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文档简介
1、1,量子力学,光电子科学与工程学院 刘劲松 第七讲 厄密算符的本征值与本征函数 角动量的本征值与本征函数,2,第七讲目录,一、厄密算符回顾 二、厄密算符的本征值与本征函数 三、角动量的本征值与本征函数 习题,3,一、 厄密算符回顾(1),1、转置算符 则 2、共轭算符 3、厄密共轭算符,4,一、 厄密算符回顾(2),4、厄密算符 5、厄密算符的平均值 定理:厄密算符的平均值为实数。,5,一、厄密算符回顾(3),推论:厄密算符平方的平均值大于等于零,6,二、 厄密算符的本征值与本征函数(1),(一)本征函数(本征态),7,二、 厄密算符的本征值与本征函数(2),(二)本征值,8,二、 厄密算符的
2、本征值与本征函数(3),定理1:厄密算符的本征值必为实数。,9,二、 厄密算符的本征值与本征函数(4),定理2:厄密算符的属于不同本征值的本征函数,彼此正交。即 证,10,11,二、 厄密算符的本征值与本征函数(5),正交归一化的表示,12,三、角动量的本征值与本征函数(1),角动量及其算符(1),13,三、角动量的本征值与本征函数(2),角动量及其算符(2),14,直角坐标与球坐标的变换关系,这表明: r = r (x, y, z) x = x (r, , ),球坐标,将(1)式两边分别对 x y z 求偏导数得:,将(2)式两边分别对 x y z 求偏导数得:,对于任意函数f (r, ,
3、) (其中,r, , 都是 x, y, z 的函数)则有:,将(3)式两边分别对 x y z 求偏导数得:,15,将上面结果 代回原式得:,则角动量算符 在球坐标中的 表达式为:,16,例1:角动量z分量的本征值与本征函数(1),三、角动量的本征值与本征函数(3),17,三、角动量的本征值与本征函数(4),例1:角动量z分量的本征值与本征函数(2),18,三、角动量的本征值与本征函数(5),19,三、角动量的本征值与本征函数(6),例2:平面转子的本征值与本征函数,20,三、角动量的本征值与本征函数(7),21,三、角动量的本征值与本征函数(8),例3:动量x分量的本征值与本征函数,22,三、角动量的本征值与本征函数(9),例4:一维自由粒子的能量本征态,23,习题
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