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1、第4章 数字滤波器的结构,数字滤波器的作用：对输入序列的频谱进行加工处理，从而达到改变信号频谱的目的。 研究数字滤波器一般包括以下两个内容： 1)由滤波器的结构分析其运算功能或频率响应特性 滤波器结构 H(z)或H(ejw)、差分方程、h(n) 2)由滤波器技术指标设计出系统函数H(z)，研究它的实现方法, 设计不同的运算结构来实现它. 技术指标 H(z) 结构,分析,设计,4.1 数字滤波器的表示方法及其分类,4.1.1 数字滤波器的表示方法 对于一个离散系统，我们可以用数乘器、加法器和单位延迟器来模拟,+,y(n),y(n-1),y(n-2), ,3,2,差分方程为：y(n)+3y(n-1

2、)+2y(n-2)=5x(n)+2x(n-1) 对其进行z变换： Y(z)+3z-1 Y(z)+2z-2 Y(z)=5X(z)+ 2z-1 Y(z),8,对应该系统的系统函数为：,这是一个有理函数表示形式，其对应的差分方程为：,y(n) =5x(n)+2x(n-1) -3y(n-1)-2y(n-2),对于同一个系统函数H(z),表示方法不同, 运算结构也不同。例如：,对于不同的运算结构，实现的滤波器性能不同（如性能价格比、运算误差、稳定性、有限字长敏感度等） 在数字信号处理系统实现时共有三种因量化而引起的误差因素:1)A/D变换的量化效应;2)系数的量化效应;3)数字运算过程中的有限字长效应.

3、,例：,z -1,z -1,+,x(n),b0 b1,a1,y(n),一阶系统的结构图和信号流图,b1 x(n-1)+ a1 y(n-1),x(n) b0 y(n),z -1,b1 a1,x(n-1) y(n-1),z -1,b0 x(n) +b1 x(n-1)+ a1 y(n-1),4.1.2 数字滤波器的分类 根据单位脉冲响应h(n)的时间特性，可以将数字滤波器分为无限长脉冲响应滤波器（IIR）和有限长脉冲响应滤波器（FIR）。 IIR滤波器的单位脉冲响应h(n)包含无限个非零值，即持续时间为无限长；FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)只包含有限个非零值，即持续时间为有限长.,例1 一阶数字

4、滤波器的差分方程为,解：所给差分方程对应的系统函数为 该函数只有一个极点 从因果稳定性角度考虑，收敛域为 求得系统的单位脉冲响应: h(n)=(a1)nu(n),z-1,x(n),y(n),a1,+,a1,z-1,x(n),y(n),a1y(n-1) y(n-1),求其单位脉冲响应，并画出结构图。,信号流图,结构图,z-1,x(n),y(n),a1,+,分析结构图可见，它含有反馈支路，这说明系统的输出不但取决于输入值x(n), 而且还与以前的输出,值y(n-1)有关. 这种具有反馈环路的结构称为递归型结构。 无限长脉冲响应滤波器（IIR）的结构为递归型结构。 对于一般的系统，其输出不但取决于输

5、入值x(n), x(n-1) 、 x(n-2)，而且还与以前的输出值y(n-1), y(n-2)有关.,见2,例2 数字滤波器的差分方程为,求其单位脉冲响应，并画出结构图。 解：所给差分方程对应的系统函数为,单位脉冲响应：,收敛域,x(n),z-1,z-1,+,b0 b1 b2,y(n),x(n),y(n),z-1 z-1,b0 b1 b2,信号流图,结构图,由图可见，有限长脉冲响应滤波器（FIR）结构中没有反馈支路，系统的输出只取决于输入值x(n), x(n-1), ， 这种结构称为非递归型结构。,x(n),z-1,z-1,+,b0 b1 b2,x(n),y(n),z-1 z-1,b0 b1

6、 b2,z-1,x(n),y(n),a1,+,x(n),y(n),z-1,a1,总结： 一、IIR滤波器具有如下特点： 1）单位脉冲响应为无限长序列； 2）结构中含有反馈环路，为递归型结构； 3）系统函数（或差分方程）中至少有一个系数ak不 为零,二、FIR滤波器具有如下特点： 1）单位脉冲响应为有限长序列； 2）一般情况下结构中没有反馈环路，为非递归 型结构； 3）系统函数（或差分方程）中所有系数ak均为零。,4.2 IIR滤波器的结构,IIR滤波器系统函数H(z)的实现结构是递归型的，但是结构并不惟一，同一系统函数（或差分方程）可以有各种不同的结构形式，其中主要有四种，直接型、直接型、级联

7、型和并联型。,一个N阶IIR滤波器的系统函数可以表示为：,与之对应的差分方程为：,系统函数也可以表示为: 其中:,4.2.1 直接型,可以看到 H1(z)实现了系统的零点，H2(z)实现了系统的极点。H(z)由这两部分级联构成。,： ：,z-1 z-1 z-1,b0 b1 bN,x(n) x(n-1) x(n-2) x(n-N),： ：,z-1 z-1 z-1,y(n) y(n-1) y(n-2) y(n-N),a1 aN,直接型结构需2N级延时单元,y1(n),例：系统函数 其中,y(n) = 5x(n)+2x(n-1)-3y(n-1)-2y(n-2) y1(n)= 5x(n)+2x(n-1

