高三数学大一轮复习讲义 7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题划问题 理 新人教A版

1、7.3二元一次不等式(组)和简单线性修正规划问题2014高考会因此使用1 .检查由二维一次不等式组表示的区域面积和目标函数的最大值(或可能的值的范围)2.检查目标函数的残奥仪表的可能的值的范围3 .线性校正方法来校正解决实际问题的最佳方案复习备考必须这样做1 .掌握确定平面区域的方法(线边界、点定域)2.理解目标函数的几何意义，掌握解决线性修正图像问题的方法(图解法)，留心线性修正图像问题和其他知识的综合1 .由二维一次不等式表示的平面区域(1)一般来说，二次元一次不等式Ax By C0表示在平面正交坐标系中由直线Ax By C=0的任一方的点构成的平面区域，用虚线描绘直线表示包含边界直线，在

2、坐标系中用不等式ax by c0表示(2)对于与直线Ax By C=0相同一侧的所有点(x，y )，将其坐标(x，y )代入Ax By C中而获得的实数符号相同，因此只要在该直线的任意一侧取特殊的点(x，y )即可2 .与线性修正计划有关的概念名字意思限制条件由变量x、y组成的不等式线性约束由x、y的一次不等式(或方程式)组成的不等式组营销对象函数求最大值或最小值的函数线性营销对象函数关于x、y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解可执行结构域所有可能的解的集合最佳解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题线性约束条件下求线性目标函数最大值或最小值的问题3 .应用程序使用线性修正图求最

3、大值，用图解法求解，请按照以下步骤进行(1)在平面直角坐标系内制作可执行区域(2)考虑目标函数的几何意义，变形目标函数；(3)最佳解的决定：目标函数变形后的直线在可执行领域内平行移动，决定最佳解。(4)求出最大值：通过将最佳解代入目标函数，可以求出最大值或最小值。难点原本疑点清源1 .确定二次元一次不等式表示平面区域的方法和技巧在确定二维一次不等式表示的平面区域的情况下，经常采用直线边界、特殊点定域的方法2 .求二元一次函数z=ax by(ab0 )的最大值，将函数z=ax by变换为直线的斜截面式： y=-x，通过求直线的截距的最大值而间接地求z的最大值的截距取最小值时，z也取最小值的b0时

4、，截距取最大值时，z为1 .如果点(1，3 )和(-4，-2)位于直线2x y m=0的两侧，则m的可取值范围为答案-50解析平面区域的界限线方程式为=1即，由于x y-1=0，所以平面区域满足不等式x y-10战斗机。3 .完成室内装修工程必须由木工和瓦工共同完成。 木工人均50元，瓦工人均40元，现有工人的工资概预算2，000元，木工x人，瓦工y人的话，工人的制约条件是答案4. (2012课标全国)如果x、y满足制约条件，则设定z=x-2y的可取值的范围下面是什么？回答-3，3 分析建立不等式组的可执行领域，如图的阴影部分所示设直线x-2y=0，向左上、右下平移移动，直线通过点a时，z=x

5、-2y取最大值。 当直线通过点b时，z=x-2y取最小值。得到b (1，2 )，得到a (3，0 )。zmax=3-20=3，zmin=1-22=-3，z-3，3。5. (2012四川)某公司生产甲、乙两种桶装产品。 生产甲制品需要1桶a原料1千克，b原料2千克，生产乙制品需要1桶a原料2千克，b原料1千克。 甲产品每桶利润300元，乙产品每桶利润400元。 公司在生产这两种产品的修订计划中，要求每天消耗a、b原料12公斤以下A.1 800元B.2 400元C.2 800元D.3 100元答案c生产甲产品x桶、乙产品y桶，每日利润为z元z=300x 400y。如图的阴影部分所示，制作可执行区域

6、。直线300x 400y=0向右上平移，通过点a后，z=300x 400y取最大值，由得a (四，四)，zmax=3004 4004=2 800。用问题型一元一次不等式(组)表示的平面区域例1不等式组表示的平面区域根据直线y=kx分为面积相等的2个时，k的值为()甲乙丙。思考启发：描绘平面区域，明显是在已知的平面区域内，直线越过定点，与图形相结合，直线平分平面区域面积的条件即可答案a解析不等式组表示的平面区域如图所示因为直线y=kx通过定点，所以只有在直线通过AB中点的情况下，直线y=kx才能将平面区域二等分。因为a (1，1 )、b (0，4 )，所以AB中点d。当y=kx通过点时=、所以k

7、=。不等式组表示的平面区域是各不等式表示的平面区域点定径套的交点，画图形后，面积关系就可以结合平面知识进行探索如果与x、y有关的不等式组所表示的平面区域的面积为4，则可知k的值为()A.1 B.-3C.1或-3 D.0答案a解析其中平面区域kx-y 20是包含坐标原点的半平面、直线kx-y 2=0且通过定点(0，2 )，平面区域的面积为4，因此能够确定在封闭的区域，建立平面区域就能解开平面区域如图所示，由于平面区域面积为4，所以得到a (2，4 )，代入直线方程式k=1。求问题型2线性目标函数的最大值已知例2x、y满足条件，求出4x-3y的最大值和最小值.思考启发：目标函数z=4x-3y为直线

