大学高等数学第一章函数(习题精讲) (2)

1、第1 1章函数1.11.1的个数函数1.1的概念和性质。绝对值和不等式绝对值和不等式(a 0，b 0)(1)x x x；X y x y x y (2) 2 11 ab ab ab(调和平均几何平均算术平均)2 x 1 x 2 n x n一般，n 11 x 1 x 2 1 n NX 1 x 2 x n (3) maxa，b abababab米娜，b 2222 2.2。函数概念和性质对于变量xD的每一个定值，根据一定的定则F，变量Y只有一个与之对应的定值，那么变量Y就是变量X的函数，表示为y f (x)，xD。注意:域d和相应的规则f是两个具有相等函数的元素。(1)不相关y f (x) f (t)

2、x，tD (2)单调性x 1，x 2 I，x 1 x 2 f (x 1) f (x 2) f (x 1) f (x 2) (3)奇偶性f (x)单调增加，f (x)单调减少；F (x 1) f (x2) f (x 1) f (x2) f (x)严格单增量F (x)f (x)f(x)f(x)f(x)x)是一个偶函数，对称于y轴f(x)是一个奇函数，对称于原点注:(4)周期性如果f (xT) f (x)，T 0，它被称为f(x)的周期。(5)有界性如果xD，f (x) M，M 0，那么f (x)在d上有界。常用的有界函数:sin x 1，cosx 1，(，)；0/8 arcsinx 2，arcco

3、sx，1，1；Arctanx 2，arccot x，(，)3.3。复合函数如果y f (u)的定义域是D f，u (x)的范围是Z，D f Z(空集合)，那么y f(x)是x的复合函数。反函数反函数定义为D f y f (x) 1 y f (x)，Z f值范围为Z f值范围为D f注:正负函数的图形对称于直线y x；严格单调函数必须有反函数；11x f(x)z；F f(x) xf f (x) x x f (x) D ff 5.5。初等函数初等函数是由基本初等函数经过四次运算和有限复合而成的，可以用解析表达式表示的函数称为初等函数。基本初等函数:幂函数y x(实数)；指数函数y(A 0，A 1)

4、；对数函数y log a x(a 0，a 1)；三角函数y sin x，cosx，tanx，cotx，secx，cscx；反三角函数y反正弦x，反正弦x，反正弦x，反正弦x.分段函数和幂指数函数分段函数和幂指数函数通常不是初等函数，因为它们不能用其域内的解析表达式来表示；指数函数y x一般不属于初等函数，因为它不能由初等函数复合；但是如果指定了x x x 0，则y xx exlnx是一个初等函数。1.21.2典型例题分析典型例题分析例题3已知不等式2x1 x1，用区间来表示解集的不等式分析要解这个不等式，首先要去掉绝对值符号，因为x有零值点，所以区间分为(，)和端点，最后综合得出结论。1，x

5、1是2x1，x1的2 1 2 1，1，(1)，然后考虑单元格2 1/8 11 2x11 x(，x 2(，22 11解决方案1 12x1 2x11 x(，1) x 0(，1)22 2 x1 1(1)，x 2 2)x 2(0，2)解决方案2 2 2(2 x1)(x1)x(2)0 x(，2 )(0，1.1)之间的x值范围。函数域的解函数域的解(1)分数0的分母，对数0的真数，偶数根0下的表达式，反正弦和反余弦(2)由复合函数域和简单函数域组成的不等式组的解集。例4 4求下列函数的定义域:(1) y反正弦1LG(x2)1 x2；4x 3x4 1 x 4 1解决1LG (x2)0x202x3x403x5

6、x12 (2，4)x2x 1；众所周知，f (x)的定义域是0，1。试着找出f (xa) f (xa)(a 0)的定义域，并求解f (xa):0xa1a x1a的定义域。f (xa):0xa1ax1af (xa)的定义域f (xa): xa，1a当1a a，a，1a 11时，定义域是一个空集合；当1a是a时，该域是a，1a；22因此，将交集域作为A，1A2.2。解析函数的解解析函数的解问题。(1)将已知变量转化为与F()中的中间变量一致的形式，利用函数的独立特性求解；(2)将f()中的变量代入，然后利用无关特征与原方程同时求解。2/8 (3)把f (x)代入f (x)的表达式求出f(x)的一般

7、方法是让u (x)从它求解x 1(u)，然后从(x)得到f (u) 1 x。以下分辨率函数(2)已知af (x)bf () sinx，(a，b)。如果t 111被替换成BF(t)AF(Sin)，那么Xt1af(X)BF(Sin)x11if(X)(Asin X BSin)2211 a BX BF(X)AF(Sin)(XX)(3)被称为f (x) ln x， 解是11 1 x 1 LN 2 111 x 21111 4f(x)LN x LN(x 1)LN 4 LN x 2 2 x 12 x 2 1 2(x 1)22 x 2 make x 11111 f(x)LN 2t，然后f (t) ln 2x2t

