山东高考数学课件及世纪金榜答案11.6.ppt

1、,第六节 几何概型,古典概型与几何概型有哪些异同点？ 提示:古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，而几何概型的基本事件有无限个.,1.某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过2分钟的概率是( ) 【解析】选C.试验的全部结果构成的区域长度为5，所求事件的区域长度为2，故所求概率为,2.已知函数f(x)=log2x,x ,2，在区间 ,2上任取一点x0,使f(x0)0的概率为_. 【解析】由f(x0)0得，log2x00. x01，即使f(x0)0的区域为1,2 故所求概率为 答案:,3.如图所示，在直角坐标系内

2、，射线OT落在60角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在xOT内的概率为_. 【解析】射线落在直角坐标系内的任何一个位置都是等可能的，故射线OA落在xOT内的概率为 答案：,4.如图,有四个游戏盘,将它们水平放稳后,在上面扔一颗玻 璃小球,若小球落在阴影部分,则可中奖,小明要想增加中奖 机会,应选择的游戏盘的序号是_. 【解析】图(1)的概率为 ,图(2)的概率为 ,图(3)、(4) 的概率都是 ,故选择(1). 答案:(1),1.几何概型的特点 几何概型与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个，它的特点是试验结果在一个区域内均匀分布，故随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位置无

3、关，只与该区域的大小有关.,2.几何概型的常见类型 在几何概型中，当基本事件只受一个连续的变量控制时，这类几何概型是线型的；当基本事件受两个连续的变量控制时，这类几何概型是面型的，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决.,与长度有关的几何概型 【例1】在集合A=m关于x的方程x2+mx+ m+1=0无实根中随机地取一元素m，恰使式子lgm有意义的概率为_. 【审题指导】转化条件与结论，用几何概型求解. 【自主解答】由=m2-4( m+1)0得-1m4. 即A=m-1m4. 由lgm有意义知m0，即使lgm有意义的范围是(0，4

4、) 故所求概率为 答案:,【规律方法】将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解.,【变式训练】在半径为1的圆的一条直径上任取一点,过这个点作垂直于直径的弦,则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是_.,【解析】记事件A为“弦长超过圆内接等 边三角形的边长”，如图，不妨在过等 边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一 点F，作垂直于直径的弦，当弦为CD时， 就是等边三角形的边长(此时F为OE的中 点)，弦长大于CD的充要条件是圆心O到弦的距离小于

5、OF， 由几何概型公式得： 答案：,与不等式(组)表示的平面区域有关的几何概型 【例2】设AB=6,在线段AB上任取两点(端点A、B除外),将线段AB分成了三条线段, (1)若分成的三条线段的长度均为正整数,求这三条线段可以构成三角形的概率; (2)若分成的三条线段的长度均为正实数,求这三条线段可以构成三角形的概率.,【审题指导】(1)基本事件个数为有限个,用古典概型求解. (2)基本事件个数为无限个,用几何概型求解.引入两个变量,寻找两个变量满足的条件,利用线性规划的有关知识求面积.,【自主解答】(1)若分成的三条线段的长度均为正整数,则三条线段的长度所有可能情况是1,1,4;1,2,3;2

6、,2,2，共3种情况,其中只有三条线段长为2,2,2时,能构成三角形,故构成三角形的概率为,(2)设其中两条线段长度分别为x、y，则第三条线段长度为6-x-y，故全部试验结果所构成的区域为： 即 所表示的平面区域为OAB.,若三条线段x,y,6-x-y能构成三角形， 则还要满足 即为 所表示的平面区域为DEF， 由几何概型知，所求概率为,【规律方法】1.解答此类问题，判断所求概率模型的类型是关键，而判断的主要依据是试验结果的有限性或无限性. 2.对于几何概型问题,根据题意列出条件，找出试验的全部结果构成的区域及所求事件构成的区域是解题的关键,这时常常与线性规划问题联系在一起.,【变式训练】(2

7、011济宁模拟）两人相约6时到7时在某地见面,先到者等候另一人10分钟,如果另一人还没到,这时方可离去,试求这两人能会面的概率. 【解题提示】此题涉及了两个变量,应设未知数,根据条件列出所有不等式,转化为坐标平面内的平面区域,用几何概型求解.渗透了转化,数形结合等重要的数学思想方法.,【解析】设x、y分别表示两人到达的时刻, 则 即,其平面区域为,【例】已知集合A=x|-1x0,集合B=x|ax+b2x-10, 0a2,1b3. (1)若a,bN,求AB 的概率. (2)若a,bR,求AB= 的概率.,【审题指导】(1)当a,bN时,基本事件总数为9,设 f(x)=ax+b2x-1,x-1,0