8、) y (n)= y1(n)-3y(n-1)-2y(n-2),x(n) 5 y1(n) y(n),z-1 2,-3 -2,y(n-1) y(n-2),z-1 z-1,H2(z),其差分方程为：,4.2.2 直接型,对于线性时不变系统而言，改变级联次序不会影响系统总输出。即,z-1 z-1 z-1,z-1 z-1 z-1,a1 aN,b0 b1 bN,.,.,x(n) y2(n),y(n),直接型比直接型所用延时单元节省了一半，这是实现N阶滤波器所必须的最少数量延时单元。,例：,若采用直接型,则,y2(n)=x(n) -3y2(n-1)-2y2 (n-2) y(n)=5 y2(n)+2 y2(n

9、-1),z-1 z-1,-3 -2,5 2,x(n),y(n),优点： 可直接由标准形式或差分方程得到，简单直观。 缺点： 对于高阶系统 1）调整零极点困难 2）对系数量化效应敏感度高 3）乘法运算量化误差在系统输出端的噪声功率最大。,直联型结构有一个共同的缺点，即改变系数 ai,bi将会影响系统函数的所有零极点，所以调整不方便，而级联型和并联型结构可以克服这个缺点。,4.2.3 级联型,H(z)的零点c1=0,c2=-1,极点d1=0.8ej/4, d2=0.8e-j/4, 曲线如图1,由图可见 曲线截止特性不好,而=0处衰减较大,为了改善通带特性, 加一个极点d=0.5,为了使截止频率变陡

10、些,加入零点,c3=j,c4=-j,例:,改进后的曲线特性见图2,该设计用于要求不高的数字滤波器,采用的是零、极点累试设计法。,b1=1 1;a1=1 -0.8*exp(j*pi/4);a2=1 -0.8*exp(-j*pi/4); a11=conv(a1,a2);w=linspace(0,pi,512);h=freqz(b1,a11,w);figure(1);plot(w/pi,abs(h);,0.8,上,b2=1 -j;b3=1 j;b11=conv(b2,b3);b=conv(b11,b1); a3=1 -0.5;a=conv(a11,a3);h=freqz(b,a,w);figure(

11、2);plot(w/pi,abs(h);,图2,上,如果将系统函数的分子分母多项式分解为一阶多项式的联乘，即用零、极点表示系统函数，有：,这样就可以用一阶直接型系统级联来实现. 例,-1 z-1 2/5,-2 z-1,x(n) 5,y(n),由于系数ai、bi都是实数，所以极零点不是实根就是共轭复根，因此系统函数可表示为,在系统物理实现时，其系数应为实数，因此，需对每对共轭复根合并起来构成一个实系数的二阶因子.,可看成一阶和二阶系统级联而成.,若采用通用形式表示，有：,其中：,若系数2i2i为零，则退化为一阶系统,级联型结构,z-1,1i 1i,x(n),y(n),x(n),y(n),z-1

12、z-1,1i 1i 2i 2i,直接型一阶基本节 直接型二阶基本节,例：,将每对共轭因子合并起来构成一个实系数的二阶因子,x(n),y(n),z-1 z-1,1 1 -1/2 -2,例 IIR数字滤波器的系统函数为,试画出该滤波器的级联型结构。 解：将分子分母进行因式分解：,x(n) y(n),1/4 2,Z-1,Z-1,Z-1,-1/2,-5/2,b=16 -40 16;a=8 -10 6 -1;w=linspace(0,pi,512);h=freqz(b,a,w); plot(w/pi,abs(h);,级联型结构的优缺点： 优点： 简化实现，用一个二阶基本节，通过变换系数 就可实现整个系统

13、； 极、零点可单独控制、调整； 各二阶基本节零、极点的搭配可互换位置，优 化组合以减小运算误差(乘法运算量化误差)。 缺点： 由于系统总体结构是级联的，因此会产生误差积累。,4.2.4 并联型 如果将系统函数表示成一阶系统的和式，即将系统函数展开成部分分式，再用基本节实现它，就可以得到并联型滤波器,若为共轭复根，则合并为一个实系数的二阶因子。,上式表明，可用L个一阶网络、M个二阶网络以及一个常数并联组成滤波器 H（z），,二阶网络称为并联型二阶基本节，系统函数形式为：,x(n),y(n),1i,z-1,x(n),y(n),z-1 z-1,1i 1i 2i,0i,一阶网络称为并联型一阶基本节，系

