2017-2018版高中数学 第二章 平面向量 3.1 数乘向量学案 北师大版必修4

1、3.1数字乘法向量学习目标：1 .理解向量数乘法的概念，并理解这种运算的几何意义；2.理解和掌握向量数乘法的算术规律，并运用向量数乘法的算术规律进行向量运算；3.理解和掌握两个向量的共线性性质及其判断方法，并熟练运用这一知识处理共线向量问题。知识点的定义向量数乘法想想1。实数乘以向量的结果是实数还是向量？考虑2个向量3a，-3a和a在长度和方向上的关系。3 a的几何意义是什么？梳数乘以向量一般来说，实数和向量A的乘积是向量，写成_ _ _ _ _ _ _ _。它的长度是| a |=| | | A |。它的方向：当0， A和A有相同的方向；当0时，a与A相反；当=0时， a=0，方向是任意的。知

2、识点双向量乘法的算术规律想想类比实数的算术法则，什么是向量数乘法的算术法则？结合向量数乘法定律(1)(a)=()a。(2)(+)a=a+a。(3)(a+b)=a+b。知识点的三矢量共线定理想想如果b=2a，b和a共线？结合(1)向量共线性的判定定理a是一个_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _向量。如果有一个实数，那么向量B与非零向量a共线.(2)向量共线性的性质定理如果向量B与非零向量A共线，则有一个实数，因此B=_ _ _ _ _ _ _。四个知识点向量的线性运算向量的加法和减法以及实数和叉积的综合运算通常称为向量的线性运算(或线性组合)。类型向量数乘法的基本运算例1 (1)是简化的：

3、2 (2a 4b)-4 (5a-2b)。(2)已知向量为A，B，未知向量为X，Y。向量A，B，X，Y满足关系3x-2Y=A，-4x 3Y=B，得到向量X，Y。反思与理解(1)向量乘法运算类似于代数多项式运算。例如，实数运算中的去括号、移位项、合并相似项、提取公共因子等变形方法也适用于实数和向量的乘积，但这里的“相似项”和“公共因子”是指量，实数被视为向量系数。(2)向量也可以用列方程和方程来求解。同时，在操作过程中应注意观察，适当运用操作规律，简化操作。跟踪培训1(1)(a-b)-3(a-b)-8a=_ _ _ _ _ _。(2)如果2-(C B-3Y) B=0，其中A、B和C是已知向量，那么

4、未知向量Y=_ _ _ _ _ _ _。二型向量共线性的判断及应用命题角度1判断向量共线或三个点共线示例2众所周知，非零矢量e1和e 2不共线。(1)如果a=E1-E2和b=3e1-2e2，判断向量a和b是否共线。(2)如果=E1 E2，=2e1 8e2，=3 (E1-E2)，证明了三个点A，B和D共线。反映与感知(1)向量共线性的判断(证明)是将两个向量表示为一个共同的已知向量，然后相互表示，从而判断共线性。(2)利用向量共线性定理证明三个点共线，一般情况下，先取两个点构造一个向量，这样问题就转化为证明两个向量共线。需要注意的是，当证明三个点共线时，我们不仅要用B= A (A 0)，还要说明

5、向量A和B有公共点。跟踪训练2知道非零向量e1和e2不共线。如果=E1 2e2，=-5e1 6e2，=7e1-2e2，那么这三个共线点是_ _ _ _ _ _ _ _ _。命题角度2使用向量共线性来计算参数值示例3众所周知，非零矢量e1和e2不共线。要使KE1 E2和E1 KE2共线，请尝试确定k的值.反思与理解：利用向量共线性定理，即B和a(a0)共线B= A，不仅可以证明点或线的共线性，还可以根据共线性计算参数值。追踪训练3知道三个点a、b和p是共线的，而o是直线之外的任何一点。如果=x y，则x y=_ _ _ _ _ _ _。类型三表示具有已知向量的其他向量例4在ABC中，如果点d满足

6、=2，I(3)当难以直接表达时，可利用三角形法则和平行四边形法则建立所得向量与已知向量之间的等价关系，进而求解出关于所得向量的方程。跟踪培训4如图所示。在ABC中，d和e是边AB的两个三等分点，=3a，=2b，寻道，1.假设a=5e，b=-3e，c=4e，2a-3b c等于()a . 5e b-5ec . 23 e d-23 e2.在ABC中，m是BC的中点，然后等于()A.B.C.2 D3.假设e1和e2是两个不共线的向量。如果向量m=-E1 Ke2 (k r)与向量n=E2-2e1共线，则()A.k=0 B.k=1C.k=2 D.k=4.如果我们知道ABC的三个顶点A、B和C以及平面上的一

7、个点P，并且=，那么()A.p在ABC内B.p在ABC之外C.p位于AB或其延长线的边缘D.p在交流的一边5.如图所示，已知=由。1.实数和向量可以相乘，但不能相加或相减。例如， a，-a是无意义的。2. A的几何意义是将矢量A沿A的方向或反方向放大或缩小到| |倍.矢量表示与矢量A同方向的单位矢量.3.向量共线性定理是证明三点共线性的重要工具，即三点共线性问题通常转化为向量共线性问题。4.众所周知，O、A和B是三个不共线的点，m=n(m，nR)，A、P和B共线，m n=1。答案分析面向问题的学习知识点一想想一个向量。考虑2 3a的长度是A的三倍，并且它的方向与向量A的方向相同.-3a的长度是

8、A的三倍，它的方向与向量A的方向相反.从实数和向量乘积的定义可以看出，它的几何意义是拉伸或压缩表示向量a的有向线段.当| | 1时，表示向量A的有向线段在原始方向( 0)或相反方向( 0)上延伸| |次；当| | 0)或相反方向( 0)上被缩短到| |倍。梳状a知识点2想想联想和分配的法则。知识点三根据共线矢量和矢量数乘法的含义，B和A是共线的。如果有一个实数，那么B= A (A 0)，那么B和A是共线矢量；相反，如果b和a(a0)是共线矢量，那么只有一个实数，所以b= a .梳状(1)非零b= a (2) a问题类型查询例1求解(1) 2 (2a 4b)-4 (5a-2b)=(4a+8b-20a+8b)=(-16a+16b)=-4a+4b。(2)因为X=从 3 2开始的3a 2b。代入得到3 (3a 2b)-2y=a。也就是y=4a 3b。因此，x=3a 2b，y=4a 3b。跟踪培训1 (1)-10a 4b(2)a-b+c例2 (1)解b=6a，a和b共线。(2)证明：=E1 E2、=2e1 8e2 3e1-3e2=5 (E1 E2)=5，共线，公共点b，A、b和d共线。跟踪培训2 A，b，d实施例3解决方案ke1 E2与E1 ke2共线，有一个实数，所以ke1 E2= (E1 ke2)，然后(k-) E1=( k-1) E2。e