2018年高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 2.8 函数与方程学案 理

1、2.8函数和方程考试展示1.基于二次函数的图像，我们知道了函数零点与方程根的关系，并判断了一元二次方程根的存在性和根的个数。2.根据特定函数的图像，可以通过二分法得到相应方程的近似解。测试中心1功能零点所在区间的判断1.函数零的定义关于函数y=f (x)，使_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _成立的实数x称为函数y=f (x)的零点。答案：f (x)=02.几个等价关系等式f (x)=0实根函数为y=f (x)的图像与_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _相交。答案：X轴零点3.函数零点的判定(零点存在定理)如果函数y=f (x)在区间a，b中

2、的图像是一条具有_ _ _ _ _ _ _ _的连续曲线，那么函数y=f (x)在区间_ _ _ _ _ _ _ _中有零点，即有c(a，b)，这使得u答：f(a)f(b)0 (a，b) F (c)=0 C。4.二分法的定义对于在区间a，b中连续的函数y=f(x)，通过不断地取函数f(x)的零点所在的区间，使区间的两个端点逐渐接近零点，得到零点近似值的方法称为二分法。答：f(a)f(b)0分为二函数零点的误解：零点的概念；零的数量。(1)函数的零点是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

3、 _ _ _ _ _ _ _。答：(1)交点的横坐标解析：函数的零点不是图像和X轴的交点，而是图像和X轴交点的横坐标，也就是说，函数的零点不是一个点，而是一个实数。(2)如果连续图像函数Y=F (x)在区间(a，b)中是单调的，并且F (a) F (b)是0，那么函数Y=F (x)在区间(a，b)中有零点。回答：独特分析：根据零点存在定理，函数y=f (x)在区间(a，b)中有零点，然后根据单调性，零点是唯一的。二次函数的零点。(1)二次函数f (x)=ax2 bx c (a 0)有一个正零和一个负零，当且仅当_ _ _ _ _ _ _ _ _。回答：ac0解析：根据数和形的组合，二次函数f

4、(x)=ax2 bx c (a 0)有一个正零点和一个负零点，当且仅当af(0)0，即ac0。(2)如果函数y=(k-8) x2 x 1最多有一个零点，那么k的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _。回答：分析：该函数最多有一个零点，那么：当k=8时，让x 1=0，即x=-1，并且有一个零点，这符合问题的含义；当k8时，设=1-4 (k-8) 0，求解k。因此，k的取值范围是。题目1 (1)2017湖北四中七校联考函数f (x)= x log2x的零点在区间()A.B华盛顿特区回答答resolution f=log2=-20，f=-10，即ff0，所以世界上至少有一个零。因此，选择一个.(2

5、)2017浙江温州模拟如图所示是二次函数f (x)=x2-bx的部分图像，函数g(x)=ex f(x)的零点的近似区间是()A.(-1，0)B.(0，1)C.(1，2)D.(2，3)回答乙分辨率从图像中，你知道1，得到10。因此，g(0)g(1)0。乙.(3)2017浙江嘉兴仿真让函数y=x3和y=x-2的图像的交点为(x0，y0)。如果x0(n，N 1)，nN，则x0的间隔为_ _ _ _ _ _ _ _ _。答案 (1，2)resolution如果f(x)=x3-x-2，x0是函数f(x)的零点，函数y=x3和y=x-2的图像绘制在同一坐标系中，如图所示。因为f (1)=1-1=-10，f

6、(2)=8-0=70，因此，f(1)f(2)0，所以x0(1，2)。确定函数f(x)零点区间的两种常用方法(1)定义方法：利用零点存在定理，函数y=f (x)在区间a，b内必须是连续的。当f(a)f(b)0时，函数在区间(a，b)中至少有一个零。(2)镜像法：如果一个函数(或方程)是由两个初等函数的和(或差)组成，可以用镜像法求解，如f(x)=g (x)-h (x)，并作出y=g (x)和y=h (x)的镜像，交点的横坐标为函数f(x)测试点2判断函数的零点数量(1)课本习题改编f的零数(2)课本习题改编用“二分法”求区间2，3中方程x3-2x-5=0的实根，取区间的中点为x0=2.5，则下一

7、个有根区间为_ _ _ _ _ _ _ _。答案：2，2.5判断函数零点个数的方法：直接求零点；零点存在定理：图像交点的数目。(1)如果函数f (x)=ax b的零是2，那么函数g (x)=bx2-ax的零是_ _ _ _ _ _。回答：0，-分析：因为2a b=0，g(x)=-2 x2-ax=-ax(2x 1)，所以0和-。(2)给定三个区间，函数f (x)=x ln x的零点位于区间_ _ _ _ _ _ _ _ _。回答：解析：当x从1趋近于0时，ln x趋近于负无穷大，所以f(x)趋近于负无穷大，而f=ln=-1 0，f=ln=-2 0，所以函数零点的区间为。标题2(1)合肥模拟，安徽

