材料力学-第2章.ppt

1、,第2章 内力与内力图,材料力学,第2章 内力与内力图,在“理论力学”中，忽略了物体的变形，将所研究的对象抽象为刚体。实际上，任何固体受力后其内部质点之间均将产生相对运动，使其初始位置发生改变，称之为位移（displacement），从而导致物体发生变形（deformation）。,工程上，绝大多数物体的变形均被限制在弹性范围内，即当外加载荷消除后，物体的变形随之消失，这时的变形称为弹性变形（elastic deformation），相应的物体称为弹性体（elastic body）。,本章将理论力学的等效、简化以及平衡的概念和方法加以扩展，并应用于弹性体，分析弹性体在载荷作用下产生的内力以及内

2、力分量，作为其后的应力分析以及静力学设计的基础。, 弹性体在外力作用下产生的 附加内力, 杆件横截面上的内力与内力 分量, 外力与内力之间的相依关系, 内力图, 刚架的内力图, 结论与讨论,第2章 内力与内力图, 弹性体在外力 作用下产生的附加内力,返回,返回总目录,第2章 内力与内力图,内力(Internal Forces),弹性体受力后，由于变形，其内部各点均会发生相对位移，因而产生相互作用力。, 弹性体在外力作用下产生的附加内力, 弹性体在外力作用下产生的附加内力,弹性体内力的特征:, 弹性体在外力作用下产生的附加内力,(1)连续分布力系,(2)与外力组成平衡力系(特殊情形下内力本身形成

3、自相平衡力系), 杆件横截面上的 内力与内力分量,返回,返回总目录,第2章 内力与内力图, 杆件横截面上的内力与内力分量, 内力主矢、内力主矩与内力分量, 内力分量的正负号规则, 杆件横截面上的内力与内力分量, 内力主矢、内力主矩与内力分量,分布内力,内力主矢与主矩, 杆件横截面上的内力与内力分量, 内力主矢、内力主矩与内力分量,内力主矢与内力主矩(Resultant Force and Resultant Moment), 杆件横截面上的内力与内力分量, 内力主矢、内力主矩与内力分量,内力分量(Components of the Internal Forces),FN轴力：产生轴向的伸长或缩

4、短变形； FQ剪力：产生剪切变形； Mx扭矩：产生扭转变形； MB（ My或Mz)弯矩:产生弯曲变形。,叠加原理,在一定条件下，杆件所有内力分量作用的效果，可以视为各个内力分量单独作用效果的叠加。通常可归结为三组平面内内力分量与外力：, 杆件横截面上的内力与内力分量, 内力主矢、内力主矩与内力分量,xy 平面,xz平面,yz 平面,xy 平面和xz平面 的作用效果是相似的。, 杆件横截面上的内力与内力分量, 内力主矢、内力主矩与内力分量, 杆件横截面上的内力与内力分量, 内力分量的正负号规则, 基本概念与基本方法, 杆件内力分量的正负号规则,扭矩Mx扭矩矢量方向与截面外法线方向一致者为正；反之

5、为负。,弯矩M(My或Mz)一作用在左侧面上使截开部分逆时针方向转动；或者作用在右侧截面上使截开部分顺时针方向转动者为正；反之为负。, 基本概念与基本方法, 杆件内力分量的正负号规则, 外力与内力之间的相依关系,返回,返回总目录,第2章 内力与内力图, 外力与内力之间的相依关系, 弹性体平衡原理, 截面法, 杆件内力变化的一般规律, 控制面, 描述载荷与内力分量之间 关系的平衡微分方程, 外力与内力之间的相依关系, 弹性体平衡原理,刚体平衡概念的扩展和延伸：总体平衡，则其任何局部也必然是平衡的。,总体平衡与局部平衡的概念, 外力与内力之间的相依关系, 弹性体平衡原理,刚体平衡概念的扩展和延伸：

