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文档简介

1、1 函数逼近的基本概念,第3章 函数逼近与快速傅里叶变换,一、函数逼近与函数空间,函数类A通常是连续函数,函数类B通常是多项式,有理函数或分段低次多项式。,二、范数与赋范线性空间,三、内积与内积空间,2 正交多项式,一、正交函数族与正交多项式,二、勒让德多项式,三、切比雪夫多项式,四、其他常用正交多项式,3 最佳平方逼近,一、函数的最佳平方逼近,二、用正交函数族求最佳平方逼近,4 曲线拟合的最小二乘法,一、拟合问题的提出及其最小二乘法,x,例9 已知实测数据表,试用最小二乘法求多项式曲线与此数据组拟合.,例10 已知实测数据表,试求它的最小二乘拟合.,二、用正交多项式作最小二乘拟合,用MATL

2、AB作多项式最小二乘拟合,1. 作多项式 f (x)=amxm+ +a1x+a0 拟合,可利用已有程序:,a= polyfit (x,y,m),2.多项式在x处的值y可用以下命令计算: y=polyval(a,x),例 : 对下面一组数据作二次多项式拟合,即要求 出二次多项式:,中 的 使得:,最小.,1)输入以下命令: x=0.1:0.1:1; y=1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2; A=polyfit(x,y,2) z=polyval(A,x); plot(x,y,k+,x,z,r) %作出数据点和拟合曲线的图形,2)计算

3、结果: = -8.0803 17.9488 0.5429,5 有 理 逼 近,3.5.1 有理逼近与连分式,有理函数逼近是指用形如,的函数逼近,与前面讨论一样,如果 最小就可得到 最佳有理一致逼近.,(5.1),如果 最小则可得到最佳有理平方逼近 函数.,本节主要讨论利用函数的泰勒展开获得有理逼近函数 的方法.,对函数 用泰勒展开得,(5.2),取部分和,另一方面若对(5.2)式用辗转相除可得到 的,一种连分式展开,(5.3),(5.4),(5.3)右端为 的无穷连分式的前5项,最后式子,若取(5.3)的前2,4,6,8项,则可分别得到 的以下有理逼近,是它的紧凑形式.,若用同样多项的泰勒展开

4、部分和 逼近,并计算 处的值 及 ,计算结果见表3-3.,的准确值为,从表3-3可以看出,,但它们的计算量是相当的,这说明用有理逼近比多项式逼近好得多.,由此看出 的精度比 高出近10万倍,,例9,用辗转相除法将它化为连分式并写成紧凑形式.,解,给出有理函数,用辗转相除可逐步得到,本例中用连分式计算 的值只需3次除法,1次乘 法和7次加法.,若直接用多项式计算的秦九韶算法则需6次乘法和1次 除法及7次加法.,可见将 化成连分式可节省计算乘除法次数.,对一般的有理函数(5.1)可转化为一个连分式,它的乘除法运算只需 次.,而直接用有理函数(5.1)计算乘除法次数为 次.,3.5.2 帕德逼近,

5、利用函数 的泰勒展开可以得到它的有理逼近.,设 在 的泰勒展开为,(5.5),它的部分和记作,(5.6),定义8,设,其中 无公因式,且满足条件,(5.8),则称 为函数 在 处的 阶帕德逼近,,记作 ,简称 的帕德逼近.,如果有理函数,(5.7),根据定义,若令,则满足条件(5.8)等价于,即,由于 应用莱布尼兹求导公式得,这里 是由(5.6)得到的,,上式两端除 ,,并由 可得,(5.9),及,(5.10),注意当 时,故(5.10)可写成,(5.11),其中 时 ,,若记,(5.12),则方程组(5.11)的矩阵形式为,定理11,(5.7)的有理函数 是 的 阶帕德逼近的,充分必要条件是

6、多项式 的系数,及 满足方程组(5.9)及(5.11).,设,则形如,根据定理11, 求 的帕德逼近时,首先要由(5.11),解出 的系数 ,,的系数 .,的各阶帕德逼近可列成,再由(5.9)直接算出,一张表,称为帕德表(见表3-4).,例10,求 的帕德逼近 及 .,解,由 的泰勒展开,得,当 时,由(5.11)得,求得,再由(5.9)得,于是得,当 时,由(5.11)得,代入(5.9)得,解得,于是得,可以看到这里得到的 及 与 的前面,为了求帕德逼近 的误差估计,由(5.9)及(5.11) 求得的 系数 及 ,直 接代入则得,将 除上式两端,即得,连分式展开得到的有理逼近(5.4)结果一样.,(5.13),其中,当 时可得误差近似表达式,6 三角多项式逼近与快速傅立叶变换,当 是周期函数时,显然用三角多项式逼近 比用代数多项式更合适,本节主要讨论用三角多项式做最 小平方逼近及快速傅里叶变换,简称FFT算法.,1、最佳平方三角逼近与三角插值,设 是以 为周期的平方可积函数,用三角多 项式,(6.1),做最佳平方逼近函数.,由于三角函数族,在 上是正交函数族,于是 在 上的最佳 平方三角逼近多项式 的系数是,最佳平方三角逼近,称为傅里叶系数.,函数 按傅里叶系数展

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