8、，利用导数求f(x)的最小值， 通过最小值确定AB 时a,b的关系. (2)当a,bR时,所求概率为几何概率模型,仍然通过f(x)的 最小值确定AB= 时a,b的关系,然后利用线性规划求面积.,【规范解答】(1)a,bN, (a,b)可取(0,1),(0,2),(0,3),(1,1),(1,2),(1,3), (2,1),(2,2),(2,3),共9组. 令函数f(x)=ax+b2x-1,x-1,0, 则f(x)=a+bln22x. 因为a0,2,b1,3,所以f(x)0, 即f(x)在-1,0上是单调递增函数.,f(x)在-1,0上的最小值为 要使AB ,只需ax+b2x-10. 所以(a,

9、b)只能取(0,1),(1,1),(1,2),(1,3),(2,1), (2,2),(2,3),共7组. 所以AB的概率为,(2)因为a0,2,b1,3,所 以(a,b)对应的区域为边长为2的正 方形(如图),面积为4. 由(1)可知，要使AB= , 只需ax+b2x-10在-1,0上无解,即f(x)min=-a+ -10 2a-b+20,所以满足AB= 的(a,b)对应的区域是图中的阴影部分, 所以S阴影= 所以AB= 的概率为,【规律方法】本题中寻找使AB 或AB= 成立的a、b的值是难点，借助于函数，转化为函数在-1,0上有无解的问题，再利用函数的最值求解是解题的突破口.,【变式备选】设

10、有关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0. (1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数,b是从0,1,2三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率; (2)若a是从区间0,3内任取的一个数,b是从区间0,2内任取的一个数,求上述方程有实根的概率.,【解析】设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实根”，当a0, b0时，方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为ab. (1)基本事件共有12个，即(0,0),(0,1),(0,2),(1,0), (1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2), 其中第一个数表示a的取值，第二个数表示

11、b的取值. 事件A中包含9个基本事件， 故事件A发生的概率为,(2)试验的全部结果所构成的区域为(a,b)|0a3,0b2，如图中 的矩形,构成事件A的区域为 (a,b)|0a3,0b2,ab， 如图中阴影部分,所以,所求的概率为,与定积分求面积相结合的几何概型 【例】(2011广州模拟)在平面区域(x,y)y-x2+2x，且y0内任意取一点P，则所取的点P恰是平面区域 (x,y)yx,x+y2,且y0内的点的概率为_.,【审题指导】画出两个平面区域，用几何概型求解. 【规范解答】设A=(x,y)y-x2+2x，且y0. B=(x,y)yx,x+y2,且y0，如图所示平面区域A是 抛物线与x轴

12、围成的区域， 平面区域B是三角形区域， 且 故所求概率为 答案：,【规律方法】解答此类题目的关键是正确画出试验的全部结果构成的区域及事件发生的区域，然后对曲边梯形的区域用定积分求出面积.,【互动探究】本例中，其他条件不变，求点P恰是平面区域 （x,y）yx2,0 x1,y0内的点的概率是多少？ 【解析】设C= （x,y）yx2,0 x1,y0 则 故所求概率为：,【变式备选】如图，在一个长为， 宽为2的矩形OABC内，曲线y=sinx (0 x)与x轴围成如图所示的阴 影部分，向矩形OABC内随机投一点 (该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( ),【解析

13、】选B.所投的点落在阴影部分的概率是 而 所以所求概率为： 故选B.,几何概型与定积分的完美结合 【典例】(2010陕西高考)从如图所示的 长方形区域内任取一个点M(x,y)，则点M 取自阴影部分的概率为_. 【审题指导】用定积分求出阴影部分 的面积，用几何概型求解.,【自主解答】根据题意得： 则点M取自阴影部分的概率为 答案:,【创新点拨】本题是与面积有关的几何概型问题，而定积分是求曲边梯形面积的有力工具，二者结合命题，增加了题目的新颖性，预计2012年高考仍然有可能在此处命题.解决此类问题主要是利用定积分求出面积，然后求概率.,【变式训练】如图所示,在一个边长为 1的正方形AOBC内,曲线