8、 22x 2 1111解2替换x，得到f (x) ln x ln(4 1)，并将其添加到原始公式中，得到xx2x11112f (x) ln (x41) 然后f (t) ln 2x2t 22x 2示例6 6找到以下分辨率函数x21 x (1)已知f (ln x) 2，域(x)是x 0，f (x)e，找到(x) x 1 e2u1 x的解，得到u ln x，x e，f (u) 2u和f (x) e。然后e 122 ue2(x)1 xe 11ex 12(x)ee(x)ln(x0)2(x)xe 11e 21e(2 求f (x) lnx 0 x 1 3/8的解，使u lnx，x e，然后u e u1 f(

9、u)u e x 1 x 0 eu 1 u 0 f(x)u 0 e 1 u 0 x 0 x 3.3。 利用定义定函数的相关性质解决问题(1)如果f (x) f (x) 0，那么f (x)是奇数函数；(2)如果t是f (x)的周期，那么f ax b的周期就是t/a；如果f (x)和g(x)分别是以T 1和T 2 (T 1和T 2)为周期的函数，那么f (x) g(x)的周期是T 1和T 2的最小公倍数。(3)取函数的绝对值，用不等式的标度法或求函数的最大值来确定函数的有界性；(4)如果x 1 x 2，f (x2) f (x 1) 0，f (x2)/f (x 1) 1，我们可以确定f (x)的单个增

10、量。例7让F(x y) F(x) F(y)，求出y F(x)(11)的奇偶性x21 ax1 ax 111 ax 11g(x)，并求解g(x)，g (x) 21ax2 (1ax) 2 (1ax)可以得出结论，F(0)0 F(x)F(x)0 F(x)F(x)F(x)是一个奇数函数，所以y F(x) (11)是一个偶数函数。设f (x)在a，a(a 0)上定义，并证明f (x)可以表示为奇数函数和偶数函数的和，如果(x) (x)，(x) (x)，那么f (x) (x)(x)， f .(x)f(x)f(x)22 11 (x)f(x)f(x)f(x)(x)22 11(x)f(x)f(x)f(x)f(x)

11、(x)22和(x)(x)11f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)(x)22 4/8唯一性:如果有偶函数1(x ),则让f (x) 1(x) 1(x)例9 9证明了下列函数是周期函数，并且找到了它们的最小正周期，并且找到了它们的最小正周期(1)f (x) sin(2x3)。因为sinx的周期是2，所以周期是T 2 2 2 f (x)sin(2x 3)sin(2x 32)sin 2(x)3 f(x)T(2)y sinx cosx解f(x)sin(x)cos(x)cos(x)cos x sin x f(x)T 2222例1111让f(x)定义在(，)上，这证明了:(1)如果y f (x)

12、的图形关于直线x a(a 0)对称， 那么f (2)如果y f (x)的图形关于直线x 1和x 2对称，那么f (x)是一个周期偶函数。 分析和分析(1)如果y f (x)的对称点是(x，y)和(x，y)，那么x 2a x，y yf (x) f (2a x)，相反，如果f (2a x) f (x)，yf (x)关于直线x a (1)对称f (xa) f2a(xa) f (ax)的充分性:如果xR有f (xa) f (a x)，那么f (x) fa(xa) fa(xa) f (2ax) (2) f (x2)然后f (x)f1(x1)f1(x1 1)y 2x 21 2x 22 2222)f(x)f

13、1(x1)f1(x1)f(2x)f(x)5/8，因此f(x)是周期为2的偶数函数示例。 1212判断下列函数的有界性(1) Y2X2如果有2x2 (x1) 1 2 (x1)，那么2 x22x 22(x1)1 22 x2(x1)12(x1)2x 21332 x211 2 2x 2222 2x 222，让1(0，0)在情况1313中被设置，这证明了:(1)如果f (x)是0，则简单的约化函数。(2)如果f (x)是(0)的简单递减函数，那么f(x)f(x)f(x)；X (3)f (ab) f (a) f (b)(a 0，b 0)证书(1)根据标题，0 1，0 1x x，x x，x0，因为f (x)

14、减少了，所以有f (x) f (x)，f (x) f (x)xxxxxF (x) f (x)，f (x) f (x)f (x) f (x) f (x) (3)让x ab，ab，然后abab f (a) f (b) f (ab)例1414求下列函数的反函数分析：分析：求分段函数应注意x的不同取值范围对应于原始函数的取值范围1 2 2 (x 1)0 x 1 (2)y 1 (2 x)1 x 2 3 6/8解。当0 x 1时，y 1 2(x 1)的取值范围是2 1 y 1x 2y 1 2 1当1 x 2时，y (2 x)的取值范围是3 41y X 3y 2 3 1 2y 1 2 X 1 2，所以X 4y 4 3 y2 1y 3 X 21 X 3 3例1515在一个有一个底和一个高h的三角形内接一个矩形，并