6、总体平衡，则其任何局部也必然是平衡的。,总体平衡与局部平衡的概念, 外力与内力之间的相依关系, 弹性体平衡原理, 外力与内力之间的相依关系, 截面法,应用截面法可以确定杆件任意横截面上的 内力分量, 用假想截面从所要求的截面处将杆截为两部分, 考察其中任意一部分的平衡, 由平衡方程求得横截面的内力分量,C, 外力与内力之间的相依关系, 截面法, 外力与内力之间的相依关系, 杆件内力变化的一般规律, 某一截面上的内力与作用在该截面一侧局部杆件上的外力相平衡；, 在荷载无突变的一段杆的各截面上内力按相同的规律变化。, 外力与内力之间的相依关系, 杆件内力变化的一般规律,杆件各截面上内力变化规律随着

7、外力的变化而改变。,结 论, 外力与内力之间的相依关系, 杆件内力变化的一般规律, 外力与内力之间的相依关系, 控制面,控制面的概念, 外力与内力之间的相依关系, 控制面,外力规律发生变化截面集中力、集中力偶作用点、分布荷载的起点和终点处的横截面。, 外力与内力之间的相依关系, 控制面,根据以上分析，在一段杆上，内力按某一种函数规律变化，这一段杆的两个端截面称为控制面（control cross-section）。据此，下列截面均可为控制面：, 集中力作用点的两侧截面； 集中力偶作用点的两侧截面； 均布载荷（集度相同）起点和终点处的截面。, 外力与内力之间的相依关系, 描述载荷与内力分量之间

8、关系的平衡微分方程, 外力与内力之间的相依关系, 描述载荷与内力分量之间 关系的平衡微分方程,考察 dx 微段的受力与平衡, 外力与内力之间的相依关系, 描述载荷与内力分量之间 关系的平衡微分方程,考察 dx 微段的受力与平衡,Fy=0:,MC=0:,FQ+q dx- FQd FQ =0,-M+(M+dM)- FQ dx-q dx dx /2=0, 外力与内力之间的相依关系, 描述载荷与内力分量之间 关系的平衡微分方程,略去高阶项，得到,Fy=0:,MC=0:,FQ+q dx- FQd FQ =0,-M+(M+dM)- FQ dx-q dx dx /2=0,此即适用于所有平面载荷作用情形的平衡

9、微分方程。,根据上述微分方程，由载荷变化规律，即可推知内力FQ 、M 的变化规律。, 内力图,返回,返回总目录,第2章 内力与内力图, 内力图,应用平衡微分方程以及控制面上的内力分量，即可确定两控制面之间的内力分量沿杆长度方向变化的表达式与变化曲线，二者分别称为内力方程（equation of Internal forces）与内力图（diagram of internal forces）。本节将主要介绍以下几种工程上常见的内力图：轴力图、剪力图、弯矩图。重点是剪力图和弯矩图。, 内力图, 轴力图, 剪力图与弯矩图, 轴力图, 内力图, 内力图, 轴力图,当所有外力均沿杆的轴线方向作用时，杆的

10、横截面上只有轴力FN一种内力分量。表示轴力沿杆轴线方向变化的图形，称为轴力图（diagram of normal forces）。, 轴力图,直杆，A端固定，在B、C两处作用有集中载荷F1和F2，其中F15 kN，F210 kN。,试画出：杆件的轴力图。,例题1,解：1. 确定A处的约束力,A处虽然是固定端约束，但由于杆件只有轴向载荷作用，所以只有一个轴向的约束力FA。,求得 FA5 kN,由平衡方程, 内力图, 轴力图例题1,解：2. 确定控制面,3. 应用截面法求控制面上的轴力 用假想截面分别从控制面A、 B 、B、 C处将杆截开，假设横截面上的轴力均为正方向（拉力），并考察截开后下面部分

11、的平衡。,在集中载荷F2、约束力FA作用处的A、C截面，以及集中载荷F1作用点B处的上、下两侧横截面都是控制面。, 内力图,3.应用截面法求控制面上的轴力 用假想截面分别从控制面A、 B 、B、 C处将杆截开，假设横截面上的轴力均为正方向（拉力），并考察截开后下面部分的平衡，求得各截面上的轴力：, 轴力图例题1, 内力图,3. 应用截面法应用截面法求控制面上的轴力 用假想截面分别从控制面A、 B 、B、C处将杆截开，假设横截面上的轴力均为正方向（拉力），并考察截开后下面部分的平衡，求得各截面上的轴力：, 内力图, 轴力图例题1,3. 应用截面法应用截面法求控制面上的轴力 用假想截面分别从控制面

