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1、数学文化、数学文明和数学创新,前言 数学文化,为什么要学习数学？培养理性思维。 数学是人类文明的推动力。 数学文化，就是数学发展历史中积淀下来的精华，如数学的思想、方法、创新思维等。以及数学史、数学发展、数学教育中的人文成分。 现在的数学教育却往往用大量的形式化的推理、繁琐的计算淹没了这些精华。,例子 数学的神奇,七桥问题 平行公理 高次代数方程的解,七桥问题领略数学抽象的神奇,18世纪初在普鲁士的哥尼斯堡城（哲学家康德出生于此，现在属于俄罗斯）有七座桥跨在普列格尔河上，它们将河中两岛和两岸相互连接。,那时当地居民热衷于一个问题：是否存在一条路线，可不重复地走遍七座桥？,如果利用普通数学知识，

2、每座桥都走一次，那这七座桥所有的走法一共有7！=5040种，基本上是很难完成的工作。 1735年，有人请欧拉（此时正在俄罗斯的彼得斯堡科学院任职）帮忙解决这一问题。欧拉亲自观察了哥尼斯堡七桥，经过认真思考，作了很多研究后，终于在1736年（时年欧拉才29岁）向圣彼得堡科学院递交了哥尼斯堡的七座桥的论文。 欧拉通过对七桥问题的研究，不仅圆满地回答了问题，而且得到并证明了更为广泛的 “欧拉定理”。 在解答问题的同时，开创了数学的新的分支-图论与代数拓扑。,把七桥问题化成判断连通图能否一笔画的问题。 欧拉不仅解决了七桥问题，且给出了连通图可以一笔画的充要条件：它们是连通的，且奇顶点(通过此点弧的条数

3、是奇数)的个数为0或2. 一般的，有几对奇顶点，就需要几笔画完。 七桥问题是无解的，需要二次走完。,平行公理与非欧几何换一个角度看问题,大家熟悉平行公理：过直线外一点可以作唯一的一条与该直线平行的直线。 无法验证这个公理。很多数学家想用其他公理证明它可没有成功。 转机出现了：既然没有办法验证，也无法证明。换一个角度看这个公理，比如：过直线外一点至少可以作出两条平行线。或者：过直线外一点没有一条平行线，即任何两条直线总相交。 这样非欧几何诞生了，前者是罗巴切夫斯基（俄国），后者是黎曼（德国）。,高次代数方程的解天才的方案,一元二次方程有求根公式。 一元三次方程，一元四次方程都找到了求根公式。但是

4、一元五次方程却始终找不到这样的求根公式。 没有求根公式？还是暂时没找到？在18和19世纪困扰很多数学家。 最终，由法国数学家伽罗瓦建立“群论”，彻底解决了这个高次方程求解问题：5次及5次以上方程没有一般的求解公式。 一个初等数学的问题，用深奥的“群论”解决，只能感叹这是一个“天才”的解决方案。,关于数学文明- 数学是人类文明的火车头,第一部分,四个数学高峰,1. 古希腊文明 - 欧几里得几何原本 2.文艺复兴 - 牛顿力学-微积分 3.18、19世纪人类文明 - 黎曼几何与爱因斯坦相对论 4.信息时代文明 - 冯. 诺依曼计算机方案,第一高峰：古希腊数学文化,“对顶角相等”是否要证明？ 中国古

5、代算学没有角的概念， 谈不上对顶角。 认为这是显然的， 不需证明。 几何原本。 命题15：对顶角相等。 证：因为A+C = B+C =1800。根据公理3：等量减等量， 其差相等。所以，A = B。,古希腊和中国的春秋战国,古希腊城邦实行奴隶主的“民主政治”。 男性奴隶主选举执政官， 决定财政、战争等大事。 民主需要辩论， 平等地说服。 理性思考。 崇尚精神上的真理追求 中国春秋战国， 实行君王统治。 知识分子可以百家争鸣， 但是以说服君王为目标。 中国古代数学是官方的管理数学。崇尚实用。 九章算术以丈量田亩，分配徭役，工程土方等计算方法为主，还有勾股定理，开平方等。 文化差异决定数学的发展和

