2018届高考数学一轮复习 选修部分 坐标系与参数方程 第一节 坐标系学案 文 选修4-4

1、 1.了解在平面直角坐标系下的伸缩变换2理解极坐标的概念，能进行极坐标和直角坐标的互化3能在极坐标系中给出简单图形(直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程知识点一平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换答案xy1(选修44P4例题改编)设平面内伸缩变换的坐标表达式为则在这一坐标变换下正弦曲线ysinx的方程变为_解析：由已知得代入ysinx，得ysin2x，即y3sin2x，所以ysinx的方程变为y3sin2x.答案：y3sin2x知识点二极坐标系 1极坐

2、标系的建立：在平面上取一个定点O，叫做_，从O点引一条射线Ox，叫做_，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的_，记为，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角叫做点M的极角，记为.有序数对(，)叫做点M的极坐标，记作M(，)2极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标为(，)，则它们之间的关系为x_，y_.另一种关系为2_，tan_.答案1极点极轴极径2cossin

3、x2y22(选修44P11例4改编)点P的直角坐标为(1，)，则点P的极坐标为_解析：因为点P(1，)在第四象限，与原点的距离为2，且OP与x轴所成的角为，所以点P的极坐标为.答案：3在极坐标系中，圆8sin上的点到直线(R)距离的最大值是_解析：圆8sin的直角坐标方程为x2y28y，即x2(y4)216.直线(R)的直角坐标方程为yx，即xy0，圆上的点到直线的距离最大值为46.答案：6知识点三常见曲线的极坐标方程 曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆_(02)圆心为(r,0)，半径为r的圆_()圆心为(r，)，半径为r的圆_(0)过极点，倾斜角为的直线(R) 或(R)过点(a,0)

4、，与极轴垂直的直线_()过点(a，)，与极轴平行的直线_(0)答案r2rcos2rsincosasina4圆5cos5sin的圆心的极坐标为_解析：将方程5cos5sin两边都乘以得：25cos5sin，化成直角坐标方程为x2y25x5y0.圆心的坐标为，化成极坐标为.答案：(答案不唯一)5在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是_，过(0，1)与极轴平行的直线方程是_解析：过点(1,0)且与极轴垂直的直线，在直角坐标系中的方程为x1，所以其极坐标方程为cos1.过(0，1)且与极轴平行的直线，在直角坐标系中是y1，所以其极坐标方程为sin1.答案：cos1sin16在极坐标系中

5、，圆心在(，)且过极点的圆的方程是_解析：如图，O为极点，OB为直径，A(，)，则ABO90，OB2，化简得2cos.答案：2cos热点一平面直角坐标系中的伸缩变换 【例1】在同一平面直角坐标系中，求一个伸缩变换，使得圆x2y21变换为椭圆1.【解】设伸缩变换为由题知1，即2x22y21.与x2y21比较系数，得故所以伸缩变换为即先使圆x2y21上的点的纵坐标不变，将圆上的点的横坐标伸长到原来的3倍，得到椭圆y21，再将该椭圆的点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到椭圆1.【总结反思】平面上的曲线yf(x)在变换：的作用下得到的方程的求法是将代入yf(x)，得f，整理之后得到yh(x)，

6、即为所求变换之后的方程. 若函数yf(x)的图象在伸缩变换：的作用下得到曲线的方程为y3sin，求函数yf(x)的最小正周期解：由题意，把变换公式代入曲线y3sin得3y3sin，整理得ysin，故f(x)sin.所以yf(x)的最小正周期为.热点二极坐标与直角坐标的互化 【例2】在极坐标系Ox中，直线C1的极坐标方程为sin2，M是C1上任意一点，点P在射线OM上，且满足|OP|OM|4，记点P的轨迹为C2.(1)求曲线C2的极坐标方程；(2)求曲线C2上的点到直线cos距离的最大值【解】(1)设P(1，)，M(2，)，由|OP|OM|4，得124，即2.因为M是C1上任意一点，所以2sin

7、2，即sin2，12sin.所以曲线C2的极坐标方程为2sin.(2)由2sin，得22sin，即x2y22y0，化为标准方程为x2(y1)21，则曲线C2表示圆心坐标为(0,1)，半径为1的圆，由直线cos，得：coscossinsin，即xy2，圆心(0,1)到直线xy2的距离为d，所以曲线C2上的点到直线cos距离的最大值为1.【总结反思】极坐标方程问题的处理思路曲线的极坐标方程问题通常可利用互换公式转化为直角坐标系中的问题求解，然后再次利用互换公式即可转化为极坐标方程熟练掌握互换公式是解决问题的关键. 已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为2，22cos2.(1)把圆O1和圆O2的极坐标

8、方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程解：(1)由2知24，所以圆O1的直角坐标方程为x2y24.因为22cos2，所以222，所以圆O2的直角坐标方程为x2y22x2y20.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为xy1，化为极坐标方程为cossin1，即sin.热点三极坐标方程的应用 【例3】在直角坐标系xOy中，直线C1：x2，圆C2：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为(R)，设C2与C3的交点为M，N，求C2MN的面积【解】(1)因为xcos，ys

9、in，所以C1的极坐标方程为cos2，C2的极坐标方程为22cos4sin40.(2)将代入22cos4sin40，得2340，解得12，2.故12，即|MN|.由于圆C2的半径为1，所以C2MN的面积为.1本例条件不变，求直线C1与C3的交点的极坐标解：联立两直线方程得解得所以交点的极坐标为.2本例条件不变，求圆C2关于极点的对称圆的方程解：因为点(，)与(，)关于极点对称，所以由C2的极坐标方程为22cos4sin40得圆C2关于极点的对称圆方程是22cos4sin40.【总结反思】(1)求曲线的极坐标方程，就是找出动点M的坐标与之间的关系，然后列出方程f(，)0，再化简并检验特殊点(2)

10、极坐标方程涉及的是长度与角度，因此列方程的实质是解三角形. (2016新课标全国卷)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x6)2y225.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|，求l的斜率解：(1)由xcos，ysin可得圆C的极坐标方程为212cos110.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为(R)设A，B所对应的极径分别为1，2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得212cos110.于是1212cos，1211.|AB|12|.由|AB|得cos2，tan.所以l的斜率为或.1在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的