2-2 矩阵的运算

1、第二节 矩阵的运算,四、矩阵的转置,一、矩阵的加法,三、矩阵与矩阵相乘,二、数与矩阵相乘,五、方阵的行列式,一、矩阵的加法,矩阵加法的定义 设有两个mn矩阵A(aij)和B(bij) 矩阵A与B的和记为AB 规定为AB(aijbij ) 即,提示,只有当两个矩阵是同型矩阵时 这两个矩阵才能进行加法运算,一、矩阵的加法,矩阵加法的定义 设有两个mn矩阵A(aij)和B(bij) 矩阵A与B的和记为AB 规定为AB(aijbij ) 即,矩阵的加法 设A(aij)和B(bij) 则规定AB(aijbij ),矩阵加法的运算规律 设A B C都是mn矩阵 则 (1)ABBA (2)(AB)CA(BC

2、) 负矩阵 矩阵的减法 设矩阵A(aij) 记A(aij) A称为矩阵A的负矩阵 显然有 A(A)O 规定矩阵的减法为 ABA(B),二、数与矩阵相乘,数乘矩阵的定义 数与矩阵A的乘积 记为A或A 规定为A=(aij) 即,数乘矩阵的运算规律 设A、B都是mn矩阵 、是数 则 (1)()A(A) (2)()AAA (2)(AB)AB 矩阵的加法运算与数乘运算合起来 统称为矩阵的线性运算,数与矩阵相乘 设A(aij) 则规定A=(aij),三、矩阵的乘法,这个线性变换称为前两个线性变换的乘积 它的系数矩阵可以看作是前两个线性变换的系数矩阵的乘积,引例,2x3,3x2,2x2,矩阵乘法的定义 设A

3、(aij)是一个ms矩阵 B(Bij)是一个sn矩阵 那么矩阵A与矩阵B的乘积记为ABC C(cij)为mn矩阵 其中,cijai1b1jai2b2j aisbsj (i1 2 m；j1 2 n),三、矩阵的乘法,应注意的问题,只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时 两个矩阵才能相乘,m x s,s x n,m x n,矩阵的乘法 设 A(aij)ms B(bij)sn 则规定AB(cij)mn 其中 cijai1b1jai2b2j aisbsj (i1 2 m；j1 2 n),解,3,1,10,7,3,3,提问 BA是否有意义,三、矩阵的乘法,特别地， 一个1s的行矩阵与一个s1的列矩阵的乘积

4、是一个1阶方阵 也就是一个数,这表明乘积ABC中的元cij就是A的第i行与B的第j列的乘积,解,32,16,16,8,0,0,0,0,本例说明 1. 乘法一般不满足交换律，即AB一般不等于BA (两种情况 ） 2. 从ABO一般不能推出AO或BO 3. 从 AX=AY ，AO,一般不能推出 XY（见课本P35）,矩阵乘法与数的乘法的区别,解,3,1,1,0,3,1,1,0,ABBA,特别地，如果两矩阵A与B相乘 有ABBA 则称矩阵A与矩阵B可交换,矩阵乘法的性质,(1)(AB)CA(BC) (2)(AB)(A)BA(B) (其中为数) (3)A(BC)ABAC (BC)ABACA,单位矩阵在

5、矩阵乘法中的作用 对于单位矩阵E 容易验证 EmAmnAmn AmnEnAmn或简写成 EAAEA 可见单位矩阵E在矩阵乘法中的作用类似于数1,纯量矩阵在矩阵乘法中的作用 矩阵Ediag( )称为纯量阵 由(E)AA A(E)A 可知纯量阵E与矩阵A的乘积等于数与矩阵A的乘积 当A为n阶方阵时 有 (En)AnAnAn(En) 这表明纯量阵E与任何同阶方阵都是可交换的,注意： EAA，而 E,应注意的问题,只有当A与B可交换时 才有 (AB)kAkBk (AB)2A22ABB2 (AB)(AB)A2B2,矩阵的幂,设A是n阶方阵 定义,A1A,Ak1Ak A1, ,A2A1A1,其中k为正整数

6、 就是说 Ak 是 k 个A连乘 显然只有方阵 它的幂才有意义,矩阵的幂的运算规律,(1) AklAk Al,(2)(Ak)lAkl,其中k、l为正整数,线性方程组的矩阵表示,令,则上述方程组可表示为,转置矩阵的定义 把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵 叫做A 的转置矩阵 记作AT,四、矩阵的转置,1 2 0,3 1 1,转置矩阵的运算规律 (1) (AT)TA (2) (AB)TATBT (3) (A)TAT (4) (AB)TBTAT,解法一,因为,所以,0,17,14,13,3,10,解法二,0,17,14,13,3,10,注,设A为n阶方阵 如果满足ATA 即aijaji(i j

7、1 2 n)则称A为对称矩阵 简称对称阵 对称阵的特点是 它的元素关于主对角线对称相等,例7 设列矩阵X(x1 x2 xn)T满足XTX1 E为n阶单位阵 HE2XXT 证明H是对称阵 且HHTE,E4XXT4XXT,E4XXT4X(XTX)XT,E4XXT4(XXT)( XXT),HHT,所以H是对称阵,HT,证明,因为,H,E2XXT,E T2(XXT)T,(E2XXT)T,(E2XXT)2,H2,E,五、方阵的行列式,方阵的行列式的定义 由n阶方阵A的元素所构成的行列式称为方阵A的行列式 记作|A|或detA,方阵的行列式的运算规律 (1)|AT|A|=|A|T (2)|A|n|A| (3)|AB|A|B|,例子,注意：|AB|A|B|,例1 设A为33矩阵，B为44矩阵，且|A|=1,|B|=2,则 | |B| A| = ( ).,解 | |B| A|,|B|3|A|,(2)31,= -8.,(1)|AT|A|=|A|T (2)|A|n|A| (3)|AB|A|B|,例2 设A为4阶矩阵，B为4阶矩阵，且|A|=1,|B|=2,则 |2|BT| A4B