二次函数与一元二次方程 (课件) 2026-2027学年人教版九年级数学上册

26．2二次函数与一元二次方程学习目标课时讲解1课时流程2二次函数与一元二次方程的关系用图象法求一元二次方程的根二次函数与一元二次不等式的关系(初高衔接)逐点导讲练课堂小结作业提升知识点二次函数与一元二次方程的关系知1－讲感悟新知1一般地，从二次函数y=ax2＋bx＋c的图象可得如下结论：(1)如果抛物线y=ax2＋bx＋c

与x

轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数值是0，因此x=x0是方程ax2＋bx＋c=0的一个根.知1－讲感悟新知(2)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的公共点的情况有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点，分别对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根.具体情况见下表：知1－讲感悟新知b2－4ac的取值b2－4ac=0b2－4ac<0b2－4ac的取值二次函数

y=ax2＋bx＋c

的图象a>0a<0知1－讲感悟新知二次函数y=ax2+bx+c

的图象与x

轴的三种位置关系有两个公共点，为(x1，0)，(x2，0)有一个公共点，为(-，0)没有交点一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根的情况有两个不等的实数根为x1,2=有两个相等的实数根，为

x1=x2=－

没有实数根知1－讲感悟新知

知1－练感悟新知已知二次函数y=-x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为(3，0)，则该函数的图象与x轴的另一个交点的坐标为______

.例1解题秘方：可以将已知点的坐标代入方程，求出m的值，解方程求得另一个交点的坐标；也可以利用抛物线的对称性求解；还可以利用根与系数的关系求解.(-1，0)知1－练感悟新知解：方法一∵二次函数y=-x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为(3，0)，∴x=3是一元二次方程-x2+2x+m=0的一个根.∴-32+2×3+m=0，解得m=3.∴-x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3.∴该函数的图象与x轴的另一个交点的坐标为(-1，0).知1－练感悟新知

知1－练感悟新知1-1.

[期末·天津河西区]二次函数y=ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，可知方程ax2＋bx＋c＝0的一个根为x＝5，则方程的另一个根为(

)A.x=－1B.x=0C.x=1D.x=2A知1－练感悟新知抛物线y=x2－4x－m2+1(m

是常数)与坐标轴交点的个数为()A.0B.1或2C.2或3D.3例2

思路导引：知1－练感悟新知知1－练感悟新知解：令y=x2－4x－m2+1＝0，则Δ＝(－4)

2－4×1×(－m

2+1)

=4m

2+12>0，∴抛物线与x轴有2个交点．当x=0时，y=－m2+1，若m=±1，则抛物线与y

轴交于原点，此时抛物线与坐标轴有2个交点；若m≠±1，则抛物线与y轴交于点(0，－m2+1)，此时抛物线与坐标轴有3个交点．答案：C知1－练感悟新知2-1.

已知抛物线y=ax2＋bx＋c，则当a>0，c<0时，抛物线与x轴的公共点情况是(

)A．无交点B．只有一个交点C．有两个交点D．不能确定C知1－练感悟新知2-2.

抛物线y=3x2－2x+1与坐标轴的交点个数是_________

.1知1－练感悟新知若将抛物线y=x2

－2x+3向下平移k个单位长度后与坐标轴仅有两个交点，则k=_________．例32或3思路导引：知1－练感悟新知解：将抛物线y=x2

－2x+3向下平移k

个单位长度后的解析式为y=x2

－2x+3－k．∵此时抛物线与坐标轴仅有两个交点，∴此时抛物线正好经过原点或抛物线的顶点在x

轴上(非原点)．当平移后的抛物线正好经过原点时，把(0，0)的坐标代入y=x2

－2x+3－k，得3－k=0，解得k=3；当平移后的抛物线的顶点在x

轴上(非原点)时，Δ=(－2)

2－4(3－k)

=0，解得k=2.综上可知，k=2或3.知1－练感悟新知3-1.

若抛物线y=kx2－2x－1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为(

)A.k>－1B.k≥－1C.k>－1且k≠0D.k≥－1且k≠0C知1－练感悟新知3-2.

抛物线y=x2－6x+c与x轴只有一个交点，则c=_______.9感悟新知知2－讲知识点用图象法求一元二次方程的根21.利用二次函数y=ax2+bx+c的图象求一元二次方程ax2+bx+c=0的根的一般步骤：(1)画出二次函数y=ax2+bx+c的图象；(2)确定抛物线与x轴的交点的横坐标；(3)交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.

