=logad。3 .对数函数的形象和性质a101时为y001时为y0当00在(6)(0，)中是增函数在(7)(0，)中是减函数4 .反函数指数函数y=ax和对数函数y=logax是相互反函数，这些图像关于直线_y=x_对称.难点原本疑点清源1 .对数值取正、负值的规则a1且b1或00的情况a1且01时为logab02 .对数函数的定义域和单调性对数函数y=logax的定

3、义域是x|x0 .对数函数的单调性应该和a的值有关，所以研究对数函数的单调性时用01进行分类讨论3 .关于对数值的大小比较(1)同底化后利用函数的单调性(二)出差商法(3)利用中间量(0或1 )(4)同真数化后，使用图像进行比较。1. (2011 )江苏函数f(x)=log5(2x 1)的单调递增区间为答案解析函数f(x )的定义域，假设t=2x 1 (t0)。y=log5t在t(0，)时为增函数，在t=2x 1时为增函数，因此为函数数y=log5(2x 1)的单调增加区间为。2 .如果函数y=loga(x 3)-1 (a0且a1 )的图像通过点a，且点a为直线mx ny 1=0(其中，mn0

4、)，则其最小值为。答案8分析y=loga(x 3)-1 (a0且a1 )的图像通过点A(-2，-1)，A(-2，-1)位于直线mx ny即，2m n=1。(2m n )=442=8，且仅在4m2=n2情况下取等号.安徽，安徽，安徽，安徽，安徽A. B. C.2 D.4答案d解析方法一原式=4方法二原式=2log23=22=4。如果已知a=log23 log2，b=log29-log2，c=log32，那么a、b、c的大小是关闭的负责人是()阿尔巴尼亚足球俱乐部阿卜杜勒答案b分析a=log23 log2=log23，b=log29-log2=log23，a=b。另外函数y=logax(a1)为增

5、加函数，a=日志23日志22=1，c=日志32 c。5 .如果(2011安徽)点(a，b )在y=lg x图像上，a1，则下一个点也在该图像上是()A. B.(10a、1-b )c.d.(a2、2b )答案d分析从点(a，b )可知在y=lg x图像上，b=lg a。对于a、点，在x=的情况下，y=lg=-lg a=-bb，不在图像上。相对于b，点(10a，1-b )在x=10a时，没有y=lg(10a)=lg 10 lg a=1 b1-b大象上。相对于c，点在x=时，y=lg=1-lg a=1-bb 1而不在图像上。对于点(a 2，2 b )，当x=a2时，y=lg a2=2lg a=2b，

6、这一点在这张图片上问题型一对数公式的运算例1如下进行修正计算(1)lg 25 lg 2lg 50 (lg 2)2。(2)；(3) (日志32日志92 ) (日志43日志83 )。思想启发： (1)lg 2lg 50不能直接简化，公因子lg 2.(2)将方根符号下分配为完全平方的形式，可以考虑打开方根符号。解(1)原式=(lg 2)2 (1 lg 5)lg 2 lg 52=(lg2 lg5 1)lg2 2lg5=(1 1)lg2 2lg5=2(lg 2 lg 5)=2。(2)原式=-。(3)原式=。(1)在对数运算中，利用平方的运算来变形底数或真数，化成分数指数的平方形式，使平方的底数为最简单，

7、然后利用对数运算的归一化简并性来在运算中留心同底或指数与对数的相互化(2)熟练运用对数的三种运算性质，配合代数式恒等变形，是对数修正、简化、证明常用的技术评价： (1)； (2)二合五合二。(3)lg -lg lg标准。解(1)原式=.原式=(lg 5)2 lg(105)lg=(lg 5)2 (1 lg 5)(1-lg 5)=(lg 5)2 1-(lg 5)2=1。(3)原式=lg -lg 4 lg(7)=lg=lg=。题型2对数函数的图象与性质例f(x )是被定义为(-、)的偶函数，在(-，0 )是增函数，设a=f(log47 )，b=f (日志3 )、c=f(0.2-0.6)、a、b、c的

8、大小关系为()A.c=2log49，另外f(x )是定义为(-，)的偶函数，(-，因为在0 )中是增函数，所以f(x )以0，)单调减少，f(0.2-0.6)0且a1 )的图像超过2点(-1，0 )指的是什么？答案2 2分析f(x )的图像有两点(-1，0 )和超过(0，1 )。f(-1)=loga(-1 b)=0且f(0)=loga(0 b)=1，也就是说。题型三对数函数的综合应用例3已知的函数f(x)=loga(3-ax )。对于(1) x- 0，2 ，函数f(x )总是有意义的，并且获得实数a的可取值的范围。(2)存在这样的实数a，以使得函数f(x )在区间 1，2 中为减函数、并且最大

9、值为1？ 如果存在，请试着求a的值如果不存在，请说明理由思考启发： f(x )总是有意义地转换为“恒成立”问题，分离实数a来调查是否存在解决的a可以从单调性开始设解(1)a0且a1、y=3-ax，则y=3-ax为减函数，在x- 0，2 时，t的最小值为3在-2a、x-0、2和f(x )总是有意义的情况下，即，在x-0、2的情况下，3-ax0总是成立的。3-2 a0.另外，a0且a1、a-(0，1 )。(2)t=3-ax，函数t(x )是关减函数字，f(x )在区间 1，2 中为减函数，y=logat是一个增函数，在a 1、x- 1，2 的情况下，t(x )的最小值为3-2a，f(x )的最大值

10、为f(1)=loga(3-a )，即，不存在探索解决对数函数综合问题的方法可以讨论函数的性质，也可以利用函数的性质(1)函数的底数a-(1，1 )还是a-(1，)；(2)要确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质和利用函数的什么性质，都必须按其定义域进行(3)需要对函数解析式进行变形时，必须保证等价性。 否则结论就错了已知f(x)=log4(4x-1 )。求(1)f(x )的定义域(2)研究2)f(x )的单调性(3)求3)f(x )的区间上的值域解(1)从4x-10得到x0。f(x )的定义域为x|x0。设为(2)00且a1。求证据： (1)函数f(x )的图像总是在y轴的一侧(2)函数f(

11、x )连接图像上任意两点的线的倾斜度大于0。为了证明审查问题的视角(1)f(x )的图像始终在y轴的一侧，f(x )的自变量可以是(0，)或(-，在(2)f(x )中任意取两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，证明k=0即可。规范解答证明(从ax-10到ax1，1分在a1的情况下，x0，即函数f(x )的定义域为(0，)，此时的函数f(x )的图像总是位于y轴的右侧3点在01的情况下，从(1)可知00.9分在0ax21的情况下，ax1-1ax2-10.10分1、y1-y20 .还有x1-x20、k0。连接函数f(x )图像上任意两点的线的斜率大于0说到温暖的注意数形结合思想，我们更想以“形”

12、来帮助“数”来解决问题。本问题用“数”来说明“形”的问题，同样体现了数形结合的思想找不到证明问题的切入点.像第(1)的问题那样，不知道如何寻求其定义域.不能正确地进行分类讨论对数或指数的基数包含残奥表，一般进行分类讨论方法和技巧1指数表达式ab=N和对数表达式logaN=b的关系以及这些个两种形式的相互转化是对数算法的关键2 .比较多个对数函数图像的底数的大小的问题可以通过图像与直线y=1的升交点的横坐标来判定决定。3 .留心对数恒等式、对数底变换等式和等式logambn=logab、logab=解题中的灵活应用失误与防范在运算性质logaMn=nlogaM中，特别注意条件，没有M0的条件，logaMn=nloga|M|(