固体物理ch6-1.ppt

1、第六章能源乐队理论、能源乐队论是目前研究固体中电子态、说明固体性质最重要的理论基础。 其出现是量子力学和量子统计在固体中应用的最直接和最重要的结果。 乐队论解决了Sommerfeld自由电子论在处理金属问题时留下的许多问题，为今后固体物理学的发展奠定了基础。 能量乐队论的基本出发点是固体中的电子能够在固体中运动，而不是完全局限于某个原子的周围，被称为共有化电子。 但是，电子在运动中也不像自由电子那样完全受到力的作用，电子在运动中受到晶格原子势场的作用。 能量乐队论的两个基本假设： BornOppenheimer绝热近似：所有原子核都周期性地静止排列在其晶格点位置，因此电子和声子的碰撞被忽略。

2、HatreeFock平均场近似：忽略电子与电子之间的相互作用，将电子与电子之间的相互作用置换为平均场。 即，假定各个电子所处的电势场完全相同，电子的电势能量与只该电子的位置关系，而与其他的电子的位置无关。 这些个的两个基本假言能够单独进行，称为单个电子近似，因为每个电子都在完全相同的严格周期电位场中运动。 因此，能量乐队论是单电子近似的理论。 用这种方法求出的电子能的状态不再是个别的能级，而是由能量的联合乐队和禁带之间构成的能量乐队，因此将这种理论称为能量乐队论。 考虑到6.1 Bloch定理、一、周期场模型、理想的完整晶体，所有的原子都周期性地静止排列在其平衡位置上，各个电子在自身以外的电子

3、的平均势场和原子实的周期场中运动，这样的模型称为周期场模型。 二、Bloch定理，周期场中描述电子运动的Schrdinger方程式，其中U(r)=U(r Rl )是周期性电位场，而rl=l1a-1 l2a-2 l3a-3是晶格向量，方程式的解是。 这个结果称为Bloch定理。 Bloch函数证明可以为任何函数f(r )定义一个平移算子t，因为势场的周期性反映晶格的平移对称性。 其中，a、1、2、3是格子的3个基矢量。 因为f(r )是任意函数，所以TT T T=0，即t和t是容易的。 此外，因为f(r )是任意函数，所以t和h也很容易，也就是说，T HH T 0根据量子力学可知，t和h具有共同

4、的本征状态。 将(r )作为共同的特征值。 其中是平移运算符t的特征值。 引入周期性边界条件来确定平移运算符的特征值。 设结晶为长方体，其棱边的三个基矢量方向，N1、N2和N3分别为沿着a1、a2和a3方向的原单元数，即结晶的总原单元数为NN1N2N3。 (设为非简并性)、周期性边界条件：所以导入向量。 其中b1、b2和b3是倒晶格基矢量，并且定义新函数：这指示uk(r )是以晶格向量Rl为周期的周期函数。 对于证完、二、一些讨论、一、布里昂区，波形向量k是与平移算子的特征值相对应的量子数，其物理意义表示不同的原细胞球间电子波函数的相位变化。 例如，1反映了沿着方向a-1的两个相邻文档细胞球中

5、的与周期相对应的两个点之间的电子波函数的相位变化。 不同的波向量k表示原始单元，其描述了不同的相位差，即，晶体中的电子的不同运动状态。 然而，如果两个波形向量k与k相差一个反格向量Gn，则可以证明对应于两个这些个波形向量的平移算子本征值相同。 对于k :k-kgn :1，2，3，表示这些个的两个波形向量k与k-k gn中所记述的电子在晶体中的运动状态相同。 因此，为了使k与运动向量的特征值一对一地对应，k必须限制在一定范围内，能够总结所有可能的不同值，并且不是两个向量k只有一个反格向量Gn。类似于讨论该晶格振动，对于包括由各反向栅格向量的垂直平分线所包围的原点的最小闭合体积，即简约区或第一布里

6、昂区，k通常是： 另外，如果将k限制为简约区域取值，则称为简约波向量，如果k在k空间整体取值，则称为广波向量。 由于h1、h2和h3是整数，因此k的可能值不连续，从而在k空间中，k的可能值构成一个空间格子，称为状态空间栅格。 各量子态k占k空间的体积表示，在k空间中，向量k的分布密度表示，在简约区域中，向量k取的值的总数为2. Bloch函数的性质、Bloch函数和前进波因子表示在结晶中运动的电子不再存在于某一原子周围，能够在结晶中运动。 那个运动有着前进平面波的形状。 在那么中，周期函数的作用是调制该波形的幅度以从一个原单元周期性地振动到下一个原单元，因为这不会影响状态函数具有前进波特性。