6、文化： 理性演绎数学 实用管理数学,阿基米德的弓形面积计算,面积的4/3倍。其中，AB是抛物线的割线，,古希腊的阿基米德证明了抛物弓形 ACB 的面积等于,M是AB的中点，且CM平行于抛物线对称轴。,他是用的是“逼近法”。利用“逼近法”还算出球面积、球体积、椭圆面积。 “逼近法”为“积分学”奠定了基础。,小矩形面积之和,曲线图形的面积A近似等于,球体体积，牟合方盖,刘徽（约公元225年295年）认为 “牟合方盖”（它的每一个横切面皆是正方形）体积与其内接球的体积之比是4：3（圆周率=3时）。因此为了求出球体的体积，就寄希望于有方法求出“牟合方盖”的体积。但刘徽始终不能解决。 在刘徽死后一百多年

7、，中国又出现了伟大的数学家：袓冲之（公元429年500年）及他的儿子祖暅，他们承袭了刘徽的想法，利用“牟合方盖”彻底地解决了球体体积公式。 祖堩原理：“缘幂势既同，则积不容异。”,中国古代算学,中国古代数学称为算学 以算法为特征。 祖冲之计算 享誉世界。 宋，元，金时期的天元术解高次方程（李治，朱世杰：四元玉鉴），大衍求一术（秦九昭，还有数值法求根），杨辉三角。 吴文俊继承特点 以机器证明（计算 机算法）获国家最高科学技术奖。,第二高峰 牛顿、莱布尼茨发明微积分,无穷小（极限）是关键。 中国有无穷小思想： “一尺之棰， 日取其半， 万世不竭。”（庄子），刘徽。 文艺复兴时期数学家的大胆想象、深

8、刻思考、跨越式地推论，促使微积分思想的产生。,费马论证：周长一定的矩形以正方形面积最大,证明：取无穷小量 E，如果A-B，B是解，那么可以猜想 (一个天才的想法） B(A-B) =(B+E)A-(B+E)= BAB2 +AE 2BE + E2 整理得到 （A-2B）E + E2 = 0 因为E 0，约去 E， 得 （A-2B）+E =0。 又因E无限小，可以略去，得到结论：A =2B。 无穷小魔术 微积分。17世纪不严格 19世纪严密化。,无穷小的引入： 伟大的突破,中国传统数学缺乏这种巨大的创新观念，因而没有在中国产生微积分。 数学不仅是精确地算， 要有新的思想， 敢于突破旧的框框。 不要满

9、足于做出一个题目，运用了一个技巧。“数学思想”的创造，才是重大的成就。,17世纪中国数学。 牛顿发明微积分的时代,1606 徐光启(15621633)，和利玛窦翻译几何原本前6卷。 1690年， 康熙帝向法国传教士白晋等学习几何学、对数。 1701年， 莱布尼茨将2进制数表交给白晋， 白晋把伏羲64卦交给莱布尼茨。,中国最早的微积分译作 1859年,李善兰（1811 1882） 代微积拾级,禾彳天 意思是 dx,第三高峰：19-20世纪初数学成就,法国大革命和法国数学学派（柯西、蒙日） 德国工业的兴起和哥廷根学派（高斯、黎曼） 群论、非欧几何、复数、四元数、分析的严密化 （强调理性思维） 三个

10、伟大的方程：忽略少谈的数学家 热传导方程 傅立叶 （内燃机） 流体力学方程 拉普拉斯 （航空） 电磁学方程 马克斯韦尔 （电磁波）,傅立叶（1768 1830）,马克思韦尔 1831-1879,陈省身和华罗庚 （清华“双子”星座）,E. Cartan 陈省身 吴文俊 创立大范围微分几何 哈代 华罗庚 陈景润、王元 中国的解析数论学派,两人唯一照片1972。 北京,第四高峰：第二次世界大战改造数学,维纳、科莫哥罗夫： 火炮自动控制 运筹学产生于战场 原子弹爆炸。冯.诺依曼的数学参与. 美国国家的应用数学小组(AMP). 柯朗. 水下爆破。 轰炸机的流体力学计算 密码（ ENIGMA码）破译. 图

