历届全国大学生数学竞赛预赛历年考试

1、全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 20092009 年年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、填空题（每小题 5 分，共 20 分） y (x y)ln(1) x dxdy ，其中区域D由直线x y 1与两坐标轴1计算 D1 x y 所围成三角形区域. 2设 f (x)是连续函数，且满足f (x) 3x 2 2 0 f (x)dx 2，则f (x) . x2 3曲面 z y22平行平面2x 2y z 0 地切平面方程是. 2 4 设函数 y y(x)由方程xef (y) eyln 29确定，

2、其中f 具有二阶导数， 且 d2y f 1，则 2 . dx e ex e2x enx x() ，其中n是给定地正整数.二、 （5 分）求极限lim x0 n 1 f (x) 三、 （15 分）设函数 f (x)连续，g(x) 0 f (xt)dt ，且lim A，A为 x0 x 常数，求 g(x)并讨论g(x) 在x 0处地连续性. 四、 （15 分）已知平面区域 D (x, y) | 0 x , 0 y ，L为D地 正向边界，试证： （1）xesin ydy yesinxdx xesin ydy yesinxdx； LL （2） xesin ydy yesin ydx 5 2. L 2 五

3、、 （10 分）已知 y 1 xex e2x，y 2 xex ex，y 3 xex e2x ex是某 二阶常系数线性非齐次微分方程地三个解，试求此微分方程. 六、 （10 分） 设抛物线 y ax2 bx 2lnc过原点.当0 x 1时，y 0， 又已知该抛物线与 x轴及直线x 1所围图形地面积为 1 .试确定 3 a,b,c，使此图形绕x 轴旋转一周而成地旋转体地体积V最小 5E2 七、 （15 分）已知u n (x)满足u n (x) u n (x) xn1exn 1,2, ，且u n(1) e ，求 n 函数项级数u n (x)之和. n1 / 15 八、 （10 分）求x 1时，与 x

4、n 等价地无穷大量. 2 n0 20102010 年年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、 （25 分，每小题 5 分） （1）设x n (1a)(1a )(1a )，其中|a|1,求limx n. n 22n 1 ex 1 .（2）求lim x x x2 （3）设s 0，求I n 0 esxxndx(n 1,2,). （4）设函数 2g2g 2 . 2xy x y 0 （5）求直线l 1 : 与直线l 2 : x2 y 1 z 3 地距离. 421 z 0 1 f (t)有二阶连续导数，r x2 y2,g(x, y) f ，求 r

5、二、 （15 分）设函数 f (x) 在(,)上具有二阶导数，并且 f (x) 0， x lim f (x) 0， lim f (x) 0，且存在一点 x0，使得 f (x0) 0.证明：方程f (x) 0在 x (,)恰有两个实根. 三、（15 x 2t t2(t 1)所确定，且 分）设函数y f (x)由参数方程 y (t) d2y3 ， 2dx4(1t) 其中 (t)具有二阶导数，曲线y (t)与y 1 求函数 (t). / 15 t2 eudu 2 3 在t 1出相切， 2e 四、 （15 分）设a n 0,S n a k ，证明： k1 n （1）当 1时，级数 a n n1 S n

6、 收敛； a n n1 S n （2）当 1且s n (n )时，级数 发散. 五、 （15 分）设l是过原点、方向为(,)， （其中2 221)地 直线，均匀椭球 x2y2z2 1（其中0 c b a，密度为 a2b2c2 1）绕l旋转. （1）求其转动惯量； （2）求其转动惯量关于方向(,)地最大值和最小值. 六、(15 分)设函数(x)具有连续地导数，在围绕原点地任意光滑 地简单闭曲线C上，曲线积分 L 2xydx(x)dy 0地值为常数. x4 y2 2xydx(x)dy 0； 42x y （1）设 L 为正向闭曲线(x2)2 y21，证明 L （2）求函数(x)； （3）设C是围绕原

7、点地光滑简单正向闭曲线，求 C / 15 2xydx(x)dy x4 y2 . / 15 20112011 年年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、计算下列各题（本题共 3 小题，每小题各 5 分，共 15 分） sinx （1）求 lim x0 x （2）.求 lim n 1 1cosx； 111 . ； n1n2nn 2t x ln1e （3）已知 t y t arctane d2y ，求 2dx . 二、 （本题 10 分）求方程2x y 4dxx y 1dy 0地通解. 三、 （本题 15 分）设函数 f (x)在x 0 地某

8、邻域内具有二阶连续导 数，且 f0 , f 0 , f 0均不为 0，证明：存在唯一一组实数k ,k ,k ， 123 使得 lim k 1 fhk 2 f2hk 3 f3h f0 0. h0 h2 四、 （本题 17 x2y2z2 分）设 1 : 2 2 2 1，其中a bc 0， 2 :z2 x2 y2 ， abc 为 1 与 2 地交线，求椭球面 1 在 上各点地切平面到原点距离地 最大值和最小值. 五、 （本题 16 x 23y21 分） 已知 S 是空间曲线 绕 y 轴旋转形成地椭 z 0 球面地上半部分 （ z 0） （取上侧） ， 是 S 在 P(x,y,z) 点处地切平面， (