感悟新知知2－讲2.当函数图象与x轴有两个交点，且交点的横坐标不是整数时，可通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根：步骤(1)观察函数图象与x

轴的一个公共点的横坐标在哪两个连续整数之间，从而确定这个公共点的横坐标的取值范围感悟新知知2－讲

步骤(2)由(1)可确定方程ax2+bx+c=0的一个根在哪两个连续整数之间，再通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围，直到得出的根满足题目要求为止.具体过程如下：如果ax12+bx1+c>0，且ax22+bx2+c<0，那么在x1与x2

之间存在一个根，取x3=，若ax32+bx3+c>0，则取x4=;若ax32+bx3+c<0，则取x4=……这样不停地取下去，直到得出的根满足题意 感悟新知知2－讲

步骤(1)按照(1)(2)的方法估计出方程的另一个根感悟新知知2－讲注意用图象法解一元二次方程是数形结合思想的具体应用，但作图或观察可能存在误差，因此通过这种方法求得的方程的解一般是近似的.知2－讲感悟新知

感悟新知知2－练[母题教材P48例2]

利用二次函数的图象求一元二次方程－x2+2x－3=－8的近似解(结果保留小数点后一位)

.例4

知2－练感悟新知解题秘方：用图象法求一元二次方程的近似解时，一般先作出相应的二次函数图象，确定一元二次方程的解的个数，找出二次函数图象与x轴交点的横坐标的大致范围，然后利用取平均数的方法缩小解所在的范围，通过反复计算求出满足精确度要求的近似解.知2－练感悟新知解：整理方程，得－x2+2x+5=0.作函数y=－x2+2x+5的图象，如图26.3-1所示.由图

知，抛物线与x

轴公共点

的横坐标分别在－2和－1，3和4之间，即方程－x2+2x－3=－8

的两个实数解分别在－2和－1，3和4之间，用取平均数的方法不断缩小解的取值范围，从而确定方程的近似解.知2－练感悟新知由图象可知，当x=3时，y>0；当x=4时，y<0.取3和4的平均数3.5，当x=3.5时，y=－0.25，与x=3时的函数值异号，所以方程的这个解在3和3.5之间.取3和3.5的平均数3.25，当x=3.25时，y=0.9375，与x=3.5时的函数值异号，所以方程的这个解在3.25和3.5之间.取3.25和3.5的平均数3.375，当x=3.375时，y=0.359375，与x=3.5时的函数值异号，所以方程的这个解在3.375和3.5之间.由此方法可得到原方程的一个近似解为3.4.用同样的方法可得到原方程的另一个近似解为－1.4.所以方程－x2+2x－3=－8的解为x

1≈－1.4，x

2≈3.4.知2－练感悟新知4-1.已知二次函数y=ax2＋bx＋c中x

和y

的部分对应值如表，则下列选项是ax2＋bx＋c=0的一个根所在范围的是(

)A.0.10<x<0.11B.0.11<x<0.12C.0.12<x<0.13D.0.13<x<0.14Cxy0.10-2.90.11-2.30.12-1.30.130.10.141.9

知2－练感悟新知4-2.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系xOy.

(1)在坐标系中画出抛物线y1=－x2－4x

与直线y2=x+4.解：如图所示．知2－练感悟新知(2)根据(1)中所作图象，直接写出方程－x2－4x=x+4的根.解：方程－x2－4x＝x＋4的根为x1＝－4，x2＝－1.知3－讲感悟新知知识点二次函数与一元二次不等式的关系(初高衔接)3二次函数y=ax2＋bx＋c(a

≠0)与一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a

≠0)及ax2＋bx＋c<0(a

≠0)之间的关系如下表：感悟新知知3－讲b2－4ac

的取值b2－4ac

>0b2－4ac

=0b2－4ac

<0a>0抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴的公共点情况有两个公共点有一个公共点无公共点不等式ax2＋bx＋c>0的解集x<x1或x>x2x≠x0全体实数不等式ax2＋bx＋c<0的解集x1<x<x2

无解无解

感悟新知b2－4ac

的取值b2－4ac

>0b2－4ac

=0b2－4ac

<0a<0抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴的公共点情况有两个公共点有一个公共点无公共点不等式ax2＋bx＋c>0的解集x1<x<x2

无解无解不等式ax2＋bx＋c<0的解集x<x1或x>x2x≠x0

全体实数

感悟新知知3－讲注意如果不等式中带有等号，那么其解集也相应带有等号.感悟新知知3－讲特别解读二次函数y=ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的点的纵坐标都为正，所对应的x的取值范围就是不等式ax2＋bx＋c>0的解集；在x轴下方的点的纵坐标都为负，所对应的x的取值范围就是不等式ax2＋bx＋c<0的解集．知3－练感悟新知已知二次函数y=x2

－4x+3.(1)当x取什么值时，y=0？(2)当x取什么值时，y>0？(3)

