2017-2018版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 3.1 双曲线及其标准方程学案 北师大版选修1-1

1、3.1双曲线及其标准方程目标1 .了解双曲的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲的标准方程及其求解方法.3.利用双曲的定义和标准方程解决简单问题知识点双曲线的定义如图1所示，取拉锁，将其一部分打开，在打开的两侧分别固定在点F1、F2上，将钢笔笔尖放置在点m上，拉锁打开、关闭，如果能绘制曲线钢笔笔尖通过的点，曲线上的点应该满足怎样的几何条件呢思考2试着判断已知点P(x，y )的坐标满足以下条件，以下各条件下的点p的轨迹是怎样的图形(1)|-|=6；(2)-=6。从平面内到两个定点F1、F2的距离差的绝对值等于常数(大于零|F1F2|)的点的集合称为双曲线知识点2双曲线的标准方程思考1

2、双曲线的标准形式有两种，如何区分有焦点的坐标轴？思考2如图所示，类比椭圆中的a、b、c的意思，可以在y轴上找到一点b，使其成为|OB|=b吗？类型1双曲线的定义和应用命题角度1双曲线中的焦点三角形问题从例1 (1)图可知，双曲线的方程式为-=1(a0，b0)，点a、b都在双曲线的右分支上，线段AB通过双曲线的右焦点F2，|AB|=m，F1如果是双曲线的左焦点，则为补充探究在本例(2)中，如果F1PF2=90，则不改变其他条件，求出F1PF2的面积。(2)可知双曲-=1的左、右焦点分别为F1、F2，若双曲上的点p为F1PF2=60，则F1PF2的面积为反思和感知双曲线中焦点三角形面积的方法(1)

3、方法1:根据双曲的定义求|PF1|-|PF2|=2a。用侑弦定理表示|PF1|、|PF2|、|F1F2|间满意的关系式。根据配方，用整体思想求出|PF1|PF2|的值利用公式SPF1F2=|PF1|PF2|sinF1PF2求出面积。(2)方法2 :利用公式SPF1F2=|F1F2|yP|(yP是p点的纵坐标)求出面积。特别注意：要利用双曲定义解决焦点问题，一个方法是留心定定义条件|PF1|-|PF2|=2a的变形使用，特别是|PF1|2 |PF2|2，|pf1|中可知跟踪训练1的F1、F2等于双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点、点p等于c、|PF1|=2|PF2|、cos F1PF2等于()

4、甲乙丙丁。命题角度2由双曲线定义求轨迹方程式在例ABC中，已知三边长度分别为a、b、c、b (-1，0 )、c (1，0 )，求出满足sin C-sin B=sin A的顶点a的轨迹.反思和知觉定义法求双曲方程式的注意点(1)注意条件是到定点的距离差，还是差的绝对值？(2)差的绝对值为常数的情况下留心常数和两定点间的距离的大小问题(3)求出方程式后，在给出表示满足方程式的解的坐标的曲线上，向有木有留心如果已知移动圆m与圆C1:(x 4)2 y2=2外接，并且圆C2:(x-4)2 y2=2内接，则跟踪训练2的移动圆心m的轨迹方程式是()A.-=1(x) B.-=1C.-=1 D.=1求模型2双曲

5、线的标准方程式例3求出次双曲线的标准方程式(1)椭圆=1有共同的焦点，并且点(-2，)；(2)焦距长度为26，并且经过点m (0，12 )。(3)通过点P(3，)、Q(-，5 )，在坐标轴上对焦。反思与知觉保留系数法方程求解的步骤(1)定型：决定双曲线焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴(2)设定方程式：根据焦点位置设定对应的标准方程式的形式如果不知道焦点的位置就进行研究，或者设双曲线的方程式为Ax2 By2=1(AB0)双曲-=1(a0，b0)和共焦点的双曲的标准方程式可以设为-=1(-b2ka2)。(3)修正：用问题中的条件列出方程式，求出相关值(4)结论：写出双曲线的标准方程根据跟踪训练3个条

6、件求双曲线的标准方程式(1)经过c=、点a (-5，2，2 )，在x轴对焦。(2)经由点P(4，-2)和点q (2，2 )。(3)双曲线与椭圆=1有共同的焦点，并且超过了点(，4 )。由类型3双曲线标准方程求残奥仪例4已知曲线-=1(1)当曲线为椭圆时，求出m的可取值的范围，写出焦点坐标(2)当曲线为双曲线时，求出m的可取值的范围，写出焦点坐标关于反省和知觉(1)方程式=1，mn0表示双曲线，m0、n0表示以x轴为焦点的双曲线，m0、n0表示以y轴为焦点的双曲线(2)式-=1时，mn0表示双曲线，m0、n0表示以x轴为焦点的双曲线. m0、n0表示以y轴为焦点的双曲线(3)知道方程式代表的曲线

7、，当获得残奥仪表的可能值的范围时，将方程式转换为对应的曲线的标准方程式的形式，然后基于方程式中的残奥仪表的可能值的要求创建不等式(组)，并获得残奥仪表的可能值的范围。跟踪训练4已知方程-=1表示双曲线，焦距长度为10，求出实数m的值已知1.f1(3，3 )、f2(-3，3 )，如果动点p满足|PF1|-|PF2|=4，则p点的轨迹为()a .双曲线b .双曲线的一方c.d.1条放射性射线不存在2 .将f 1、F2分别设为双曲线x2-=1的左、右焦点，将p设为双曲线上的一点，且将3|PF1|=4|PF2|、PF1F2的面积设为()A.4 B.8 C.24 D.483 .如果椭圆=1和双曲线-=1