14、y=x2和曲线 围成一个叶形图(阴影部分),向正 方形AOBC内随机投一点(该点落在正方 形AOBC内任何一点是等可能的),求所投的点落在叶形图内部的概率.,【解析】叶形图的面积为 故所求概率为,1.(2011西城模拟)一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( ) 【解析】选B.蜜蜂安全飞行的空间是棱长为1的正方体，故所求概率为,2.(2011东城模拟)某人向一个半径为6的圆形标靶射击，假设他每次射击必定会中靶，且射中靶内各点是随机的，则此人射击中靶点与靶心的距离小于2的概率为( )

15、【解析】选B.靶点与靶心的距离小于2的区域是以靶心为圆心以2为半径的圆的内部，故所求概率为,3.(2010湖南高考)在区间-1，2上随机取一个数x， 则x1的概率为_. 【解析】由x1得x-1,1，区间-1,1的长度为2，区间-1,2的长度为3，故所求概率为 答案:,4.(2011长沙模拟)在腰长为2的等腰直角三角形ABC内任取一点，则该点到此三角形的直角顶点的距离小于 的概率为_. 【解析】由几何概型计算公式可知到此三角形的直角顶点的距离小于 的区域是以顶点为圆心，半径为 的 圆面. 故 答案:,一、选择题(每小题4分，共20分) 1.(2011福州模拟)一只小蜜蜂在边长为4的正三角形内爬行

16、，某时刻此小蜜蜂距三角形三个顶点的距离均超过1的概率为( ),【解析】选B.如图以三角形三个顶点为圆心，以1为半径画弧，当小蜜蜂在图中阴影部分时，到三角形三个顶点的距离均超过1， 又 设图中空白部分的面积为S，则 所求概率为,2.(2011临沂模拟）如图,矩形长 为6,宽为4,在矩形内随机地撒300颗 黄豆,数得落在椭圆外的黄豆数为96 颗,以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为( ) （A）7.68 （B）16.32 （C）17.32 （D）8.68,【解析】选B.由几何概型得,3.已知正三棱锥S-ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得 的概率是( ) 【解析】选A.

17、当点P到底面ABC的距离小于 时 由几何概型知 所求概率为,4.(2011南京模拟)在区间-5,5内随机地取出一个数a，则恰好使1是关于x的不等式2x2+ax-a22或a-1. 故当a-5,-1)(2,5时，1是关于x的不等式2x2+ax-a20的一个解. 故所求概率为,5.在区间(0，1)上任取两个数，则两个数之和小于 的概率是( ) 【解题提示】基本事件受两个连续的变量控制，可把两个变量分别作为点的横坐标和纵坐标，画出图形，然后用几何概型求解.,【解析】选D.设这两个数是x,y，则试验所有的基本事件构成的区域是 确定的平面区域，所求事件包含的基本事件是由 确定的平面区域， 如图所示. 阴影

18、部分的面积是 所以两个数之和小于 的概率是,二、填空题(每小题4分，共12分) 6.点A为周长等于3的圆周上一个定点,若在该圆周上随机取一点B,则劣弧 的长度小于1的概率为_. 【解析】试验的全部结果构成的区域长度为3,所求事件发生的区域长度为2,故所求的概率为 答案:,7.在区间-1,1上随机取一个数x, 的值介于0到 之间的概率为_. 【解题提示】解答本题的关键是根据不等式 求x的范围.可先根据x的范围确定 的范围.,【解析】在区间-1,1上随机取一个数x,试验的全部结果构成的区域长度为2; 又-1x1, 设事件A为 的值介于0到 之间. 则事件A发生的区域长度为 . 答案:,【方法技巧】

19、与长度有关的几何概型的求解方法 用几何概型求事件A的概率时，经常遇到与路程、线段、长度等有关的问题.这时，就要运用与长度有关的几何概型解答问题.在计算概率前，必须弄清楚构成整个事件的长度是多少，构成事件A的长度是多少，然后代入 有时与长度有关的几何概型，题干并不直接给出，而是将条件隐藏，与其他知识综合考查.,8.(2011泉州模拟)图2中实线围成的部分是长方体(图1)的 平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形.若向虚线 围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图 内的概率是 ，则此长方体的体积是_.,【解析】设长方体高为x，由题意知 2x2-5x-3=0, x=3.长方体体积为113=3. 答案:3,三、解答题(每小题9分，共18分) 9.如图所示，在单位圆O的某一直径上随机地取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率.,【解析】弦长不超过1，即OQ ，而Q点在直径AB上是随机的，事件A=弦长超过1. 由几何概型的概率公式得 弦长不超过1的概率为 所求弦长不超过1的概率为,10.已知复数z