11、灵机的诞生。 电子计算机产生。 （中国数学仍然停留在纯粹数学，基本没有介入反法西斯战争的努力）,战后： 1948年的数学地图,1948：美国仙农发表信息的数学理论 1948：美国数学家维纳发表控制论 信息、控制是数学吗？ 1948： von Neuman 计算机方案形成 信息时代来临 （中国缺乏这样的数学偶像）,冯诺依曼： 电子计算机之父,如何测三根导线的电阻？ 真实的故事,电阻分别是x,y,z. 于是， 他列出以下的三元一次联立方程： x+y =a y+z =b z+x =c x y z,上海51中学陈振宣老师提供,袁枚曾说：“学如箭镞， 才如弓弩， 识以领之， 方能中鹄（gu)”。,在看不

12、见数学的地方创造性地用数学。,第二部分,关于数学创新,2007年 11月14日文汇报 访问吴文俊先生,推陈出新，才能创新； 有了陈才有新，不能光讲新，没有陈那来新？ 牛顿站在巨人的肩膀上，看的远，就是推陈出新。 所谓“陈”，是指国内外古往今来的先进成果。 创新是要有基础的，只有了解得透，才会有底气，才可能创新。,2006年菲尔兹奖,菲尔兹（1863-1932） 菲尔兹奖章常被称为“数学诺贝尔奖”，其荣誉与诺贝尔奖相当。 1983年以前的菲尔兹奖章获得者每人有1500加元奖金1990年，每位获奖者可以得到15 000加元奖金。,欧克恩科夫（Andrei Okounkov),欧克恩科夫1969年出

13、生于前苏联莫斯科，1995年获莫斯科国立大学博士学位；他曾在俄罗斯科学院、美国普林斯顿高级研究所、芝加哥大学和加利福尼亚大学贝克莱分校等处任职，目前是美国普林斯顿大学的数学教授。,拒绝领奖佩雷尔曼( Grigori Perelman),佩雷尔曼1966年6月13日出生于 前苏联列宁格勒（现已恢复旧名 圣彼得堡）的一个犹太人家庭； 1982年参加中学生国际数学奥林 匹克竞赛，以满分获得金牌； 随即进入列宁格勒国立大学学习 几何，获博士学位在著名的 斯捷克洛夫数学研究所工作， 期间曾赴美国访学。获奖原因是解决了庞加莱猜想。 “如果我的证明是正确的，别种方式的承认是不必要的。”,陶哲轩 （Teren

14、ce Tao),1975年出生于澳大利亚阿德莱德，父母是香港移民。2岁就识字，7岁自习微积分； 11岁起连续3年参加中学生国际数学奥林匹克竞赛，接连获铜奖、银奖和金奖； 15岁大学毕业， 21岁获普林斯顿大学数学博士学位 目前在美国加利福尼亚大学洛杉矶 分校任数学教授。,沃纳1968年出生于德国，1977年加入法国籍，1993年获法国第六大学博士学位，1997年起任巴黎第十一大学数学教授。,沃纳(WERNER Wendelin ),2010年菲尔茨奖,1972年出生于越南的吴宝珠（法国籍）与其他三名数学家获奖。 吴宝珠与2006年获奖的陶哲轩都是1988年第29届国际奥林匹克数学竞赛金奖获得者

15、。他的成果（证明了朗兰兹纲领（数论领域）中的自守形式理论的基本引理）被时代杂志选为2009年十大科学进展之一。,其他三人分别是,以色列的埃隆林登施特劳斯，1970年出生于以色列，现在希伯来大学任教，他因数论方面的研究获奖。 法国的塞德里克维拉尼，维拉尼今年36岁，现在法国亨利普安卡雷研究所担任主任一职。 俄罗斯的斯坦尼斯拉夫斯米尔诺夫，斯米尔诺夫1970年出生于俄罗斯，现在日内瓦大学任教。上面两人都是因统计物理学方面的工作获奖。,启示,数学英才何处寻？高考减负磨人平； 丘陵绵延风景好，不见奇峰高入云。（张奠宙） 科学理想和高考状元（理想和功利）？ 英才培养与减负； 俄罗斯的数学物理学校、体育学

16、校； 天才班与科举意识； 基础与发展。,现代数学的格局,核心 数学,应用 数学,计算机为基础的 数学技术,数学物理 Witten 霍金,计算 数学,随机 数学,运筹与 控制,工程技术 经济学医学。 人文科学,一,核心数学崇尚创新,核心数学依然居于核心地位,第三次数学危机是哲学家“故做惊人之语”。 费马定理的解决，谷山猜想起了关键作用。 日本在2002年获两项诺贝尔奖，08年三人获奖（一人入美国籍，一人连英语都不熟练），10年两人获化学奖，12年一人获医学奖。今年三位日本学者获物理学奖（一人美籍）。 Cayley 数学所悬赏的7个数学问题。 中国的973 计划。,怀尔斯（1953-） 在费马墓前