8、具有相同的焦点，则a的值为()A. B.1或-2C.1或D.14 .如果方程-=1表示双曲线，实数m的可能范围为()m-1战斗机由于C.m3 D.-1b未必成立，所以在椭圆中为了与a、b、c区别而被留心定，在椭圆中a2=b2 c2，在双曲线中c2=a2 b2。3 .使用保留系数法求双曲线的标准方程式时，判断焦点的位置，设定标准方程式后，根据条件列举a、b、c的方程式如果焦点未确定，则使用保留系数法求方程式，或以mx2 ny2=1(mn0)的形式求解答案精明问题指导学知识点1思考1曲线上的点满足条件：|MF1|-|MF2|=常数； 将钢笔笔尖的位置变更为|MF2|-|MF1|=常数，可得到另一条

9、曲线。思考2 (1) |表示从点P(x，y )到两个点f1(-5，0，0 )、f2(5，0，0 )的距离之差的绝对值，|F1F2|=10，因此，点p的轨迹是双曲线表示从点P(x，y )到两定点f1(-4，0，0 )、f2(4，0，0 )的距离的差，|F1F2|=8，|PF1|-|PF2|=6|F1F2|，因此，点p的轨迹是双曲线的右分支卡双曲线的焦点双曲线的焦距长度知识点21双曲线的标准方程式中的考虑x2和y2的系数的符号决定焦点所在的坐标轴，x2的系数为正的情况下，焦点在x轴上，x2的系数为正的情况下，焦点在x轴上，y2的系数为正的情况下，与分母的大小无关地聚焦在y轴上思考2以双曲线和x轴的

10、升交点a为圆心，以线段OF2为半径，将圆交的y轴画成点b。问题型方法例1 (1)4a 2m (2)16(1)根据双曲线的定义|AF1|-|AF2|=2a，|BF1|-|BF2|=2a。另外|AF2| |BF2|=|AB|，ABF1的周长是|AF1| |BF1| |AB|=4a 2|AB|=4a 2m。(2)从-=1得到了a=3、b=4、c=5。从定义和侑弦定理|PF1|-|PF2|=6，pf1f2|2=|pf1|2| pf2|2| pf1|pf2| co s 60，以及102=(|PF1|-|PF2|)2 |PF1|PF2|，|PF1|PF2|=64，sf1pf2=|pf1|pf2| f1pf

11、 2=64=16。补申探究解是由双曲线方程式得知的a=3，b=4，c=5，根据双曲线的定义|PF1|-|PF2|=2a=6，|PF1|2 |PF2|2-2|PF1|PF2|=36.在RtF1PF2中，根据链的定理得出|PF1|2 |PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=100.将代入中，|PF1|PF2|=32，SF1PF2=|PF1|PF2|=16。跟踪训练1 C 从双曲线的定义|PF1|-|PF2|=2，另外|PF1|=2|PF2|、|PF2|=2，|PF1|=4，|F1F2|=4，F1PF2中侑弦定理：cos F1PF2=.例2的解如图所示三信c -三信b=sin A，根据正弦定理=、

12、c-b=a=2=1，即|AB|-|AC|=1|BC|。点a的轨迹符合双曲线的定义点a的轨迹是以b、c为焦点的双曲线的右分支(点a位于BC上的情况除外)。设跟踪训练2 A 动圆m的半径为r，则是已知的|MC1|=r，|MC2|=r-，所以|MC1|-|MC2|=2。此外，c1(-4，0，0 )、c2(4，0，0 )、| c1c2|=8，2|c1c2|，从双曲线的定义可以看出，点m的轨迹是以C1 (-4，0 )、C2 (4，0 )为焦点的双曲线的右分支。因为a=、c=4，b2=c2-a2=14，点m的轨迹方程=1(x)。例3解(1)方法一椭圆=1的焦点是F1(0，-3)、f1(0，3 )。双曲线方

13、程式为-=1(a0，b0)，有的可以解开求出的双曲线方程式是-=1。方法2椭圆方程式=1得知的焦点在y轴上求出的双曲方程式为-=1(1625 )。由于双曲线超过点(-2，)，所以-=1，求解=20或=7(截断)，求出的双曲线方程式是-=1。(2)双曲线通过点m (0，12 )、m (0，12 )为双曲线的顶点，因此焦点在y轴上，a=12。另外，2c=26，c=13，b2=c2-a2=25。双曲线的标准方程是-=1(3)设双曲线方程式为mx2 ny2=1(mn0)。由于点P(3，)、Q(-，5 )位于双曲线上，所以可以解开求出的双曲方程式为-=1。设跟踪训练3解(1)双曲标准方程式为-=1(a0，b0 )，c=，b2=c2-a2=6-a2。从题意来看。求解a2=5或a2=30 (舍)。b2=1。双曲线的标准方程式是-y2=1(2)设双曲线方程式为mx2 ny2=1(mn0)。点P(4，-2)和点q (2，2 )在双曲线上，能解开(问题)双曲线的方程是-=1(3)椭圆=1的焦点坐标为F1(0，-3)、f1(0，3 )、双曲线的方程可以是-=1从题名的意思知道可以解开双曲线的方程式是-=1例4解(1)曲线为椭圆时从题名的意义上得到解m0，即m的可取值的范围是(-，0 )。此时，椭圆的焦点位