高数§1.1 映射与函数

1、,1.1 映射与函数,上页,下页,结束,返回,首页,1.集合 集合 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 集合可用大写的字母A, B, C, D 等标识. 元素 组成集合的事物称为集合的元素. 集合的元素可用小写的字母a, b, c, d 等标识. a是集合M的元素记为aM, 读作a属于M. a不是集合M的元素记为aM, 读作a不属于M.,一、集合,下页,集合的表示 1.列举法 把集合的全体元素一一列举出来. 例如Aa, b, c, d, e, f, g. 2.描述法 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为 Mx | x具有性质P . 例如M(x, y)| x,

2、y为实数, x2y21.,下页,思考：集合悖论 “我给不给自己理发的人理发”罗素悖论,几个数集 所有自然数构成的集合记为N, 称为自然数集. 所有整数构成的集合记为Z, 称为整数集. 所有有理数构成的集合记为Q, 称为有理集. 所有实数构成的集合记为R, 称为实数集.,子集 如果集合A的元素都是集合B的元素, 则称A是B的子集, 记为AB(读作A包含于B). AB若xA, 则xB. 显然, NZ, ZQ, QR.,下页,2.集合的运算 设A、B是两个集合, 则 ABx|xA或xB称为A与B的并集(简称并). ABx|xA且xB称为A与B的交集(简称交). ABx|xA且xB称为A与B的差集(简

3、称差). ACIAx|xA为称A的余集或补集, 其中I为全集.,提示: 如果研究某个问题限定在一个大的集合I中进行, 所研究的其他集合A都是I的子集. 则称集合I为全集或基本集.,下页,集合运算的法则 设A、B、C为任意三个集合, 则有 (1)交换律 ABBA, ABBA; (2)结合律 (AB)CA(BC), (AB)CA(BC); (3)分配律 (AB)C(AC)(BC), (AB)C(AC)(BC); (4)对偶律 (AB)CACBC, (AB)CACBC.,(AB)CACBC的证明,集合运算的法则 设A、B、C为任意三个集合, 则有 (4)对偶律 (AB)CACBC, (AB)CACB

4、C.,证明：,下页,所以(AB)CACBC.,xACBC,xAC且xBC,xABxA且xB,x(AB)C,直积(笛卡儿积) 设A、B是任意两个集合, 则有序对集合 AB(x, y)|xA且yB 称为集合A与集合B的直积. 例如, RR(x, y)| xR且yR 即为xOy面上全体点的集合, RR常记作R2.,注意：证明集合相等要用元素法！,数集x|axb称为开区间, 记为(a, b), 即 (a, b)=x|axb.,a, b=x|axb闭区间.,a, b)=x|axb半开区间, (a, b=x|axb半开区间.,有限区间,上述区间都是有限区间, 其中a和b称为区间的端点, b-a 称为区间的

5、长度.,下页,3.区间和邻域,(-, b= x|xb,(-, +)= x| |x|+.,a, +)= x|ax,无限区间,(-, b)= x|xb,(a, +)= x|ax,下页,3.区间和邻域,邻域,去心邻域,首页,以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域, 记作U(a). 设0, 则称 U(a, )=(a-, a+)=x| |x-a| 为点a的邻域, 其中点a称为邻域的中心, 称为邻域的半径.,二、 映射,1. 映射的概念,某校学生的集合,学号的集合,某班学生的集合,某教室座位 的集合,引例1.,引例2.,引例3.,(点集),(点集),向 y 轴投影,定义4.,设 X , Y 是两个非空集合

6、,若存在一个对应规,则 f ,使得,有唯一确定的,与之对应 ,则,称 f 为从 X 到 Y 的映射,记作,元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 ,记作,元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 .,集合 X 称为映射 f 的定义域 ;,Y 的子集,称为 f 的 值域 .,注意:,1) 映射的三要素 定义域 , 对应规则 , 值域 .,2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 .,对映射,若, 则称 f 为满射;,若,有,则称 f 为单射;,若 f 既是满射又是单射,则称 f 为双射 或一一映射.,例1.,海伦公式,例2.,如图所示,对应阴影部分的面积,则在数