17、,二,应用数学迅猛发展,数学无国界 国际数学联盟历史 中译本。上海教育出版社2002。,在20世纪的上半叶，越来越多的人认为应该为数学本身研究数学，而不必考虑它的来源或应用。这为抽象化的倾向提供了根据。第二次世界大战重新燃起对应用数学的兴趣。在20世纪的下半叶， 工业化社会中高级技术的迅速增长，开始引起对应用数学更多的需求并产生了一系列新的和有趣的问题。计算机的激增极大地推动了这些发展。,20世纪的应用数学大观,随机数学：概率统计迅猛发展。 计算数学：有限元方法线性偏微分方程组化为线性方程组求解。（ 冯康，柯朗） 运筹学。 线性规划。 计算机科学。数学模拟（仿真）。 信息数学：编码与密码。 小

18、波分析：逼近与图象识别。,数学技术,数学从幕后走到台前 数学技术直接创造经济效益 21世纪是争夺制数权，谁将数学用得好， 谁就赢了。（吴文俊）,1979年10月11日，诺贝尔医学奖授予美国人柯马克（Allan MacLeod Cormack，1924-1998）和英国人豪斯菲尔德（Sir Godfrey Newbold Hounsfield，1919-2004），以表彰他们 “发明了计算机辅助X射线断层成像技术”。,CT 扫描， 造福人类,例1 CT的工作原理。拉东变换,1917年，奥地利数学家拉东（Johann Radon, 1887-1956）讨论从函数在以不同角度穿过该区域的直线上的积分

19、值，来求得其分布解的变换方法。这个积分就被称为 f 的拉东变换，其表达式为 把人体中不同组织的X射线吸收率当作一个函数，把通过以上方法求出的不同直线上X射线平均衰减率看作是函数在该直线上的积分值，那么利用拉东变换方法，我们就得到了人体内部的X射线分布解，从而能够重建体内的图像。这就是CT的工作原理。,例2 数学与经济学,线性规划。 康托洛维奇获诺贝尔奖（1971） 在苏联：“党的决议和数学结果谁重要？” Black-Scholes 期权公式 “收购橘子， 一元一斤， 10万斤。 高于一元， 照一元收进。 低于一元， 不要了。稳赚不赔的合同， 值多少钱？（1万） 橘农考虑： 先拿进1万也好。一元

20、一斤也能赚。 橘子期权拥有者可以卖掉 （1万1）？,例3红楼梦的作者是谁？统计学,复旦大学和美国威斯康星大学合作研究红楼梦的作者问题。 方法： 用47个虚字出现的频率作为标志 （的了吗呢，之其或亦， 可使就但） 结果：前80回和后四十回有交叉。 前80回插入风月宝鉴及其他,；例4. 王选与印刷革命,王选，1958年毕业于北京大学数学系 从事激光照排，获得中文印刷革命的成功。占据世界中文排版软件市场70%以上。 克服汉字排版的关键工作是“数据压缩”。,例5 密码安全：永远的数学责任,密码是国家安全， 企业安全的命脉。,老式加密（漏格板）,1943年被美军战机击落 日本人用JN25密码发出： “联

21、合舰队司令官依照以下日程视察 美国已经能够破译此密码 4月17日， 罗斯福午餐桌上放着破译的电报：“在战场上大将和士兵没有区别” 4月18日， 按照电报的时间， 美国战机击落山本的座机。战斗历时3分钟。,日本的“帝国海军之花” 山本五十六 之死,ENIGMA在密码学界里，绝对是划时代的丰碑。,首先是德国人亚瑟 谢尔比乌斯(Arthur Scherbius)； 其次是波兰人马里安 雷杰夫斯基(Marian Rejewski)； 第三个就是英国人阿兰 图灵(Alan Turing)。 这三个人中， 德国人发明了ENIGMA； 波兰人初步解破了简单的ENIGMA； 而英国人彻底终结了最高难的ENIG

