天津市高考压轴卷 数学文试题

1、天津市天津市 20132013 届高考压轴卷届高考压轴卷 数学文试题数学文试题 本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150 分，考试用时 120 分钟. 第卷第卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）复数 A.i 12i 2i B.iC.5iD. 4 i 5 y x （2）设变量x，y满足约束条件x y 2，则目标函数z 2x y的最小值为 y 3x6 A2 B3 C4 D9 （3）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是 A3 B4 C5 D6 0.70.76， log 0.7 6的大小顺序是 （4）三个数6 ， A.0.7 log0.7

2、66 0.7 60.7 B.0.7 6 log0.76 D. 60.7 C.log0.766 0.76 log 0.7 6 0.76 60.7 （5）已知条件p: x 1，条件q: 1 1，则p是q成立的 x A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 x2y2 22 （6）已知双曲线 2 2 1(a 0,b 0)的两条渐近线均与C : x y 6x5 0相切，则该双曲线离 ab 心率等于 A 3 5 5 B 6 2 C 3 2 D 5 5 （7）已知函数f (x) 2sin(x) ( 0,0 )的图象如图所示，则等于（） 12 B1C D2 33 u u

3、ru u rr rrrr （8）若a 1,b 2,且a ab ，则向量a,b的夹角为 A A.45B.60C.120D.135 第卷第卷 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共 12 小题，共 110 分. 二.填空题：本答题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. （9）已知集合A x x 4，B 0,1,2，则AI B 2 （10）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （11）等差数列an的前n项和是Sn，若a1 a2 5，a3 a4 9，则S10的值为 ab （12）设a 0,b 0.若 3是3 与3的等比中项，则 11 的最小值 ab （

4、13） 如右图，AB是O的直径，P是AB延长线上的一点， 过P作O的切线， 切点为C，PC 2 3， 若CAP30，则O的直径AB C A O BP x ,1 x 1 cos 2 （14 已知函数 f (x) ，则关于x的方程 f (x)3f (x) 2 0的实根的个数是2 x2 1, | x|1 _ 三三. .解答题：本大题共解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分分. .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. . （1515 题）题） （本小题满分（本小题满分 1313 分）分） 某普通高中共有教师360人，分为三个批次参加研修培训，

5、 在三个批次中男、 女教师人数如下表所示： 已知在全体教师中随机抽取 1 名，抽到第二、三批次中女教师的概率分别是 0.15、0.1 （）求x, y,z的值； （）为了调查研修效果，现从三个批次中按1:60的比例抽取教师进行问卷调查，三个批次被选取的人 数分别是多少？ （）若从（）中选取的教师中随机选出两名教师进行访谈，求参加访谈的两名教师“分别来自两个 批次”的概率 （1616） （本小题满分（本小题满分 1313 分）分） 在ABC 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知向量m (cosA,cosB),n (2cb,a)， 且m n. （） 求角 A 的大小； （） 若a= 4 3

6、，bc 8，求ABC 的面积. 17.（本小题满分 13 分） 如图，在四棱锥ABCD-PGFE中，底面ABCD是直角梯形，侧棱垂直于底面，AB/DC，ABC45 ，DC1， o 女教师 男教师 第一批次第二批次第三批次 86 94 xy z66 AB2，PA1 （）求PD与BC所成角的大小； （）求证：BC平面PAC； （）求二面角A-PC-D的大小 （18） （本题满分 13 分） 在数列an中，已知a1 1 a n1 1 ,b n 2 3log 1 a n (nN*). 4a n 4 4 （）求数列an的通项公式； （）求证：数列bn是等差数列； （)设数列cn满足cn anbn，求cn

7、的前 n 项和S n . （19） （本小题满分 14 分） 函数f (x) x ax bx c，过曲线y f (x)上的点 P（1，f (1)的切线方程为y 3x 1. （1）若y f (x)在x 2时有极值，求f (x)的表达式； （2）在（1）的条件下，求y f (x)在-3,1上的最大值； （3）若函数y f (x)在区间-2,1上单调递增，求实数b的取值范围. 32 x2y2 （20） （本小题满分 14 分）设F 1 ，F 2 分别是椭圆： 2 2 (a b 0)的左、右焦点，过F 1倾斜角为 45 ab 的直线l与该椭圆相交于 P，Q两点，且| PQ| （）求该椭圆的离心率； （