8、形式，可通过平行移动求出最大值不等式组表示的区域如图所示观察到4x-3y在a点取最大值，在b点取最小值。解方程式，可以吗的双曲馀弦值。求解方程式由于b (-3，2 )，所以4x-3y的最大值和最小值分别为14，-18。(1)探索提高线性目标函数的最大(小)值一般可以在可执行区域的顶点取得，也可以在边界取得(2)为了得到线性目标函数的最佳解，需要分析线性目标函数表示的几何意义，明确其与直线的纵截的关系(2011广东)已知平面正交坐标系xOy上的区域d由不等式组给出，M(x，y )是d上的动点，点a的坐标是(，1 )，z=的最大值是()A.3 B.4 C.3 D.4答案b分析受线性约束可绘图区域如

9、图的阴影部分所示，设目的函数z=x y，将其设为y=-x z，如果使格拉夫重合，则在目的函数的图像超过点(、2 )时，z最大，将点(、2 )的坐标代入z=。问题型三线性修正划的简单应用例3某公司计划在甲乙两家电视台做总时间在300分钟以下的广告，广告总费用在9万元以下。 甲乙电视台的广告费标准分别为500元/分和200元/分。 假定甲乙两个电视台为该公司制作的每一分钟广告，给公司带来的利润分别为0.3万元思考启发：要根据线性修订图解决实际问题，首先用字母表示变量，找出各量的关系列出限制条件，设定目标函数，转化为线性修订图问题分设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分和y分，总利润为z元

10、，从标题得到目标函数为z=3 000x 2 000y。二元一次不等式组创建由一组二维一次不等式表示的平面区域行结构域可能如下所示设直线l:3 000x 2 000y=0，也就是说，3x 2y=0。如果使直线l平行移动，则由图可知，如果直线l超过m点，则目标函数取最大值.联合求解x=100，y=200。点m的坐标为(100，200 )，zmax=3 000x 2 000y=700 000 (元)。也就是说，该公司在甲电视台做了100分钟广告，在乙电视台做了200分钟广告，公司的收益最大，最大收益为70万元。提高解线性修正图像应用题的一般步骤有： (1)分析题意，设定未知量；(2)列举线性约束条件

11、和目标函数；(3)建立可执行区域，用数形结合求解；(4)回答。(1)(2012江西)某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积50亩以下，投入资金54万元以下，种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：年产量/亩年栽培成本/亩每吨售价黄瓜四吨1.2万元0.55万元韭菜六吨0.9万元0.3万元为了使年栽培总利润(总利润=总销售额-总栽培成本)达到最大，黄瓜和韭菜的栽培面积(单位：亩)分别为()a.50、0b.30、20c.20、30d.0和50(2)如果点p在平面区域上，点q在曲线x2 (y 2)2=1上，|PQ|的最小值为()A. B.-1C.2-1 D.-1答案(1)B (2)A解析(1)栽培黄瓜x亩

12、，韭菜y亩，根据题意求出目标函数z=x 0.9y的最大值，根据题意用地图表示可执行区域目标函数行l向右移动，移动到点a (30，20 )，目标函数取最大值，种植30亩黄瓜，种植20亩韭菜，种植总利润最大。(2)如图所示，当p取点，q取点(0，-1)时，|PQ|的最小值为。利用线性修订思想求非线性目标函数的最大值典型例： (12点)满足变量x、y，令(1)z=，求出z的最小值令z=x2 y2，获得z的可能值的范围。令z=x2 y2 6x-4y 13，获得z的可能值的范围。审查问题的视角(x，y )是可执行领域内的点。(1)可以理解为连接z=点(x，y )和点(0，0 )的梯度规范解答解从制约条件

13、出发，(x，y )的可执行领域如图所示由、解答a。因此，求解c (1，1 )。因此，求解b (5，2 )z=。z的值是连接可执行区域中的点和原点o的线的倾斜度看图形的话zmin=kOB=.6分(2)z=x2 y2的几何意义是从可执行区域上的点到原点o的距离的平方dmin=|OC|=，dmax=|ob|=.(3)z=x2 y2 6x-4y 13=(x 3)2 (y-2)2的几何意义是从可执行区域上的点到点(-3，2 )的距离的平方。16z64. 12分温暖注意(1)本问题是线性修正图的综合应用，研究了非线性目标函数最大值的求解方法(2)解决此类问题的关键是利用数形结合的思想方法，赋予目标函数一定

14、的几何意义(3)本问题的错误率很高。错误的原因是很多学生得不到，缺乏数形结合的应用意识，无法从其几何学意义上解决方法和技巧1 .平面区域的画法：线边界、点定域(注意实虚线)。2 .求出最大值：求出二元一次函数z=ax by (ab0 )的最大值，将函数z=ax by变换为直线的斜截面式： y=-x，通过求出直线的截距的最大值，间接地求出z的最大值。3 .要解线性修正图像的应用题，首先要找出各变量间的关系。 建议在列表中，然后用字母表示变量，列出线性约束条件。 写出研究的函数，转换成线性修正计划问题失误与防范1 .描绘平面区域.避免失误的重要方法是首先标准化二维一次不等式2 .在通过求出直线截尾

15、的最大值间接地求出z的最大值的情况下，在b0的情况下截尾取最大值，在z也取最大值时留心截尾取最小值，在z也取最小值时b0，截尾取最大值，在z取最小值时截尾取最小值，z取最大值a组专业基础培训(时间： 35分，满分： 57分)一、选择题(各问题5分，修订20分)设A=(x，y)|x，y，1-x-y为三角形的三边的长度，则a表示的平面区域(不包含边界的阴影部分)为()答案a分析是已知的2. (2011湖北)直线2x y-10=0和不等式组表示的平面区域有共同点（）A.0个B.1个C.2个d .无数个答案b当分析坐标平面内描绘直线2x y-10=0和不等式组表示的平面区域时，容易理解直线和该区域的共同点有一个.3. (2012山东)如果变量x