7、可知，结晶中电子：自由电子：孤立原子：结晶中运动的电子的波函数介于自由电子和孤立原子之间，是两者的组合。 如果晶体中的电子运动完全自由，电子被完全束缚在某个原子的周围。 但是，实际上结晶中的电子并非完全自由，也并非完全被某个原子的周围束缚，因此其波函数具有形状。 周期函数的性质反映了电子和晶格相互作用的强弱。 在Bloch函数中，前进波因子描述晶体中的电子的共有化运动，即被认为电子能够在整个晶体中运动的周期函数因子描述电子的原子内运动，并取决于原子内电子的势场。 从能量的观点来看，如果电子只是原子内运动(孤立原子的情况)，电子的能量取个别能级的电子只是共有化运动(自由电子的情况)，电子的能量连

8、续取值。 晶体中的电子运动介于自由电子和孤立原子之间，由于共有化运动和原子内运动，电子的能取值表现为由能量的号码和禁带之间构成的能量能带结构。 另外，在固体物理中，能量乐队论是从周期性势场导出的，这是因为关于固体的性质的研究首先从结晶状态固体开始。 周期势场的引入也简化了问题，便于理论研究。 因此，结晶固体是固体物理的主要研究对象。 然而，已经证实，周期性电势场不是电子具有能带结构的必要条件，并且电子也具有类似的能带结构。 电子乐队的形成是因为原子和原子结合成为固体时，原子间存在相互作用的结果，原子结合的是结晶状态还是非晶状态，即原子的排列具有平移对称性，这不是形成乐队所必需的条件。 6.2在

9、一维度周期场中电子运动的近自由电子近似、一、近自由电子近似、周期场中，电子的势能的位置变化(起伏)比较小，电子的平均动能一直大于其势能的绝对值时，电子的运动基本自由。 因此，自由电子可视为其零水平近似，周期场的影响可视为小的微干扰作用。 二、运动方程和微干扰作用修正运算，Schrdinger方程：周期性势场：a是光栅常数，Fourier展开：其中，势均值根据近自由电子模型，Un为微量。 电子势能是实数，得到U(x)=U*(x )、Un*=U-n。1 .非简并性微干扰作用，其中，零水平近似和微干扰作用项通过将上述展开式(分别展开为电子能量E(k )和波函数(k ) )代入Schrdinger方程

10、，得到零水平近似方程：能量本征值：二次微干扰作用能量：其中，所求得的电子的能量为电子波函数，其中容易证明uk(x) uk(x a )为以a为周期的周期函数。 由此可知，将位置不同，势能变化的部分作为微干扰作用求得的近似波函数，确实满足了Bloch定理。 该波函数包括两个部分，第一部分是频率k的行波平面波，第二部分是该平面波受周期场影响产生的散射波。 因子是频率kk 2n/a的散射波的幅度。 通常，由于从各原子产生的散射波的相位各不相同，因此相互抵消，周期场对行进平面波的影响少，散射波中的各成分的振幅小，能够通过微干扰作用法处理。 但是，从邻接原子产生的散射波(即反射波)成分具有相同的相位，例如

11、若行进平面波的波长2/k正好满足条件2an，则邻接的2原子的反射波具有相同的相位，它们相互变强，行进的平面波较大地干扰作用。 此时，周期场的影响其不被认为是微干扰作用，但在时刻、即在散射波中，该分量的振幅无限大，所以一次校正项过大，不能适用微干扰作用。 可以从上式求出，可替换地，这实际上是Bragg反射条件2asinn是正入射的情况(sin1)的结果。 2、简并性和微干扰作用，这就是布里昂区的边界方程。 即，在布里渊区的边界，此时这些个的两个状态的能量相等，是简并性状态。 必须用简并性微干扰作用处理。 因为求和彼此是前进波和反射波，所以0阶逼近的波函数被认为是这些个两个波的线性组合。 实际上，

12、当k和k接近于布里昂区的边界时，即，有时由于散射波相当强，也必须写入零阶近似的波函数，并用Schrdinger方程来代替，由此将上述公式分别与k(0)*或k相乘，因此在k个状态中此时，将上述公式展开为Taylor，与Ek(0) Ek(0)的情况相对应，上述公式的结果类似于上述非简并性微干扰作用校正运算的结果，但是在前进波为k状态时，在所产生的散射波中仅留下k状态的影响。 另一方面，当前进波为k状态时，只剩下k状态的影响。 即，仅考虑k和k的微干扰作用的相互影响，忽略影响小的其他散射波。 影响的结果，使原来的能量高的k状态的能量上升，使能量低的k状态的能量下降，即微干扰作用的结果，使k状态和k状