14、统函数形式为：,0i,并联型滤波器方框图和信号流图,H1(z),；,x(n) y(n),H0(z),HN(z),x(n) y(n),A0,11 1i 21,z-1 z-1,1N 1N 2N,z-1 z-1,01,0N,.,例1：,-1,-2,z-1 z-1,-3 8,x(n),y(n),特点： 极点位置可单独调整； 运算速度快（可并行进行）； 各二阶网络的误差互不影响，总的误差小; 不能直接调整零点，因多个二阶基本节的零 点并不是整个系统函数的零点，当需要准确 的传输零点时，级联型最合适。,上,4.3 FIR滤波器的结构,对FIR滤波器来说，其单位脉冲响应h(n)为有限长序列，其网络结构主要是

15、非递归结构，无反馈，但在频率采样结构等某些结构中也包含有反馈的递归部分。 它的系统函数和差分方程一般为如下形式：,FIR滤波器的基本结构有四种：直接型、级联型、线性相位结构、频率采样型结构。 4.3.1 直接型（横截型、卷积型） 直接由差分方程可画出对应的网络结构：,信号流图的转置定理： 对于单个输入、单个输出的系统，通过反转网络中的全部支路的方向，并且将其输入和输出互换，得出的流图具有与原始流图相同的系统函数。,信号流图转置的作用： 转变运算结构； 运算结构对滤波器的实现很重要，尤其对于一些定点运算的处理机，结构的不同将会影响系统的精度、误差、稳定性、经济性以及运算速度等许多重要的性能。,例

16、：若一个FIR滤波器的单位脉冲响应是： h(n)=,an 0n4 0 其他,画出该系统的直接型结构。,解：,z-1 z-1 z-1 z-1,x(n),y(n),a1 a2 a3 a4,4.3.2 级联型 当需要控制滤波器的传输零点时，可将系统函数分解为二阶实系数因子的形式： 这样就可用二阶基本节级联构成，每一个二阶基本节控制一对零点。 缺点：所需要的系数比直接型多； 1+z-7=(1+z-1)(1+z-2+z-3)(1+z-1+z-3) 乘法运算多于直接型。,其中,P144 例：5.4.1,4.3.3 线性相位结构 FIR的重要特点是可设计成具有严格线性相位的滤波器，此时h(n)满足偶对称或奇

17、对称条件。 设h(n)长度为N，如果h(n)满足下面等式，则称h(n)具有对称性。 h(n)=h(N-n-1), 0 n N-1 (A) h(n)= -h(N-n-1), 0 n N-1 (B) 满足式(A)的序列称为偶对称序列，满足式(B)的序列称为奇对称序列,h(n)=h(N-n-1), 0 n N-1 (A) h(n)= -h(N-n-1), 0 n N-1 (B), N为偶数的情况,偶对称,奇对称, N为奇数的情况,偶对称,奇对称,n,n,h(n),h(n),1、 N为偶数 1） h(n)偶对称的情况,令n=N-m-1替换第二个和式，有,即,根据偶对称条件：h(n)=h(N-n-1),

18、 0 n N-1,例: 1) H(z) = 2 + z -1+ z 2 + 2z 3 2) H(z) = 2 + z 1- z 2- 2z 3,2 2,x(n) z-1 z-1 z-1,y(n),直接型,线性相位结构,z-1,z-1,z-1,2,x(n),y(n),z-1,z-1,z-1,2,x(n),y(n),线性相位结构,h(n) h(n),n n,-1 -1,1、N为偶数 2） h(n)奇对称的情况,根据奇对称条件：h(n)=-h(N-n-1), 0 n N-1,令n=N-m-1替换第二个和式，有,-1 -1 -1 -1 -1,2、 N为奇数 1） h(n)偶对称的情况,h(n)=h(N

19、-n-1), 0 n N-1,令n=N-m-1替换第二个和式，并整理得,例: 1) H(z) = 2 + z -1+ z 2 + z 3 +2z -4 N为奇数 ,偶对称,z-1 z-1,2) H(z) = 2 + z 1+0 z 2- z 3 2z -4 N为奇数 ,奇对称,z-1 z-1,2,x(n),y(n),1/2,z-1 z-1,2,x(n),y(n),z-1 z-1,-1 -1,h(n),h(n),n,n,2、 N为奇数 2） h(n)奇对称的情况,对第二项令n=N-m-1代入，并整理, 对第三项, 由于h(n)= -h(N-n-1),令 代入h(n)有：,线性相位结构需要N-1个

20、延时单元，但所需乘法器减少一半左右。 1）当N为偶数时，需要N/2乘法器。 2）当N为奇数、h(n)为偶对称时，需要（N+1）/2 乘法器；而当h(n)为奇对称时，则需要（N-1）/2 乘法器。,5.4.4 频率采样型结构 根据第三章的讨论，离散付里叶变换H(k)与z变换的关系为： H(z)由两部分级联而成,第一部分（FIR部分） 这是一个由 N 节延时器组成的梳状滤波器，它在单位圆上有N个等分的零点,第二部分（IIR部分）是一组并联的一阶网络： 此一阶网络在单位圆上对应一个极点：,该网络在 处的频响为，是一个谐振频率为 的谐振器。这些并联谐振器的极点 正好各自抵消一个梳状滤波器的零点 ，从而使这个频率点的响应等于H(k)。两部分级联后，就得到频率采样型的总结构.