03导数的基本公式和运算法则 吴宗其 高等数学教学课件

1、一、函数的和、差、积、商的求导法则,三、反函数的导数,二、基本初等函数的导数,四、复合函数的导数,3.3 导数的基本公式与运算法则,五、隐函数的导数,六、取对数求导法,八、综合举例,七、由参数方程所确定的函数的导数,一、函数的和、差、积、商的求导法则,如果u(x)、v(x)都是x的可导函数 则它们的和、差、积、 商(分母不为零时)也是x的可导函数 并且,u(x)v(x)u(x)v(x),u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x),特别地 cu(x)cu(x),公式的推广,(u1u2 un) u1u2 un (u1u2 un)u1u2 unu1u2 un u1u2 un,(1),证明:,(

2、3) 从略,二、基本初等函数的导数,1 常数的导数,(c)0,这是因为,1 (c)0,2 幂函数的导数,(xn)nxn1,这是因为,以后可证,对任意实数n, (xn)nxn1,1 (c)0,2 幂函数的导数,(xn)nxn1,解,例1 求函数yx35的导数,y(x35),3x2,3x20,(x3)(5),解,24x33x24x,例2 求函数y(12x)(3x32x2)的导数,y(12x)(3x32x2)(12x)(3x32x2),2(3x32x2)(12x)(9x24x),1 (c)0,2 幂函数的导数,(xn)nxn1,解,例1 求函数yx35的导数,y(x35),3x2,3x20,(x3)

3、(5),解,1 (c)0,2 幂函数的导数,(xn)nxn1,其中n为任意实数.,1 (c)0,2 幂函数的导数,(xn)nxn1,解,2 (xn)nxn1,1 (c)0,3 指数函数的导数,(ax)axln a,(ex)ex,这是因为,(ex)ex,2 (xn)nxn1,1 (c)0,3 (ax)axln a,(ex)ex,4 对数函数的导数,这是因为,2 (xn)nxn1,1 (c)0,3 (ax)axln a,(ex)ex,5 三角函数的导数,(sin x)cos x,这是因为,和差化积公式:,2 (xn)nxn1,1 (c)0,3 (ax)axln a,(ex)ex,5 三角函数的导数

4、,这是因为,5.(sin x)cos x,(tan x)sec2 x,(cos x)sin x,2 (xn)nxn1,1 (c)0,3 (ax)axln a,(ex)ex,5 三角函数的导数,这是因为,5.(sin x)cos x,(sec x)sec xtanx,(cos x)sin x,(tan x)sec2 x,2 (xn)nxn1,1 (c)0,3 (ax)axln a,(ex)ex,5 (sinx)cosx (cosx)sinx (tanx)sec2x (cotx)csc2x,(sec x)sec xtan x (csc x)csc xcot x,解,三、反函数的导数,设函数yf(x

5、)在点x处有不等于0的导数f (x) 并且其反函 数xf 1(y)在相应点处连续 则f 1(y)存在 并且,简要证明,这是因为,2 (xn)nxn1,1 (c)0,3 (ax)axln a,(ex)ex,6 反三角函数的导数,这是因为 函数 yarcsinx与xsin y互为反函数 所以由反 函数的求导公式得,5 (sinx)cosx (cosx)sinx (tanx)sec2x (cotx)csc2x,(sec x)sec xtan x (csc x)csc xcot x,2 (xn)nxn1,1 (c)0,3 (ax)axln a,(ex)ex,6 反三角函数的导数,这是因为 函数 yar

6、ctanx与xtan y互为反函数 所以由反 函数的求导公式得,5 (sinx)cosx (cosx)sinx (tanx)sec2x (cotx)csc2x,(sec x)sec xtan x (csc x)csc xcot x,6.,作业: p.138 15(3)(5)(7);17(3)(4)(6);,四、复合函数的导数,设u(x)在点x处可导 yf(u)在对应点u处可导 则复合函 数yf(x)的导数为,简要证明,四、复合函数的导数,设u(x)在点x处可导 yf(u)在对应点u处可导 则复合函数yf(x)的导数为,复合函数求导公式的推广,设yf(u) u(v) v(x) 则复合函数y (x