9、x,y,z) 是原点到切平面 地距离， , 表示 S 地正法向地方向余 弦.计算：p1 （1） S z （2） zx 3y zdSdS ； x,y,z S f (x) mf (x) ，六、 （本题 12 分）设 f (x)是在(,)内地可微函数，且 / 15 其中 0 m1，任取实数a ，定义 a n ln f (a n1),n 1,2,. ，证明： (a n a n1)0 n1 绝对收敛. 七、 （本题 15 分）是否存在区间0,2上地连续可微函数 f (x) ，满 足 f (0) f (2) 1，f (x) 1， 2 0 f (x)dx 1?请说明理由. 20122012 年年 第四届全国

10、大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、 （本大题共 5 小题， 每小题 6 分， 共 30 分） 解答下列各题 （要 求写出重要步骤）. （1）求极限lim(n!). n （2）求通过直线 l : 2x y 3z 2 0 5x 5y 4z 3 0 1 n2 地两个互相垂直地平面 1 和 2 ， 使其中一个平面过点 (4 , 3,1) . （3）已知函数 z u(x, y)eaxby 2u 0. 确定常数a和b ，使函数，且 xy 2zzz z 0.z z(x, y)满足方程 xyxy / 15 （4）设函数 u u(x) 连续可微， u(2) 1，

11、且 L (x 2y)udx (x u3)udy在右 半平面与路径无关，求 u(x, y) . 3 （5）求极限 x limx x x1 sint dt . t cost 二、 （本题 10 分）计算 0 e2xsin x dx. 三、 （本题 10 分）求方程 x2sin 1 2x501地近似解，精确到 0.001. x 四、（本题12分） 设函数 y f (x)二阶可导， 且f (x) 0，f (0) 0，f (0) 0， x3f (u) 求 lim ，其中 u是曲线y f (x)上点P(x , f (x)处地切线在x 轴上 x0 f (x)sin3u 地截距. 五、 （本题 12 分）求最

12、小实数C，使得满足 0 f (x) 都有 0 1 1 f (x) dx 1地连续函数 f ( x)dx C . 六、 （本题 12 分）设 f (x) 为连续函数， t 0. 区域 是由抛物面 z x2 y2和球面 x2 y2 z2t2 F( t ) (z 0) 2 所 围 起 来 地 部 分 .定 义 三 重 积 分 y 2 2f ( x ， )zdv 求 F(t)地导数F(t) . 七、 （本题 14 分）设 a n 与 b n 为正项级数，证明： n1n1 a n 1 （1）若lim 0，则级数a n 收敛； n abb n1 n1 nn1 a n 1 （2）若lim 0，且级数b n

13、发散，则级数 a n 发散. n abb n1n1 n1 nn1 20132013 年年 第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、解答下列各题（每小题6 分，共24 分，要求写出重要步骤） / 15 1.求极限 lim1sin n 1 4n2 . n 2.证明广义积分 0 sinx dx 不是绝对收敛地. x 3.设函数 y y(x)由x33x2y 2y3 2确定，求y(x) 地极值. 4.过曲线 y 3x(x 0)上地点A作切线，使该切线与曲线及x 轴所围 成地平面图形地面积为 3，求点 A地坐标. 4 二、 （满分 12 分）计算定积分

14、 I xsinxarctanex dx. 1cos2x x fx 三、（满分 12 分） 设 fx在x 0处存在二阶导数f (0)， 且 m il0 . x0 证明：级数 n1 1 f n 收敛. f (x) , f (x) m 0(a x b)，证明 四、 （满分 12 分）设 sin f (x)dx m . a b 2 五、 （满分 14 分）设是一个光滑封闭曲面，方向朝外.给定第 二型地曲面积分 I x 3 xdydz 2y3 ydzdx 3z3 zdxdy .试确定曲面 ，使积分I地值最小，并求该最小值 (x y ) 9E3d 六、 （满分 14 分）设 I a (r) C yd 2

15、x x 2 dy ，其中 a为常数，曲线C 为椭 a 圆 x2 xy y2 r2 ，取正向.求极限 r lim I a (r). 七、 （满分 14 和. / 15 11 1 n地敛散性，若收敛，求其分）判断级数2 n1 n1n2 20142014 年年 第六届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）第六届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、填空题（共有 5 小题，每题 6 分，共 30 分） 1.已知 y 1 ex 和 y 1 xex是齐次二阶常系数线性微分方程地解，则该 方程是. 2.设有曲面 S :z x2 2y2 和平面 L:2x 2y z 0. 则与L平行地S 地 切平面方程是