13、态的能量差进一步增大。 (2)这表示k和k接近布里渊区的边界，展开e。 其中在布里渊区的边界是自由电子的动能。 以上的结果表示，两个相互影响的状态k和k，微干扰作用后的能量分别为e和e，0时，k状态的能量比k状态高，微干扰作用后k状态的能量上升，k状态的能量下降。 在0的情况下，e分别以抛物线指向TnUn。 相对于0，k状态的能量比k状态高，微干扰作用的结果k状态的能量上升，k状态的能量下降。 根据以上分析可知，由于周期场的微干扰作用，E(k )函数在布尔区的边界k=n/a处出现不连续，能量的突然变异是将该能量突然变异称作能隙，即称作禁带宽度的周期场作用的结果。 另一方面，在远离布里渊区的边界

14、的远表兄弟处，电子的能量与自由电子的能量大致相等，并且是k的连续函数，此时周期场对电子运动的影响小，电子的运动特性与自由电子大致相同。、Ek(0)、Ek(0)、e、e、Tn、Tn、6.3三次元周期场中电子运动的近自由电子近似、一、方程式和微干扰作用校正运算、方程式：一次校正的波函数和二次微干扰作用能量分别在k远离布里渊区的边界时，周期场的影响引起的各散射波分量的振幅小，小然而，在布里昂区的边界面上或者其附近，即k2(k Gn)2的情况下，此时的散射波成分的振幅变大，不能作为小的微干扰作用来处理，而使用简并性微干扰作用来处理。 零级近似的波函数由相互作用强的几个状态的线性组合组成，由此在布里安区

15、界面进行简并性分裂的能量在三维情况下，在布里安区界面上的一般位置电子的能量是双重简并性，即两个状态的相互作用强，该零级近似的波函数是这两个状态的线性组合吗？ 另一方面，在布里昂区边界的棱线上和顶点上，有时能量会多重简并性。 由于g的重简并性，即g个状态的相互作用强，所以该0次近似的波函数由该g个相互作用强的状态的线性组合构成，需要求解简并性分裂的g个能量值。 在引入了周期性边界条件之后，对于kx、ky、二和布里渊区和能量乐队，在k空间中波浪箭头k的可取值不连续，其中，k的可取值密度是v为结晶体积，简化区的体积是晶格原细胞球体积b，简化区的k的可取值的总数(k )，因此，对于简化区，可以采用修订

16、2N 由于每个布里渊区的体积等于倒晶格原胞体积b，每个布里渊区可以填充2N个电子。 1. En(k )函数的三种图像在k空间中，电子能量En(k )函数有三种不同的表现方式，被称为三种布里渊区域图像。 三个所这些个的显示方法是等效的，并且取决于要考虑的问题可以选择不同的显示方法。 波形向量k取整个k空间的值，此时每个展区有一个乐队，而第n个乐队位于第n个展区中，此表示称为扩展的展区图像。 当将波形向量k限制为简化区域时，对应于k和k Gl的平移算子本征值相同，即在k和k Gl上标识牌的原小区间电子波函数的相位变化量。 在这个意义上，k和k Gl被认为是等价的。 因此，k可以被限制为简化区。 但

17、是，由于电子的能量分成几个能量乐队，所以当将全部的能量乐队表示成简约区时，对于一个简约波箭头k，对应着几个单独的能量值。 我们用n区分不同的能量乐队En(k )。 对于给定的乐队n，En(k )是k的连续函数。 将、En(k )这样的表现称为简约布里渊区图像。 实际上，由于k和k Gl被认为是等价的，因此En(k )的简化的前导码区域图像中的第n个乐队实际上是从扩展的前导码区域图像中的第n个前导码区域移位一个逆栅格向量Gl而得到的。 因为认为k和k Gl是等价的，所以En(k )可以认为是以k空间中的逆格向量Gl为周期的周期函数，即En(k) En(k Gl )。 另一方面，简约布里渊区是逆易空间的原单元，以该原单元为重复单位，通过原单元进行平移操作，得到k空间整体，这些个的单元等价。 因此，将同一能量具有En(k) En(k Gl )、En(k )这样的表现称为周期性布里渊区域图像。 扩展布里昂区的图像：不同的能量乐队为k空间不同布里昂区给出的简约布里昂区的图像：所有能量乐队为简约区给出的周期布里昂区的图像：向各布里昂区提供所有能量乐队。2 .能量乐队重叠的条件被证明为，在布里渊区的内部电子能量连续(严格来说应该是准连续