苏教版选修2-1导数与定积分--1.2.1 常见函数的导数(1)_第1页
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文档简介

1、1.2.1 常见函数 的导数(1),一、复习,1.解析几何中,过曲线某点的切线的斜率的精确描述与 求值;物理学中,物体运动过程中,在某时刻的瞬时速 度的精确描述与求值等,都是极限思想得到本质相同 的数学表达式,将它们抽象归纳为一个统一的概念和 公式导数,导数源于实践,又服务于实践.,2.求函数的导数的方法是:,1.导数的几何意义： 曲线在某点处的切线的斜率;,(瞬时速度或瞬时加速度),物理意义： 物体在某一时刻的瞬时速度。,说明:上面的方法中把x换x0即为求函数在点x0处的 导数.,3.函数f(x)在点x0处的导数 就是导函数 在x= x0处的函数值,即 .这也是求函数在点x0 处的导数的方法

2、之一。,4.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0)处的切线的斜率.,5.求切线方程的步骤：,（1）求出函数在点x0处的变化率 ，得到曲线 在点(x0,f(x0)的切线的斜率。,（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即,新课: 几种常见函数的导数,公式一:,y=kx+b,2,0,2,1,1,0,公式二:,通过以上公式我们能得到什么结论?,1,例1：求下列函数的导数,公式三:,公式四:,解：,例2: 求下列函数的导数：,解：,解：,解：,例3:,小结：,公式五:对数函数的导数,公式六:指数函数的导数,经典例题选讲,例1:求过曲线y=cosx

3、上点P( ) 的切线的直线方程.,O A x,M P,y,例2:如图,质点P在半径为10cm的圆上逆时针做匀角速 运动,角速度1rad/s,设A为起始点,求时刻t时,点P在 y轴上的射影点M的速度.,解:时刻t时,因为角速度1rad/s, 所以 .,故点M的运动方程为:y=10sint.,故时刻t时,点P在 y轴上的射影点M的速度为10cost cm/s.,例3:已知两条曲线y=sinx,y=cosx,问是否存在这两条 曲线的一个公共点,使在这一点处,两条曲线的切线 互相垂直?并说明理由.,解:设存在一个公共点P(x0,y0)满足题设条件.,由两条曲线的切线在点P互相垂直,则cosx0(-si

4、nx0) =-1,得sinx0cosx0=1,即sin2x0=2.,这不可能,所以不存在满足题设条件的一个点.,练习1:曲线y=sinx在点P( )处的切线的倾斜角为 _.,例4:已知曲线 在点P(1,1)处的切线与直线m平行且 距离等于 ,求直线m的方程.,设直线m的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公式得:,故所求的直线m的方程为3x+y+6=0或3x+y-14=0.,2:若直线y=4x+b是函数y=x2图象 的切线,求b以及切点坐标.,若直线y=3x+1是曲线y=ax3的切线,试求a的值.,解:设直线y=3x+1与曲线y=ax3相切于点P(x0,y0),则有: y0=3x0+1,y0=ax03,3ax02=3.,由,得3x0+1=ax03,由得ax02=1,代入上式可得:

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