22、MA,英国破译德军密码,英国布莱奇利庄园 英国数学家图灵,依靠数学发展“密码学”,1949年仙农发表保密系统的信息理论， 宣告“科学密码学”的诞生。 1975年出现DES（Data Encryption Standard)的美国国家标准。用于非军事用途的密码保护。它公开加密算法， 只保留解密的钥匙。 64位二进数码，8个字节，最后一位是检验码实际上是7个数码， 一共 7X8 =56位。 加密方法公开， 你仍然找不到解密钥匙。 1997年， M桑德斯动员大量电脑爱好者，226台计算机联合工作，终于破译了。,商业需要安全， 电子签名,2004年， 山东大学王小云教授（数论专家）她破解了一直在国际上

23、被广泛应用的两大密码算法MD5、SHA-1 。即电子签名可以伪造。,例6. 小波分析,比利时女数学家 Daubechies 发现 20世纪末的一项重大数学技术。,电视大战,模拟电视：电信号（强弱）传送到用户 数字电视： 将电视画面用一串数字传送给用户， 用户根据这些数字恢复画面。 日本投资100亿美元， 搞模拟高清晰度电视。 1995年， 美国麻省理工学院公布数字电视方案， 电视制式领导权落入美国手中。,怎样压缩数据？,PAL制的扫描格式确定为：水平像素垂直方向的水平扫描线720625 = 45万个点。 每秒需要传送20个画面。 如果每点传过去，时间不允许。 数据压缩是一个关键的课题。 王选的

24、汉字印刷革命， 是将汉字排版中的数据作了压缩， 才能取得成功。,一个电视画面是一个函数,定义域： 45 万个点 每个点 x 对应 f(x) 色彩亮度（二进制的8个数字） 传送一个画面， 要将45万个（二进制数组）传过去。 太难了。 怎样压缩呢？,用多项式逼近好吗？,一个函数f(x)是一条曲线（例如45万个点） 如果能用10次多项式 a10 x10 + a9 x9 +a8 x8 + +a1x + a0 加以近似， 而且近似得很好。 那么我只要传送11个数字就够了。100次多项式也只要101个数字就够了。,什么样的基本图形能够近似得好？,多项式可以近似， 但是非常慢。 三角函数（波）很好， 可是在

25、一些节点误差很大。 比利时女数学家Daubechies 给出了一族曲线作基础， 用它们很快就能近似， 而且贴近得非常好。 这族函数叫做小波。 把一个函数分解为若干个小波的组合， 只要传送这几个数据过去， 对方接收以后， 立即恢复就行了。 电视革命依赖数学的进步！,小波举例,第三部分,近代中国的数学,中国现代数学的艰难历程,同文馆中设天文算学馆的争论。（1862） x,y,z,w 取代 天地人元的历程 1902年， 江南考场某举子在试卷上写阿拉伯数字， 主考官黄漱兰：“以夷变夏， 其心殊不可问”。 逐出考场。 1847 容闳带学生到美留学, 没人学数学. 1862年日本派人来中国考察, 带回,

26、为日本唯一的微积分读本. 1898年, 中国向日本大量派遣留学生. 19世纪,中国到欧美学数学的竟无一人.,废除科举100年,1905年废除科举。 华东师大图书馆藏 京师大学堂教科书 x,y,z,w 天地人元,1906年的代数学,甲二 乙三 丙 天 地 人四 用现代符号是 x/a2 - y/b2 + z4/c 我们是在这样的基础上走过了100年,钱学森 2005年7月31日,温家宝探望他时说： 科学技术要有创造，必须懂得文学、艺术、音乐。 温回答说： 我们的教育还有一些问题 。,回过头来看，这么多年培养的学生，还没有哪一个的学术成就能跟民国时期培养的大师相比！,“现在中国没有完全发展起来，一个重要原因是没有一所大学能够按照培养科学技术发明创造人才的模式去办学，没有自己独特的创新的东西，老是冒不出杰出人才。”,著名的钱学森之问：,国家最高科学技术奖自2000年设立以来，共有24位科学家获奖，其中就有18位是1951年前大学毕业的。,丘成桐： 华人的菲尔兹奖获得者,数学是一种文明,数学不只是事实的堆砌； 数学不限于技巧的运用； 数学解题不等于创造； 数学整体不等于数学杂技。 数学考试只是把别人已经做过的题目