2018年高中数学 复习课(二)直接证明与间接证明学案 新人教A版选修2-2

1、复习课(b)直接证明和间接证明综合法和分析法(1)综合法和分析法是高考重点检查的内容，一般以某个知识点为载体，通过分析方法获得问题解决思考，用综合法有序地表达证明过程。(2)理解综合法和分析法的概念和差异，把握两种茄子方法的特点，体会两种茄子方法的互补性、辩证统一关系，使两种茄子方法能够熟练地使用，解决问题。1.综合方法：从已知条件导出结论的证明方法。综合法也称为“纯秋证法”或“引渡法”。2.分析方法：从结论追溯到条件的证明方法，解决数学问题时经常一起使用，用分析方法证明数学问题时，要注意书写形式的规范性，经常“证明(证明)”即证明.“只要证明.是设置A0、B0、a b=1，确认： 8。证明法

2、1:综合法因为A0，B0，a b=1，所以1=a b 2，ab4，另外=(a b)=2 4，所以 8(并且只有当a=b=时等号才成立)。法2:分析方法因为A0、B0、a b=18。只要有卡 8只要有卡 8证据 4。证据 4。证据 2，从基本不等式中可以看出，当A0，B0牙齿时， 2成立。所以原来的不平等成立了。课堂提问通法综合法和分析法的特点。(1)综合法和分析法是直接证明中最基本的两种茄子证明方法，也是解决数学问题的常用方法，综合法是通过诱导的思维方式，分析方法的思维方式正好相反。那是执行科小人的思维方式。(2)分析法和综合法是两种茄子思维方式相反的推理方法。分析法是逆流，综合法是顺推，二者

3、各有优缺点。分析法是容易探路，探索和表达一致，缺点是容易表达错误。综合方法条理清晰，易于表达，因此对难题往往是两者互操作、互补、形成分析综合法，其逻辑基础是充分的条件和必要条件。1.已知A0、B0、不等式牙齿常数时，m的最大值等于()A.10b.9C.8 D.7分析：选取B-A0、B0、2a B0。不等式可以变为m (2a b)=5 2。5 25 4=9，即最小值为9。m9，即m的最大值等于9。2.如果a b c d 0和a d=b c，确定： .证明：证明、只需要证明()2 () 2。A d 2 b c 2。由于A d=b c，因此、Ad BC，设置a d=b c=t，然后ad-BC=(t-

4、d)d-(t-c)c=(c-d)(c d-t)0，因此，广告BC成立了。反证法(1)反证法是证明问题的一种茄子方法，高考中几乎没有单独考试，经常用于证明答案中的一个问题。(2)反证法是间接证明的基本方法，利用反证法进行证明的关键是用正确的推理衍生矛盾。1.使用反证法时要注意的问题：利用反证法证明数学问题时，要假定结论是错误的，用假设命题推理，不用假设命题推理，而是提出矛盾结果。那个推理过程是错误的。2.一般来说，以下问题型使用反证法。(1)“结论”的反对比“结论”本身更简单、更具体、更明确的时候(2)否定命题，唯一性命题，存在性命题，“最大”，“最小”型命题(3)某些积极形式的命题，由于已知或

5、结论与无限元素相关，因此直接证明比较困难，往往使用反证法。前 (1)傅晶：在“自然数A、B、C中正好有一个偶数”的情况下，正确的悖论()A.a、b、c都是偶数B.a、b、c都是奇数C.a、b和c至少有两个偶数D.a、b、c都是奇数，或者至少有两个偶数(2)已知：AC 2 (b d)。验证：方程式x2 ax b=0和方程式x2 CX d=0中的一个或多个方程式具有实数根。解释 (1)自然数A、B、C的奇偶校验都有四个茄子的情况。3个都是奇数，1个是偶数2个奇数，2个是偶数1个奇数，3个是偶数，因此否定自然数A，B，C中正好是偶数的时候有正确的反转答案：d(2)证明：假设两个方程都没有实数根。 1