12、A、 B 、B、C处将杆截开，假设横截面上的轴力均为正方向（拉力），并考察截开后下面部分的平衡，求得各截面上的轴力：, 内力图, 轴力图例题1,3. 应用截面法应用截面法求控制面上的轴力 用假想截面分别从控制面A、 B 、B、C处将杆截开，假设横截面上的轴力均为正方向（拉力），并考察截开后下面部分的平衡，求得各截面上的轴力：, 内力图, 轴力图例题1, 内力图,4. 建立FNx坐标系，画轴力图,FNx坐标系中x坐标轴沿着杆件的轴线方向，FN坐标轴垂直于x轴。, 轴力图例题1, 内力图,将所求得的各控制面上的轴力标在FNx坐标系中,连线后，得到杆的轴力图。, 轴力图例题1, 内力图, 轴力图例题

13、1,根据以上分析，绘制轴力图的方法, 确定约束力；, 根据杆件上作用的载荷以及约束力，确定控制面，也就是轴力图的分段点；, 应用截面法，用假想截面从控制面处将杆件截开，在截开的截面上，画出未知轴力，并假设为正方向；对截开的部分杆件建立平衡方程，确定控制面上的轴力, 建立FNx坐标系，将所求得的轴力值标在坐标系中，画出轴力图。, 内力图, 轴力图, 内力图, 剪力图与弯矩图, 内力图, 剪力图与弯矩图,作用在梁上的平面载荷如果不包含纵向力，这时梁的横截面上只有剪力FQ和弯矩M两种内力分量。表示剪力和弯矩沿梁轴线方向变化的图形，分别称为剪力图（diagram of shearing forces）

14、和弯矩图（diagram of bending moment）。, 内力图, 剪力图与弯矩图,剪力图与弯矩图的绘制方法与轴力图大体相似，但略有差异。主要步骤如下：, 根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。, 应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值。, 建立FQx和Mx坐标系，并将控制面上的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。, 应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。,简支梁受力的大小和方向如图示。,例题2, 剪力图与弯矩图,试画出：其剪力图和弯矩图,并确定剪力和弯矩绝对值的最大值。,解：1确定约束力,求得A、F 二处的约束力 FRA0.89 kN ,

15、FRF1.11 kN,根据力矩平衡方程, 内力图, 剪力图与弯矩图例题 2,解：2确定控制面,在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力内侧截面均为控制面，即A、B、C、D、E、F各截面均为控制面。,3建立坐标系 建立FQx和Mx坐标系, 内力图,5根据微分关系连图线 因为梁上无分布载荷作用，所以剪力FQ图形均为平行于x轴的直线；弯矩M图形均为斜直线。于是，顺序连接FQx和Mx坐标系中的a、b、c、d、e、f各点，便得到梁的剪力图与弯矩图。,解：4应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩值，并将其标在FQx和Mx坐标系中。, 内力图, 剪力图与弯矩图例题 2,6确定剪力与弯矩的最大绝对值,从图中

16、不难得到剪力与弯矩的绝对值的最大值分别为,(发生在EF段),(发生在D、E截面上), 内力图, 剪力图与弯矩图例题 2,从所得到的剪力图和弯矩图中不难看出AB段与CD段的剪力相等，因而这两段内的弯矩图具有相同的斜率。此外，在集中力作用点两侧截面上的剪力是不相等的，而在集中力偶作用处两侧截面上的弯矩是不相等的，其差值分别为集中力与集中力偶的数值，这是由于维持DE小段和BC小段梁的平衡所必需的。建议大家自行加以验证。, 内力图, 剪力图与弯矩图例题 2,例题3, 剪力图与弯矩图,梁由一个固定铰链支座和一个辊轴支座所支承，但是梁的一端向外伸出，这种梁称为外伸梁(overhanging beam)。梁