8、）设点M(0， 1)满足| MP | MQ|，求该椭圆的方程. 参考答案： 1.【答案】B 【解析】 4 a. 3 12i(12i)(2i)5i i，选 B. 2i(2i)(2i)5 2.【答案】B 【解析】做出可行域如图，设z 2x y ，即 y 2x z ，平移直线 y x ,y 2x z ，由图象可知当直线经过点 C 时，直线 y 2x z 的截距最小，此时 z 最小.由x y 2 解得 x 1 ，即B(1,1)，代入得z 2x y 3，所以最小值为 3，选 B. y 1 3.【答案】B 【解析】第一次循环得S 02 1,k 1；第二次循环得S 12 3,k 2；第三次循环得 11S 3

9、 2311,k 3， 第四次循环得S 112 2059,k 4， 但此时S 100,不满足条件， 输出k 4， 01 所以选 B. 【答案】C 4.【答案】D 60.7 【解析】60.71,0 0.761,log0.76 0，所以log 0.7 6 0.7 6 ，选 D. 5.【答案】B 【解析】由 1 1得，x 0或x 1，所以q：0 x1，所以p是q成立的必要不充分条件，选B. x 6.【答案】A 【解析】圆的标准方程为 (x3) y 4，所以圆心坐标为C(3,0),半径r 2，双曲线的渐近线为 22 y bb x，不妨取y x，即bxay 0，因为渐近 线与圆 相切， 所以圆心 到直线

10、的距离 aa d 49 2，即9b2 4(a2b2)，所以5b2 4a2，b2a2 c2a2，即a2 c2，所以 55 a2b2 3b 93 5 e2,e ，选 A. 55 7.【答案】C 【解析】由图象可知 8.【答案】A T1531222 3，所以 ，选 C.,所以T 3，又T 28883 r 2 r rr rr 2r r 的夹角为 rrr 【解析】因为，所以r r r ，即a ag b 0，即ag b a，所以向量 a,b a ab ag(a b) 0 r 2 r r ar rr r ag b12 ，所以 a,b 45o，选 A.cos a,b r r r r 22 a ba b 9.【

11、答案】0,1 【解析】因为A x x 4 x 2 x 2，所以AI B 0,1. 10.【答案】54 2 【解析】由三视图可知，该几何体是底面是直角梯形的四棱柱.棱柱的高为 4， 面梯形的上底为 4，下底为 5，腰CD 3 1 10,所以梯形的面积为S 几何体的体积为 2 ，底 (45)327 ，所以该 22 27 4 54. 2 11.【答案】65 【解析】由a1 a2 5，得2a 1 d 5，由a 3 a 4 9 得 2a 1 5d 9 ，解得 d 1,a 1 2 ，所以 S 10 10a 1 109 20+45=65 2 . 12.【答案】4 【解析】由题意知3a3b ( 3)2，即3a

12、b 3，所以 ab 1 .所以 11ababbababa1 2 22 4，当且仅当 ，即a b 时，取等号，所以 ababababab2 最小值为 4. 13.【答案】4 【解析】因为根据已知条件可知，连接 AC，PC 2 3，CAP30，根据切线定理可知, PC2 PBgPA PBg(PB BA),可以解得为 4. 14.【答案】5 【.解析】由 f (x)3f (x) 2 0得f (x) 1或f (x) 2.当1 x1时， 2 2 x 2 2 ，此时 0 f (x) 1，由f (x) 1，得x 0.当x 1时，若f (x) 1，得x211，即x2 2，此时x 2. 若f (x) 2，得x2

13、1 2，即x2 3，此时x 3.所以关于x的方程f (x)3f (x) 2 0的实根 的个数共有 5 个. 15. 【答案】解： （）x 3600.15 54, y 3600.1 36 z 3608654369466 24 -3分 2 （） 由题意知，三个批次 的人数分别是180,120,60，所以 被选取的人数分别为3,2,1. -5 分 （）第一批次选取的三个教师设为A 1, A2 , A 3 ,第二批次的教师为B 1,B2 ,第三批次的教师设为C，则从 这 6 名 教 师 中 随 机 选 出 两 名 教 师 的 所 有 可 能 组 成 的 基 本 事 件 空 间 为 A 1A2 ,A 1