6、=a2-4b0和 2=C2-4d0、a2 c24 (b d)、a2 C2 2ac、结果是4 (b d) 2ac，即ac2 (b d)、由于已知的矛盾，原来的命题成立了。课堂提问通法反证法是利用原命题的否命题不成立的原则命题必须成立并证明的。使用反证法时，必须列出假说中与原命题不同的结论。没有任何可能性，反证法都不完全。(威廉莎士比亚，反证法，反证法，反证法，反证法，反证法，反证法，反证法)1.已知x-r、a=x2、b=2-x、c=x2-x 1、a、b、c中至少有一个必须为1。证明：假设A、B、C都小于1。也就是说，A 1、B 1、C 1、有A b c 3牙齿。相反，a b c=2x2-2x 3

7、=22 3 3，因为两者矛盾，所以假说不成立。因此，a，b，c中至少有一个必须等于或大于1。2.在二次函数f (x)=ax2 bx c (a 0)中，将a、b和c都设置为整数，将f(0)、f(1)设置为奇数。证明：假设方程式f (x)=0具有整数根k。Ak2 bk c=0。f(0)=c，f (1)=a b c都是奇数。a b是偶数，ak2 bk是奇数。当k为偶数时，产生k=2n(nz)，Ak2 bk=4n2a 2nb=2n (2na b)必须是偶数。Ak2 bk与奇数矛盾；当k为奇数时，生成k=2n 1(nz)，Ak2 bk=(2n 1) (2na a b)是奇数乘以偶数的矛盾，Ak2 bk是

8、奇数。综上所述，方程f (x)=0表示没有整数根。数学归纳法(1)数学归纳法在近几年高考试题中反映出来，结合数列、不等式，一般涉及通项公式的解法、相关等式、不等式的证明等，考试模式一般为“归纳3354猜想3354证明”。(2)数学归纳法是一种特殊的直接证明方法，在证明与正整数相关的数学命题时，它往往是非常有用的研究工具。使用时注意“归纳基础”和“归纳递归”两个步骤。1.定义：数学归纳法主要用于解决正整数相关的数学问题。证明的时候，它的两个阶段是不可缺少的，是渡边杏的。它的第一阶段(归纳的基础)n=n0时，结论成立。第二阶段(归纳递归)假设当n=k时结论成立，当n=k 1时结论成立。2.注意事项

9、：如果n=n0牙齿成立，就要明确命题的意义。假设n=k为成立证n=k 1时，必须推断细节，并使用n=k成立的结论。要注意从n=k到n=k 1增加的项目数。是 A0、f (x)=、a1=1、an 1=f (an)、N-N-N *。(1)写入a2、a3、a4的值，并推测序列an的一般公式。(2)用数学归纳法证明结论。分析(1)a2=f(a1)=f(1)=；a3=f(a2)=；A4=f (a3)=。猜测an=(nn *)。(2)证明：容易知道，n=1时推测正确。假设n=k(kn *)，猜测正确。Ak=、然后AK 1=f (AK)=。这表明当n=k 1时，猜测是正确的。根据，对于任何NNN *，an=

10、。课堂提问通法归纳-猜测-与证明相关的常见问题处理战略(1)与函数相关的证明：从已知条件验证前的几个茄子特殊值中正确地得出推测，充分利用已知条件，并用数学归纳法证明。(2)与数列相关的证据：在利用已知条件证明直接阻力时，可以考虑应用数学归纳法。1.设置系列an的前n项和Sn，并对所有自然数n计算(sn-1) 2=ansn，S1，S2，S3，从而推测sn=_ _ _ _解析：(S1-1) 2=从s取得：S1=；(S2-1) 2=(S2-S1)从S2获得：S2=；(S3-1) 2=(S3-S2)从S3取得：S3=。猜测sn=。回答：2.系列an的前n个条目和sn=(nn *)，a2=2。(1) a

11、n的前三个茄子a1、a2、a3；(2)推测和证明an的一般公式。解决方案：(1) sn=收入a1=1，a2=2，a3=3。(2)推测：an=n。证明如下：当n=1时，猜测成立。假设n=k (k 2)时推测成立。也就是说，AK=k，那么，当n=k 1时，AK 1=sk 1-sk=-=-。所以AK 1=-=k 1，所以如果n=k 1，那么猜测也成立。根据，对于任意NNN *，都有an=n牙齿。1.用反证法证明命题：“三角形的三个内阁中至少有一个在60以下”的情况下，必须假设()A.所有三个内部角度都不大于60B.所有三个内部角度都大于60C.三个内部角度中最大的一个大于60。D.三个内部角度中最多