7、集,自身之间定义了一种映射,(满射),例3.,如图所示,则有,(满射),(满射),X (数集 或点集 ),说明:,在不同数学分支中有不同的惯用,X ( ),Y (数集),f 称为X 上的泛函,X ( ),X,f 称为X 上的变换,R,f 称为定义在 X 上的为函数,映射又称为算子.,名称. 例如,2. 逆映射与复合映射,(1) 逆映射的定义,定义:,若映射,为单射,则存在一新映射,使,习惯上 ,的逆映射记成,例如, 映射,其逆映射为,其中,称此映射,为 f 的逆映射 .,(2) 复合映射,手电筒,D,引例.,复合映射,定义.,则当,由上述映射链可定义由 D 到 Y 的复,设有映射链,记作,合映

8、射 ,时,或,注意: 构成复合映射的条件,不可少.,以上定义也可推广到多个映射的情形.,说明:,记号f和f(x)的区别: 前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则, 而后者表示与自变量x对应的函数值.,说明:,为了叙述方便, 常用记号“f(x), xD”或“yf(x), xD”来表示定义在D上的函数, 这时应理解为由它所确定的函数f .,说明:,函数的记号是可以任意选取的, 除了用f 外, 还可用“g”、“F”、“”等, 此时函数就记作yg(x)、 yF(x)、y(x)等. 但在同一问题中, 不同的函数应选用不同的记号.,三、函数,设数集DR, 则称映射f : D R为定义在D上的函数, 通常

9、简记为 yf(x), xD, 其中x称为自变量, y称为因变量, D称为定义域, 记作Df, 即DfD.,1.函数概念,定义,下页,构成函数的要素是定义域Df及对应法则f. 如果两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 那么这两个函数就是相同的, 否则就是不同的.,函数的两要素,函数的定义域通常按以下两种情形来确定: (1)对有实际背景的函数, 根据实际背景中变量的实际意义确定.,函数的定义域,(2)对抽象地用算式表达的函数, 其定义域是使得算式有意义的一切实数组成的集合, 这种定义域称为函数的自然定义域.,求函数的定义域举例,下页,解 要使函数有意义, 必须x0, 且x2-40. 解不等式得

10、|x|2. 函数的定义域为 D=x| |x|2, 或D=(-, 22, +).,例2,例1 在自由落体运动中, 设物体下落的时间为t, 下落的距离为s, 开始下落的时刻t0, 落地的时刻tT, 则s与t之间的函数关系是,这个函数的定义域是区间0, T.,下页,例3 判断下列几对函数是否相等.,(1)f(x)=2lnx, (x)=lnx2 ;,(2)f(x)=x, (x)=|x|;,(3)f(x)=sin2x+cos2x, (x)=1.,解：f(x)的定义域为(0, +),(x)的定义域为,(,0)(0, +), 所以它们不相等。,解： f(x)与(x)的对应规律不同 ，所以是不同的函数.,解：

11、f(x)与(x)的对应规律相同 ，定义域也相同， 所以 f(x)=(x)。,下页,单值函数与多值函数 在函数的定义中,对每个xD, 对应的函数值y总是唯一的, 这样定义的函数称为单值函数. 如果给定一个对应法则, 按这个法则, 对每个xD, 总有确定的y值与之对应, 但这个y不总是唯一的, 我们称这种法则确定了一个多值函数.,例如, 由方程x2y2r2确定的函数是一个多值函数:,下页,此多值函数附加条件“y0”后可得到一个单值分支,下页,表示函数的主要方法有三种: 表格法、图形法、解析法(公式法). 用图形法表示函数是基于函数图形的概念, 坐标平面上的点集 P(x, y)|yf(x), xD

12、称为函数yf(x), xD的图形.,函数的表示法,此函数称为绝对值函数, 其定义域为D=(-, +), 其值域为Rf =0, + ).,例6,例5 函数 y=2. 这是一个常值函数, 其定义域为D=(-, +), 其值域为Rf =2.,下页,函数举例,此函数称为符号函数, 其定义域为D=(-, +) , 其值域为Rf =-1, 0, 1.,例8 函数y=x.,例7,下页,注: 设x为任意实数, 不超过x的最大整数称为x的整数部分, 记作x.,此函数称为取整函数, 其定义域为D=(-, +), 其值域为Rf =Z.,例9,此函数的定义域为D=0, 1(0, +)=0, +).,f(3),=1+3

