天津高考文科数学试题

1、20112011 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（文史类）数学（文史类） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 1.i是虚数单位，复数 A.2i C.12i 13i = 1i B.2i D.12i x 1 2.设变量x, y满足约束条件x y 4 0 ,则目标函数z 3x y的最大值为 x3y4 0 A.-4 C. B.0 D.4 4 3 3.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为-4，则输出y的值为 A.0.5 C.2 B.1 D.4 4.设

2、集合AxR| x2 0,B xR| x 0，C xR| x(x2) 0， 则“xAU B”是“xC”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知a log 2 3.6,b log 4 3.2,c log 4 3.6则 A.a b cB.a c bC.b a cD.c a b x2y2 2 6.已知双曲线 2 2 1(a 0,b 0)的左顶点与抛物线y 2px(p 0)的焦点的距离为 4， ab 且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1） ，则双曲线的焦距为（） A.2 3B.2 5C.4 3D.4 5 7.已知函数f (x)

3、 2sin(x ),xR，其中 0,若f (x)的最小正周期为 6 ， 且当x 2 时，f (x)取得最大值，则（） B.f (x)在区间3,上是增函数 D.f (x)在区间4,6上是减函数 A.f (x)在区间2,0上是增函数 C.f (x)在区间3,5上是减函数 8.对实数a和b，定义运算“” ：ab a,a b 1, 2 设函数f (x) (x 2)(x 1),x R. b,a b 1. 若函数y f (x) c的图像与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（） A.(1,1U (2,) C.(,2)U (1,2 B.(2,1U (1,2 D.-2，-1 第卷 注意事项： 1.用黑色墨

4、水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共 12 小题，共 110 分. 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分分 9.已知集合A xR| x1 2 ,Z为整数集，则集合AI Z中所有元素的和等于_ 10.一个几何体的三视图如图所示（单位： m） ，则该几何体的体积为 _m * 11.已知a n为等差数列， S n 为其前n项和，nN，若a316,S20 20, 3 则S10的值为_ 12.已知log 2 alog 2 b 1，则3 9 的最小值为_ 13.如图已知圆中两条弦AB与CD相交于点F， E 是AB延长线上

5、一点，且 ab DF CF 2, AF :FB :BE 4:2:1.若CE 与圆相切，则CE的长为_ 14.已知直角梯形ABCD中， 0 uuu ruuu r AD/BC,ADC 90 ,AD 2,BC 1,P是腰DC上的动点，则PA3PB的最小值为 _ 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（本小题满分 13 分） 编号为A 1, A2 , A 16 的 16 名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下： 运动员编号 得分 运动员编号 得分 A 1 15 A 2 3

6、5 A 3 21 A 4 28 A 5 25 A 6 36 A 7 18 A 8 34 A 9 17 A 10 26 A 11 25 A 12 33 A 13 22 A 14 12 A 15 31 A 16 38 （）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格； 区间 人数 10,2020,3030,40 （）从得分在区间20,30内的运动员中随机抽取2 人， （i）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果； （ii）求这 2 人得分之和大于 50 的概率 16.（本小题满分 13 分） 在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知B C,2b （）求cos A的值； （）cos(2A 3a

7、. 4 )的值 17.（本小题满分 13 分）如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为平 行四边形，ADC 45，AD AC 1，O为AC中点，PO 平 面ABCD，PO 2，M为PD中点 （）证明：PB/平面ACM； （）证明：AD 平面PAC； （）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值 18.（本小题满分 13 分） 0 x2y2 设椭圆 2 2 1(a b 0)的左、右焦点分别为F 1,F2 .点P(a,b)满足| PF2| F 1F2 |. ab （）求椭圆的离心率e； 22 （）设直线PF2与椭圆相交于A,B两点，若直线PF2与圆(x 1) (y 3) 16相交于 M,N两点，

8、且| MN | 5 | AB |，求椭圆的方程. 8 322 19.（本小题满分 14 分）已知函数f (x) 4x 3tx 6t xt 1,xR，其中tR （）当t 1时，求曲线y f (x)在点(0, f (0)处的切线方程； （）当t 0时，求f (x)的单调区间； （）证明：对任意的t(0,), f (x)在区间(0,1)内均存在零点 20.（本小题满分 14 分） 已知数列an与bn满足bn1anbnan1 3 (1)n1 (2) 1,b n ,n N*,且a 1 2. 2 n （）求a2,a3的值； * （）设cn a2n1 a2n1,n N，证明cn是等比数列； （）设Sn为an

9、的前n项和，证明 SSS 1 S 2 1 L 2n12n n (n N*). a 1 a 2 a 2n1 a 2n 3 参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5 分，满分 40 分。 14ADCC58BBAB 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5 分，满分 30 分。 9310411110121813 7 145 2 三、解答题 （15）本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式的 等基础知识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力，满分13 分。 （）解：4，6，6 （） （i）解：得分在区间20,30)内的运动

10、员编号为A 3 , A 4 , A 5 , A 10 , A 11 , A 13 .从中随机抽取 2 人，所有可能的抽取结果有： A 3 , A 4 ,A 3 , A 5,A3 , A 10 ,A 3 , A 11,A3 , A 13,A4 , A 5,A4 , A 10 ， A 4 , A 11,A4 , A 13,A5 , A 10 ,A 5 , A 11,A5 , A 13,A10 , A 11,A10 , A 13,A11, A13 ，共 15 种。 （ii）解： “从得分在区间20,30)内的运动员中随机抽取 2 人，这 2 人得分之和大于 50” （记 为事件 B）的所有可能结果有