17、的受力以及各部分尺寸均示于图中。,试画出：其剪力图和弯矩图,并确定剪力和弯矩绝对值的最大值。,解：1确定约束力,根据梁的整体平衡，由,求得A、B 二处的约束力, 内力图, 剪力图与弯矩图例题 3,解：2确定控制面,由于AB段上作用有连续分布载荷，故A、B两个截面为控制面，约束力FBy右侧的C截面，以及集中力qa左侧的D截面，也都是控制面。,3建立坐标系 建立FQx和Mx坐标系, 内力图,解：4确定控制面上的剪力和弯矩值，并将其标在FQx和Mx坐标系中。, 剪力图与弯矩图例题 3, 内力图,5根据微分关系连图线 对于剪力图：在AB段，因有均布载荷作用，剪力图为一斜直线，于是连接a、b两点，即得这

18、一段的剪力图；在CD段，因无分布载荷作用，故剪力图为平行于x轴的直线，由连接c、d二点而得，或者由其中任一点作平行于x轴的直线而得。, 剪力图与弯矩图例题 3, 内力图,5根据微分关系连图线 对于弯矩图：在AB段，因有均布载荷作用，图形为二次抛物线。又因为q向下为负，弯矩图为凸向M坐标正方向的抛物线。于是，AB段内弯矩图的形状便大致确定。为了确定曲线的位置，除AB段上两个控制面上弯矩数值外，还需确定在这一段内二次抛物线有没有极值点，以及极值点的位置和极值点的弯矩数值。从剪力图上可以看出，在e点剪力为零。, 剪力图与弯矩图例题 3, 内力图,6确定弯矩图极值点的位置。, 剪力图与弯矩图例题 3,

19、 内力图,7确定剪力与弯矩的最大绝对值,从图中不难得到剪力与弯矩的绝对值的最大值分别为, 剪力图与弯矩图例题 3, 内力图,意到在右边支座处，由于约束力的作用，该处剪力图有突变（支座两侧截面剪力不等）弯矩图在该处出现折点（弯矩图的曲线段在该处的切线斜率不等于斜直线cd的斜率）。, 剪力图与弯矩图例题 3, 内力图, 内力图, 剪力图与弯矩图,例 题 4, 内力图, 剪力图与弯矩图,FQ,例 题 5, 内力图, 剪力图与弯矩图,例 题 6, 刚架的内力图,返回,返回总目录,第2章 内力与内力图,B,刚架的组成横梁、立柱与刚节点。, 刚架的内力图, 面内载荷作用下，刚架各杆横截面上的内力分量轴力、

20、剪力和弯矩。,特 点, 内力分量的正负号与观察者位置的关系：, 刚架的内力图,轴力的正负号与观察者位置无关；,剪力的正负号与观察者位置无关；,弯矩的正负号与观察者位置有关。, 刚架的内力图,轴力的正负号与观察者位置无关, 刚架的内力图,剪力的正负号与观察者位置无关, 刚架的内力图,弯矩的正负号与观察者位置有关,刚架内力图的画法,(1) 无需建立坐标系； (2) 控制面、平衡微分方程； (3) 弯矩的数值标在受拉边；, 刚架的内力图,(4) 轴力、剪力画在里侧和外侧均可， 但需标出正负号；,(5) 注意节点处的平衡关系。,节点处的平衡关系, 刚架的内力图,B,例 题 7, 刚架的内力图,已知平面

21、刚架上的均布载荷集度q,长度l。,B,试：画出刚架的内力图。, 刚架的内力图,B,解：1.确定约束力, 例题 7,解：2.确定控制面。, 刚架的内力图, 例题 7,解：3.确定控制面上的内力。,考察竖杆AB的平衡, 刚架的内力图, 例题 7,解：3.确定控制面上的内力。,考察 横杆BC的平衡, 刚架的内力图, 例题 7,解：4.画剪力图和弯矩图。, 将控制面上的剪力和弯矩分别标在FQ和M坐标中。, 根据微分关系连图线。, 剪力图标上正负号。, 弯矩图画在受压的一侧。, 刚架的内力图, 例题 7,解：4.画轴力图。, 将控制面上的轴力标在FN坐标中。, 连图线。, 根据轴力的拉、压性质，在图上标上正负号。, 刚架的内力图, 例题 7,例 题 7, 刚架的内力图, 结论与讨论,返回,返回总目录,第2章 内力与内力图, 重要结论, 平衡微分方程的灵活应用,