7、)对x的导数是,解,y(u30)u(12x)x,例6 求函数y(12x)30的导数,设yu30 u12x,60(12x)29,60u29,30u292,则由复合函数求导公式得,若yf(x) u(x) 则,解,设yln u usin x 则,例7 求函数ylnsin x的导数,解,y(u30)u(12x)x,例6 求函数y(12x)30的导数,设yu30 u12x,60(12x)29,60u29,30u292,则由复合函数求导公式得,若yf(x) u(x) 则,解,y(cos u)u(nx)x,例8 求函数ycos nx的导数,设ycos u unx 则,nsin nx,sin un,解,设yl

8、n u usin x 则,例7 求函数ylnsin x的导数,解,y(u30)u(12x)x,例6 求函数y(12x)30的导数,设yu30 u12x,60(12x)29,60u29,30u292,则由复合函数求导公式得,若yf(x) u(x) 则,解,解,解,解,解,例12 求函数yarcsin(3x2)的导数,解,解,解,解,y(ax),例14 求函数yax的导数,axln a,axln a(x),解,解,y(ax),例14 求函数yax的导数,axln a,axln a(x),五、隐函数的导数,设方程P(x, y)0确定y是x的函数 并且可导 现在可以利 用复合函数求导公式可求出隐函数y

9、对x的导数,解2,例16 求由方程y22px所确定的隐函数yf(x)的导数,将方程y22px两边同时对x求导把y看作x的函数,得,2yy2p,这是一个包含y的一次方程,解出y即得隐函数的导数,解1,由方程解得,因此,或,结果和解法1一致.,解,将方程两边同时对x求导 得,例17 求由方程yxln y所确定的隐函数yf(x)的导数,解出y即得,解,例18 由方程x2xyy24确定y是x的函数 求其曲线上点 (2, 2)处的切线方程,将方程两边同时对x求导 得,2xyxy2yy0,解出y即得,所求切线的斜率为 ky|x2,y21 于是所求切线为 y(2)1(x2) 即yx4,解,例19 求由方程e

10、 yxy所确定的隐函数y的导数,将方程两边同时对x求导 得,e yyyxy,解出y 得,六、取对数求导法,将函数yf(x)两边取对数 化成隐函数求导数 这种方法 称之为 “取对数求导法”,解,例20 求函数yxx的导数,将yxx两边取对数,ln yxln x,两边对x求导数 得,于是得 yy(ln x1)xx(ln x1),幂指函数也可以按下法求导,y exln x(x ln x),xx(ln x1),exln x(ln x1),解,先在两边取对数 得,上式两边对x求导 得,下面证明,事实上,七、由参数方程所确定的函数的导数,设x(t)有连续反函数t1(x) 又(t)与(t)存在 且 (t)0

11、 y与x构成复合函数y(t)1(x) 利用反函数与复合函数的求导法则 有,导数的计算公式:,1. u(x)v(x)u(x)v(x),2. u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x),4. cu(x)cu(x),3.,5.,2 (xn)nxn1,1 (c)0,3 (ax)axln a,(ex)ex,5 (sinx)cosx (cosx)sinx,(sec x)sec xtan x (csc x)csc xcot x,(tanx)sec2x (cotx)csc2x,基本初等函数的导数公式:,七、综合举例,解,3xln33x20exln x(xln x) 3xln33x2xx(ln x1),例

12、25 y3xx333xx 求 y,y(3x)(x 3)(33)(xx),例24. y =lncos(10+3x2),求 y,解,(p.123例20),6,解,当x0时,当0 x1时,f (x)1,f (x)2,在x0处f(x)不连续 故f (0) 不存在 在x1处 有,故 f (1)2,当x1时,f (x)2x,7,例28 已知f(u)可导 求f (ln x) f (xa)n及f (xa)n,f (xa)n,f (xa)nn(xa)n1(xa),n(xa)n1f (xa)n,f (xa)n(xa)n,f (xa)n,nf (xa)n1f (xa),nf (xa)n1f (xa)(xa),nf (x