12、有两个大于60。解决方法：如果选择B，则假定结论不成立。也就是说，“三角形的三个内部角中至少有一个不大于60”的否定假设“三个内部角都大于60”，因此选择B。2.三角形可以分成两个和自己相似的三角形，那三角形必须是()A.锐角三角形b .钝角三角形C.直角三角形d .不确定解决方案：如果选择C直角三角形斜边上的高度，直角三角形将分为两个直角三角形，由于两个牙齿直角三角形与原始三角形相似，因此请选择C .证明：a2 B2-1-a2 B2 0，只要证明()A.2a B- 1-a2 B20B.a2 B2-1-0C.-1-a2 B20D.(a2-1) (B2-1) 0解决方法：选择D。A2 B2-1-

13、A2 B20(A2-1)(B2-1)0。所以d .4.以反增法表示的命题“已知的a(2-b，C(0，2)，A (2-B)，B (2-C)，C (2-A)不能全部大于1”A.假设a (2-b)、b (2-c)和c (2-a)都小于1B.假设a (2-b)、b (2-c)、c (2-a)都大于1假设C(2-a (2-b)、b (2-c)、C(2-a)都不大于1D.以上一切都是错误的。分析：B半说是否定的结论，原来命题的结论都不大于1，所以否定都大于1。因此选择B。5.将a，b设置为两个实数，并提供以下条件：a B1；a b=2；a B2；a2 b22；ab1。其中，“A，B中至少有一个大于1”的条

14、件为()A.b .C. D. 解决方案：选择c a=、b=、a B1、但是a1，B1，所以不能推；如果A=b=1，则a b=2，因此不能推。如果A=-2，b=-3，那么a=-2 b22，不能推出。如果A=-2，b=-3，那么就是ab1，所以不能拿出来。也就是说，对于A B2，A，B中至少有一个大于1。反证法：假设a1和b1，a B2与a B2矛盾。因此，假设不成立。a，B中至少有一个大于1。6.已知c 1，a=-，b=-，正确的结论是()A.a b b.a bC.a=b D. a，b大小关系不统一分析：选择b假设ab，即-， 2以上，平方是2c 2 4c，2c2，c，即C2C2-1，0 -1，

15、这是不可能的，因为假设不成立，所以a B7.已知函数f (x)=x、a、br、a=f、b=f()，如果c=f，则a、b、c的大小关系为_ _分析：f (x)=x是r中单调的减法函数，f()f()f，即ABC BC答案：ABC8.用数学归纳法证明：(n=k+1) (n 2).(n n)=(nn *)的第二步中，当n=k 1时，等式左边和n解决方案：如果n=k 1，则左侧=(k 2)(k 3)(2k 2)；如果N=k，则左侧=(k 1) (k 2) 2k，差值为(2k 1) (2k 2)-(k 1)答案：3k 29.直线ax 2by-2=0 (a 0，b 0)如果牙齿始终平分圆x2 y2-4x-2

16、y-8=0的周长，则的最小值为_ _解决方案：如果已知线通过中心(2，1)，则a b=1，因此=(a b)=3 3 2。答案：3 210.如果a、b、c都是实数，则至少有一个a=x2-2y、b=y2-2z、c=z2-2x、验证：a、b、c大于0证明：假设A，B，C都不大于0。即a0、b0、c0。A b c 0。相反，a b c=x2-2y y2-2 z z2-2x=(x-1)2(y-1)2(z-1)2-3 0和(x-1) 2 (y-1) 2 (z-1) 2 0，a b c 0，这与a b c0矛盾。因此，a、b、c中至少有一个大于0。11.每个项目为正数的数列an满足a1=1，a-a-a=2。(1)求序列an的一般公式。(2)验证：对所有NNN *稳定成立。解决方案：(1)a-a=2，栏a是第一个项目为1、公差为2的等差栏，a=1(n-1)2=2n-1，an0、an=。(2)证明：(1)知道，即证据1. n=1时左=1，右=1，因此不等式成立。N=2时左右，所以不等式成立。假设n=k (k 2，kn *)时不等式成立。也就是说1.是。N=k 1时，左侧=1.=。所以当n=k 1时，不等式成立。知道所有NNN *不等式的建立是稳定的。12.已知函数f(x)=x2-ax ln(x 1)(a-r)。(1)当a=2时，求出