当x取什么值时，y<0？例5解题秘方：画出二次函数的图象，确定图象与x

轴的交点，进而解方程和不等式.知3－练感悟新知解：如图26.3-2，画出二次函数y=x2

－4x+3的图象.根据图象可知：(1)当

x=1

或x=3时，y=0；(2)当x<1或x>3时，y>0；(3)当1<x<3时，

y<0．知3－练感悟新知5-1.已知二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的几组对应值如下表：x-1012y-6-6-40知3－练感悟新知(1)求二次函数的解析式；

知3－练感悟新知(2)直接写出不等式ax2+bx+c<0的解集.解：-3<x<2.二次函数与一元二次方程等价于函数值为0时的一元二次方程根的个数二次函数与一元二次方程一元二次方程的根二次函数图象与x轴的公共点个数图象法题型利用二次函数的图象解决与x轴的交点问题1[一题多解]已知二次函数y=x2

－2mx+m2+3(m是常数).(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴都没有公共点.(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？例6思路导引：证明：∵方程x2

－2mx+m2+3=0的根的判别式Δ=(－2m)

2－4×1×(m

2+3)

=4m

2－4m

2－12=－12<0，∴方程x2

－2mx+m2+3=0没有实数根，即不论m

为何值，二次函数y=x2

－2mx+m2+3的图象与x轴都没有公共点.(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴都没有公共点.解：y=x2

－2mx+m2+3=(x

－m)

2+3.把函数y

=(x

－m)

2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y=(x

－m)

2的图象，它的顶点坐标是(m，0)，此时这个函数的图象与x

轴只有一个公共点.∴把函数y=x2

－2mx+m2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点.(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？另解设抛物线沿y轴向下平移a(a>0)个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点，此时二次函数的解析式为y=x2

－2mx+m2+3－a，∴方程x2

－2mx+m2+3－a=0的根的判别式Δ=(－2m)2－4×1×(m2+3

－a)=4m2－4m2－12+4a=－12+4a=0，解得a=3.∴把函数y=x2

－2mx+m2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点.题型利用二次函数、一次函数的图象的交点求不等式的解集2[期末·绍兴诸暨市]如图26.3-3，已知一次函数y1=-x-1与二次函数y2=ax2+bx-3的图象相交于点A(-1，m)，B(n，-3)，且二次函数的图象与y轴相交于点C.(1)求m，n的值；(2)当0<x<3时，求y2的取值范围；(3)请直接写出当y1<y2时，自变量x的取值范围.例7解题秘方：求出点A，B的坐标，结合函数图象直接获取函数值和自变量的取值范围.解：(1)∵一次函数y1=-x-1的图象过点A(-1，m)，B(n，-3)，∴m=-(-1)-1=0，-3=-n-1，解得n=2.

(3)∵一次函数y1=-x-1与二次函数y2=ax2+bx-3的图象相交于点A(-1，0)，B(2，-3)，∴由函数图象可得当y1<y2

时，x<-1或x>2.解题通法两个函数图象的交点坐标表示的意义是两个函数值相等的点，当求以两个函数值构成的不等式的解集时，以两个交点为分界点，通过比较函数图象的高低来比较两个函数值的大小.题型利用二次函数、一次函数的图象的交点求待定字母的值3已知抛物线y=x2，直线y=(k+2)x-(2k-1).(1)求证：无论k为何值，该抛物线与直线恒有两个公共点；(2)设两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1，x2均为整数，求k的值.例8思路导引:

配方成“完全平方式+正数”的形式

技巧点拨抛物线与x轴的交点问题可转化为二次函数的函数值为0时，一元二次方程的根的问题.有时结合根与系数的关系，可求二次函数中未知字母的值.易错点对函数类型没有说明而出错如果函数y=kx2－kx+3x+1的图象与x

轴有且只有一个交点，那么交点坐标是_______________________________

.

例9

诊误区：本题条件中并未说明函数是哪类函数，所以对它的不同情况都要予以讨论.解答时，先由系数k

的取值情况确定函数是哪类函数，然后再求其图象与x轴的交点坐标.若抛物线与x

轴只有一个交点，则这个交点就是抛物线的顶点.试题评析：本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，根据交点情况正确列出不等式是解题的关键．解：将抛物线y=x2-6x+12向下平移k个单位长度，得y=x2-6x+12-k.∵抛物线y=x2-6x+12-k与x轴有公共点，∴Δ≥0，即(-6)2-4(12-k)≥0，解得k≥3.[中考·连云港]如图26.3-4，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y=a(x-3)2+2.5运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6m，则铅球掷出的水平距离OB为__________m.考法利用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题2例118试题评析：本题考查求二次函数解析式和二次函数的图象与x轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法和二次函数与一元二次方程的关系是解题关键.

[中考·南京]已知二次函数y=ax2－2ax+3(a

为常数，