8、，2017如果偶数函数f(x)满足f (x-1)=f (x 1)，并且如果xn0，1，f (x)=x2，那么方程f (x)=x上的根数A.1B.2C.3D.4答案 C因为f(x)是一个偶函数，当x -1，0，-x 0，1时，因此，f (-x)=x2，即f (x)=x2。f (x-1)=f (x 1)，因此，f(x 2)=f (x 1) 1=f (x 1)-1=f (x)，因此f(x)是周期为2的周期函数，函数y=f (x)和y=f(x)的图像在同一坐标系中生成，如图所示。两个图像之间有三个交叉点，由数字和形状组合而成，所以方程f (x)=x有三个根，所以c .(2)2017湖南衡阳模拟函数f(

9、x)的值域为-1，1，图像如图1所示；函数g(x)的定义域是-2，2，图像如图2所示。方程f (g (x)=0有m个实根，方程g (f (x)=0有n个实根，那么m n=()A.14B.12C.10D.8回答答分析从标题图，如果f (g (x)=0，那么g (x)=1或g (x)=0或g(x)=1，从标题图，当g(x)=1，x=-1或x=1；G (x)=0对应三个x值；G (x)=1，x=2或x=-2，因此m=7。如果g (f (x)=0，则f (x)=-1.5或f (x)=1.5或f (x)=0，从标题图可知。判断函数零点个数的三种方法(1)方程求解方法：如果相应的方程f (x)=0可以求解

10、，则通过求解方程，几个解会有几个零点。(2)零点存在定理方法：利用该定理，我们不仅要判断函数是一条连续曲线，且f(a)f(b)0在区间a，b内，还要结合函数的像和性质(如单调性、奇偶性、周期性和对称性)来确定函数有多少零点。(3)数形结合法：将图像的相交数转化为两个函数的问题。首先，画出两个函数的图像，看相交数，其中相交数是函数的零点数。1.函数f (x)=log2 (x 4)-3x的零点数是()A.0B.1C.2D.3回答：c。分析：在同一坐标系中，画出函数y=3x，函数y=log2 (x 4)的图像，那么图像的交点数就是函数f (x)=log2 (x 4)-3x的零点数。从图像来看，函数图

11、像有两个交点，所以函数的零点是两个，所以c .2.如果f (x)=f (0)=-2和f (-1)=1，函数g (x)=f (x) x的零点数为_ _ _ _ _ _ _ _。回答：3分析：根据问题的意思从这个解决方案中，G (x)=0给出f (x) x=0，相当于或溶液x=2，溶液x=-1或x=-2。因此，函数g (x)=f (x) x的零点数是3。测试点3函数零点的应用标题3众所周知，函数f (x)=如果函数g (x)=f (x)-m有三个零，实数m的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _。答案 (0，1)解析函数g (x)=f (x)-m有三个零，三个根转换成f (x)-m=0，然后

12、转换成y=f (x)，以及y=m的三个交点.画一个函数y=f (x)的图像，然后直线y=m有三个公共点。抛物线的顶点是(-1，1)。从图中可以看出，实数m的取值范围是(0，1)。化石为金当函数有零点(方程有根)时，常用三种方法来确定参数范围(1)直接法：根据题目的条件直接构造参数的不等式，然后通过求解不等式确定参数的取值范围。(2)参数分离方法：首先将参数分离并转化为寻找待求解函数值域的问题。(3)数形结合法：首先对解析公式进行变形，在同一平面直角坐标系中绘制函数图像，然后求解数形结合。假设函数f (x)=如果函数g (x)=f (x) x-m有零点，那么实数m的取值范围是f(x)=A.0，1

13、B.(-，1)C.(-，0(1，+)D.(-，1(2，+)回答：c。分析：函数g (x)=f (x) x-m的零点是方程f (x) x=m的根，h (x)=的图像如图所示。观察它与直线y=m的交点，我们知道当m0或m1时有一个交点，即实数m与函数g (x)=f (x) x-m的零点的值域为(-，0(1，)。测试点4处二次函数的零点问题二次函数y=ax2 bx c (A0)的像与零点的关系0=00图像和x轴的交集_没有交叉点零的数量_答案是：(x1，0)，(x2，0) (x1，0) 2 1 0标题4已知函数f (x)=x2 ax 2，a r(1)如果不等式f(x)0的解集是1，2，求不等式f (

14、x) 1-x2的解集；(2)如果函数g (x)=f (x) x2 1在区间(1，2)中有两个不同的零，它就是实数a的取值范围.解 (1)因为不等式f(x)0的解集是1，2，因此，a=-3，f (x)=x2-3x 2。当f (x) 1-x2时，得到2x2-3x 1 0。解是x或x1。因此，不等式f (x) 1-x2的解集是。(2)函数g (x)=2x2 ax 3在区间(1，2)中有两个不同的零，那么也就是说，-5 a -2。因此，实数A的范围是(-5，-2)。解决与二次函数相关的零点问题(1)可以使用二次方程的根公式；(2)可以使用一元二次方程的判别式和根与系数的关系；(3)利用二次函数的图像序列不等式。众所周知，f (x)=x2 (a2-1) x (a-2)的零点大于1，零点小于1，这是实数的取值范围。解：解1:让方程x2 (a2-1) x (a-2)=0为x1，x2(当x12，g (x)=x b-4，f(x)=x-2)2；当0x2时，G (x