14、A3,A1B1,A1B2 ,AC 1 ,A 2 A 3,A2B1,A2B2 ,A 2C,A3B1,A3B2 ,A 3C,B1B2 ,BC 1 ,B 2C 共 -8 分 “来自两个批次”的事件包括 15个 1 A 1B1,A1B2 ,AC 1 ,A 2B1,A2B2 ,A 2C,A3B1,A3B2 ,A 3C,BC1 ,B 2C 共 11 个，-11 分 所以“来自两个批次”的概率p 16. 【答案】解： （） 11 -13分 15 m n mn (cosA,cosB)(2cb,a) 0（2 分） 即(2c b)cos A acos B 0 由正弦定理可得(2sinC sin B)cosB si

15、n AcosB 0 整理得sinC 2sinCcosA 0（5 分） 0 C ,sinC 0 12（6 分） cos A , A 23 222 （II）由余弦定理可得 a b c 2bccos A, （8 分） 48 b2c2bc (bc)2bc 64bc 即bc 16（11 分） 故 S 113 bcsin A 16 4 3 （13 分） 222 17.【答案】 （）取的AB中点H，连接DH，易证BH/CD，且BD=CD1 分 所以四边形BHDC为平行四边形，所以BC/DH 所以PDH为PD与BC所成角2 分 因为四边形，ABCD为直角梯形，且ABC=45o，所以DAAB 又因为AB=2DC

16、=2，所以AD=1，因为 RtPAD、RtDAH、RtPAH都为等腰直角三角形，所以 PD=DH=PH=2，故PDH=60o4 分 （）连接CH，则四边形ADCH为矩形， AH=DC又AB=2，BH=1 在 RtBHC中，ABC=45 ， CH=BH=1，CB=2AD=CH=1，AC=2 AC+BC=ABBCAC6 分 又PA平面ABCDPABC7 分 PAAC=ABC平面PAC8 分 222 o （）如图，分别以AD、AB、AP为x轴，y轴，z轴 建立空间直角坐标系，则由题设可知： A(0，0，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(1，0，0)， uuu ruuu r AP=(0，0

17、，1)，PC=(1，1，-1) 9 分 uuu r m mgAP 0 c 0 设m m=(a，b，c)为平面PAC的一个法向量，则uuu，即r a b c 0 m mgPC 0 设a 1，则b 1，m m=(1，-1，0)10 分 同理设n n=(x，y，z) 为平面PCD的一个法向量，求得n n=(1，1，1) 11 分 cos m m,n n m mgn n1110011 12 分 m m gn n222 o 所以二面角A-PC-D为 60 13 分 18.【答案】解： （） 数列an是首项为 1 4 an11 an4 11 ，公比为的等比数列， 44 an ( )n(n N*).3 分

18、（）bn 3log 1 an2 4 分 4 1 bn 3log 1 ( )n2 3n2. 5 分 4 2 b 1 1，公差 d=3 数列bn是首项b 1 1，公差d 3的等差数列.7 分 （）由（）知，an ( )n，bn 3n2（n N*） 1 cn (3n2)( )n,(nN*).8 分 4 1 4 Sn1 4( )27( )3(3n5)( )n1(3n2)( )n， 于是Sn1( )2 4( )37( )4(3n5)( )n(3n2)( )n1 10 分 两式-相减得Sn 1 2 1 4 3 4 11111 3( )2( )3( )n(3n2)( )n1 44444 1 4 1 4 1

19、4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 =(3n 2)( )n1.12 分 Sn 212n81 n1 ( )(nN*).13 分. 334 322 19.【答案】解： （1）由f (x) x ax bx c得f (x) 3x 2ax b， 过y f (x)上点P(1, f (1)的切线方程为y f (1) f (1)(x 1)， 即y (a b c 1) (3 2a b)(x 1). 而过y f (x)上点P(1, f (1)的切线方程为y 3x 1， 故 3 2a b 32a b 0 3 分 即 1 a bc 4a bc 3 y f (x)在x 2处有极值，故f（ -2） 0， -4a b 12. 联立解得a 2,b 4,c 5, f (x) x 2x 4x 5. 5 分 (2) f (x) 3x 4x 4 (3x 2)(x 2)，令f (x) 0得x 2 32 2 或x 2. 3 7 分 列下表： 295 f ( ) 27 ，因此， f (x) 的极大值为 f (2) 13 ，极小值为 3 又 f (3) 8, f (1) 4, f (x)在3,1上的最大值为 13.10 分 23,1f (x) 3x 2ax b， 在y f (x) （3）上单