11、：A 4 , A 5,A4 , A 10 ,A 4 , A 11,A5 , A 10 ,A 10 , A 11 ，共 5 种。 所以P(B) 51 . 153 （16）本小题主要考查余弦定理、两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦、 余弦公式等基础知识，考查基本运算能力，满分13 分。 （）解：由B C,2b 3a,可得c b 3 a 2 3 2 3 2a a a2 b c a1 4 4 . 所以cos A 2bc3 33 2aa 22 222 （）解：因为cos A 2 21 , A(0,)，所以sin A 1cos2A 33 74 2 cos2A 2cos2A1 .故sin

12、2A 2sin Acos A . 99 所以 7 24 2287 2 cos2A cos2Acossin2Asin . 444 929218 （17）本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考 查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。满分13 分。 （）证明：连接 BD，MO，在平行四边形 ABCD 中，因为 O 为 AC 的中点，所以 O 为 BD 的 中点， 又 M 为 PD 的中点， 所以 PB/MO。 因为PB 平面 ACM，MO 平面 ACM， 所以 PB/ 平面 ACM。 （）证明：因为ADC 45，且 AD=AC=1，所以DAC 90，即AD

13、AC，又 PO 平面 ABCD，AD 平面 ABCD，所以PO AD,而AC PO O，所以AD 平面 PAC。 （）解：取DO 中点 N，连接 MN，AN，因为 M 为 PD 的中点，所以MN/PO，且 MN 1 PO 1,由PO 平面 ABCD，得MN 平面 ABCD，所以MAN是直线 AM 与平面 2 51 ， 所 以 DO ， 从 而 22 ABCD所 成 的 角 ， 在RtDAO中 ，AD 1,AO AN 15 DO ， 24 在RtANM中,tanMAN MN14 5 ， 即直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值 AN5 5 4 为 4 5 . 5 （18）本小题主要考查椭圆

14、的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、点到直线 的距离公式、直线与圆的位置关系等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形 结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力，满分13 分。 （）解：设F 1 (c,0), F 2 (c,0)(c 0)，因为| PF 2 | F 1F2 |， c c c 所以(a c) b 2c，整理得2 1 0,得 1（舍） a a a 22 2 或 c11 ,所以e . a22 3c，可得椭圆方程为3x2 4y212c2，直线FF2的方程 （）解：由（）知a 2c,b 为y 3(x c). 222 3x 4y 12c , 2 A，B 两点的坐标

15、满足方程组消去y并整理，得5x 8cx 0。解得 y 3(x c). 8x c, 2 x 0, 85 1 x 1 0,x 2 c，得方程组的解 5 y1 3c, y 3 3 c. 2 5 8 3 3 B(0, 3c)， 不妨设Ac,c 5 ， 5 2 168 3 3 所以| AB | cc 3cc. 5 5 5 5 于是| MN | | AB | 2c. 8 2 圆心 1, 3 到直线 PF2的距离d 2 | 3 3 3c |3 | 2 c | . 22 3| MN | 2 因为d2，所以 (2 c)2 c216. 4 4 2 整理得7c 12c 52 0，得c 2 26 （舍） ，或c 2.

16、 7 x2y2 1. 所以椭圆方程为 1612 （19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的 零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14 分。 （）解：当t 1时，f (x) 4x 3x 6x, f (0) 0, f (x) 12x 6x 6 322 f (0) 6.所以曲线y f (x)在点(0, f (0)处的切线方程为y 6x. 22 （）解：f (x) 12x 6tx 6t，令f (x) 0，解得x t或x t . 2 因为t 0，以下分两种情况讨论： （1）若t 0,则 t t,当x变化时，f (x), f (x)的

17、变化情况如下表： 2 t , 2 + x t ,t 2 - t, + f (x) f (x) 所以，f (x)的单调递增区间是, t t , t, ; f (x),t 的单调递减区间是 。 22 （2）若t 0,则t t ，当x变化时，f (x), f (x)的变化情况如下表： 2 t t, 2 - x ,t + t , 2 + f (x) f (x) 所以，f (x)的单调递增区间是,t, t t ,; f (x)的单调递减区间是t, . 2 2 t 2 t ,内单调 2 （）证明：由（）可知，当t 0时，f (x)在0, 内的单调递减，在 递增，以下分两种情况讨论： （1）当 t 1,即t

18、 2时，f (x)在（0，1）内单调递减， 2 f (0) t 1 0, f (1) 6t2 4t 3 64 42 3 0. 所以对任意t 2,), f (x)在区间（0，1）内均存在零点。 （2）当0 t t t 1,即0 t 2时，f (x)在0, 内单调递减，在 ,1内单调递增，若 2 2 2 77 1 t (0,1, f t3t 1 t3 0. 44 2 f (1) 6t2 4t 3 6t 4t 3 2t 3 0. 所以f (x)在 t ,1内存在零点。 2 7 3 7 3 t t t 1 t 1 0. 244 若t (1,2), f f (0) t 1 0 所以f (x)在0, t 内存在零点。 2 所以，对任意t (0,2), f (x)在区间（0，1）内均存在零点。 综上，对任意t (0,), f (x)在区间（0，1）内均存在零点。 （20）本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、 综合分析能力和解决问题