16、. 3.设函数 y y(x)由方程x 1 4.设 x n n yx dy t sin2 dt 所确定.求 dx 4 . x0 k ，则 n limx n . (k 1)! k1 1 f (x) f (x) x 3 5.已知 lim ，则lim . 1 x e x0 x0 x2x 二、 （本题 12 分）设n为正整数，计算 I e 1 2n d 1 cosln dx. dx x 三、 （本题 14 分） 设函数 f (x)在0,1上有二阶导数， 且有正常数A,B 使得 f (x) A，| f (x)| B . 证明：对任意x0,1，有| f (x)| 2A B . 2 四、 （本题 14 分）

17、（1）设一球缺高为h，所在球半径为 R . 证明 该球缺体积为 (3R h)h2 ，球冠面积为 2Rh ； （2）设球体 3 / 15 (x 1)2 (y 1)2 (z 1)212被平面P: x y z 6所截地小球缺为 ， 记球缺上地球冠为，方向指向球外，求第二型曲面积分 I xdydz ydzdx zdxdy . 五、 （本题 15 分）设 f 在a,b上非负连续，严格单增，且存在 xna,b，使得 f (x n )n 1 b n f (x) dx.求limx n . an b a nn n21n222 n n2n2 六、 （本题 15 分）设 A n limn ，求 n A n . 4

18、20152015 年年 第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、填空题（每小题 6 分，共 5 小题，满分 30 分） 2 sinsin n 2 n 2 n （1）极限 lim n n 1n 2 sin 2 . n n （2） 设函数z zx, y由方程F x z , y z 0所决定， 其中Fu,v具 yx 有连续偏导数，且xF u yF v 0则x z y z . xy / 15 （3） 曲面z x2 y21在点M1,1,3地切平面与曲面所围区域地体 积是. （4）函数 3,x5,0在5,5地傅立叶级数在 x 0收敛地是. fx0,x

19、0,5 （5） 设区间0,上地函数ux定义域为ux 0 初等函数表达式是. extdt， 则ux地 2 二、 （12 分） 设M是以三个正半轴为母线地半圆锥面， 求其方程. 三、 （12 分）设 fx在a,b内二次可导，且存在常数, ，使得对 于xa,b，有 f xfxfx，则fx在a,b内无穷次可导. 四、 （14 n32 n分）求幂级数x1地收敛域及其和函数. n0 n1! 11 五、 （16 分）设函数 fx在0,1上连续，且 0 fxdx 0, 0 xfxdx 1. 试证： （1）x 0 0,1使fx 0 4； （2）x 1 0,1使fx 1 4. 五、 （16 分）设 fx, y在x

20、2 y21上有连续地二阶偏导数，且 222f xx 2f xy f yy M. 若 f0,00, f x 0,0 f y 0,00，证明： x2y21 fx, ydxdy M 4 . / 15 20162016 年年 第八届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）第八届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、填空题（每小题 5 分，满分 30 分） 1、若 fx在点x a 可导，且 f a 0，则lim n 1 f a n . fa n 2、若 f1 0， f 1存在，求极限I lim x0 f sin2 xcosxtan3x ex21 sin x . 3、设 fx有连续导数，且f 1 2，

21、记z fexy2，若 z z，求f x在 x x 0地表达式. 4、设 fx exsin2x，求0 an 2 ， f 0. 4 x2 5、求曲面 z y2平行于平面2x2y z 0 地切平面方程. 2 二、 （14 分）设 fx在0,1上可导，f0 0 ，且当 x0,1，0 f x1， 试证当 a0,1， 0 fxdx a 2 f3xdx . 0 a 三、（14 分）某物体所在地空间区域为 :x2 y2 2z2 x y 2z ，密 度函数为 x2 y2 z2，求质量M x 2 y2 z2dxdydz. 四、 （14 分）设函数 fx在闭区间0,1上具有连续导数，f0 0， f11， 1 1n

22、nfxdx f 证明： lim n n k1 0 1 k 2 n . 1五、（14 分）设函数 fx在闭区间0,1上连续，且I 0 fxdx 0， 证明：在0,1内存在不同地两点 x 1,x2 ，使得 112 . fx 1 fx 2 I 六、（14 分）设 fx在,可导，且fx fx2 f x 数理论证明 fx为常数. / 15 3.用级 20172017 年年 第九届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）第九届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、1. 已知可导函数 sin2 2求 n lim 满足 cosxf (x) 2 0 f (t)sintdt x 1，则f (x) .57 x n2 n . 3. 设w f (u,v)具有二阶连续偏导数，且u=xcy， v=x+cy，其中c 为非零常数. 则w xx 1 w yy . 2c 4. . 设 f(x)有二阶导数连续，且f (0) f (0)0, f (0)6，则 f (sin2x) lim . 4 x0 x esinxsin2x dx. 5. 不定积分I 2(1s