13、=4.,分段函数 在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数.,下页,设函数f(x)的定义域为D, 数集XD. 如果存在数K1, 使对任一xX, 有f(x)K1, 则称函数f(x)在X上有上界.,(1)函数的有界性,如果存在数K2, 使对任一xX, 有f(x)K2, 则称函数f(x)在X上有下界.,如果存在正数M, 使对任一xX, 有|f(x)|M, 则称函数f(x)在X上有界; 如果这样的M不存在, 则称函数f(x)在X上无界.,下页,2.函数的几种特性,注意：上下界不唯一！,(1) f(x)=sin x在(-, +)上是有界的: |sin x|1.,所以函数无上

14、界.,下页,函数的有界性举例,(2),设函数y=f(x)在区间I上有定义, x1及x2为区间I上任意两点, 且x1x2.,如果恒有f(x1)f(x2), 则称f(x)在I上是单调增加的.,(2)函数的单调性,如果恒有f(x1)f(x2), 则称f(x)在I上是单调减少的.,单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.,下页,设函数f(x)的定义域D关于原点对称, 如果在D上有f(-x)=f(x), 则称f(x)为偶函数. 如果在D上有f(-x)=-f(x), 则称f(x)为奇函数.,(3)函数的奇偶性,奇偶函数举例 y=x2, y=cos x都是偶函数. y=x3, y=sin x 都是奇函数.,

15、下页,奇函数的图形对称于原点,偶函数的图形对称于y轴,奇偶函数的图形特点,(4)函数的周期性,设函数f(x)的定义域为D. 如果存在一个不为零的数l,使得对于任一xD有(xl)D, 且f(x+l)=f(x), 则称f(x)为周期函数, l 称为f(x)的周期. 周期函数的图形特点,下页,注: 周期函数不一定存在最小正周期 .,例10, 常量函数,狄里克雷函数,x 为有理数,x 为无理数,(1) 反函数的概念,若函数,为单射,则存在逆映射,习惯上,的反函数记成,称此映射,为 f 的反函数 .,其反函数,(减),(减) .,1) yf (x) 单调递增,且也单调递增,(2)性质:,3.反函数与复合

16、函数,反函数,下页,2) 函数,与其反函数,的图形关于直线,对称 .,例如 ,对数函数,互为反函数 ,它们都单调递增,指数函数,下页,则,设有函数链,称为由, 确定的复合函数 , 复合映射的特例,u 称为中间变量.,注意: 构成复合函数的条件,不可少.,例如, 函数链 :,函数,但函数链,不能构成复合函数 .,可定义复合,复合函数,4.函数的运算,设函数f(x), g(x)的定义域依次为D1, D2, DD1D2, 则可以定义这两个函数的下列运算: 和(差) f g : (f g)(x)f(x)g(x), xD; 积 f g : (f g)(x)f(x)g(x), xD;,下页,例11 设函数

17、f(x)的定义域为(l, l), 证明必存在(l, l)上的偶函数g(x)及奇函数h(x), 使得f(x)g(x)h(x).,提示:,如果f(x)g(x)h(x), 则f(x)g(x)h(x), 于是,证,则 f(x)g(x)h(x), 且,下页,基本初等函数 幂函数: yx (R是常数); 指数函数: ya x(a0且a1); 对数函数: yloga x (a0且a1), 特别当ae时, 记为yln x; 三角函数: ysin x, ycos x, ytan x, ycot x, ysec x, ycsc x; 以上函数图形,5.初等函数,下页,反三角函数: yarcsin x, yarccos x, yarctan x, yarccot x . ,5.初等函数,初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数, 称为初等函数.,都是初等函数.,例如, 函数,下页,再如 ,可表为,故为初等函数.,双曲函数 应用上常遇到的双曲函数是:,双曲正弦:,双曲余弦:,双曲正切:,下页,双曲函数与反双曲函数,( 自学, P17 P20 ),五、小结,基本概念 集合, 区间, 邻域, 映射.,函数的概念 几个高数中见到的新函数,函数的特性 有界性,单调性,奇偶性,周期性.,反函数和复合函数,作业P22 13; 15-(2)(3