2018版高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1 命题及其关系 1.1.1 命题学案 新人教A版选修2-1

1、1.1.1生活问题学习目标：1 .理解命题的概念；2.判断命题是真还是假；3.理解命题的构成，将命题改写成“如果P，那么Q”的形式。知识点命题的概念思维1在初中，我们已经学会了命题的定义。它的内容是什么？对事物做出正确或错误判断的句子叫做命题。思维2根据以上命题的定义，判断下列哪些陈述是命题，哪些不是命题。(1)三角形外角之和为360 ;连接点甲和点乙；计算3-2的值；通过点a作为直线l的垂线；在三角形中，大边必须相对的角度也大吗？根据命题的定义，只有是一个命题，其他的陈述不是命题。梳理(1)命题的概念：在数学中，我们称用语言、符号或公式表达的陈述句为判断句。(2)命题的定义有两个关键点：“我

2、们可以判断它是真是假”和“陈述句”。我们所研究的定理和推论都是命题。(3)分类命题两个知识点命题的结构思考1在初中学习命题定义的基础上，你还知道什么关于命题的知识？答案命题由两部分组成：假设和结论。假设是已知的物质，结论是从已知物质推导出来的物质。这个命题通常可以写成“如果那么”的形式，接着是假设，然后是结论。思考2完成下列问题：(1)“等角的余角相等”命题：该命题为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。(2)“实数的平方是非负的”命题可以改为“如果”。回答(1)等角的余角相等(2)一个数是实数，它的平方是非负数。梳理(1)命题的一般形式是“如果p，那么q”，其中p称为命

3、题的条件，q称为命题的结论。(2)当确定一个命题的条件和结论时，该命题经常被改写为“如果P，那么Q”。第一类命题的判断例1 (1)下面的陈述是一个命题()A.x-1=0 B.2+3=8C.你会说英语吗？这是一棵大树(2)下列陈述是带有_ _ _ _ _ _的命题。(1)一个数是正的或负的；(2)梯形是平面图形吗？22 015是一个大数字；4是集合2，3，4中的一个元素；制作ABCabc。回答(1)B (2)分析(1)A中的X是不确定的，不能判断X-1=0的真值；B中的2 3=8是一个命题和一个假命题；c不是陈述句，所以它不是命题；D中“大”的标准是不确定的，不可能判断它是真是假。(2) (1)

4、它是一个陈述句，可以判断它是真是假；2不是陈述句；3不能判断它是真是假；4是陈述句，可以判断它是真是假；不是陈述句。反思和感知是判断一个陈述是否是命题的三个关键点(1)一般来说，陈述句是命题，而祈使句、疑问句和感叹句不是命题。(2)语句的结构可以判断它是真还是假，意义是模糊的。不能判断其真假的陈述不是命题。(3)对于包含变量的语句，我们应该注意变量的取值范围，看能否判断它是真还是假。如果是这样，这是一个命题；否则，它就不是一个命题。跟踪培训1给出了以下陈述，其中_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _不是一个命题。(1)是无限循环小数；x2-3x+2=0；当x=4，2x0；两条垂直于同一条直

5、线的直线一定平行吗？一个数不是奇数就是偶数；2030年6月1日上海将会下雨。回答 解析 不是一个命题，因为这个陈述不能判断它是对还是错；是一个问题，所以不是一个命题。第二类命题的真假判断例2给出了以下命题：(1)如果ab，2a2b；2“如果甲和乙是无理数，那么甲和乙是无理数”的命题是真命题；直线x=是函数y=sin x的对称轴；在ABC中，1.在这个例子中，命题变成：如果0，ABC是一个锐角三角形，这个命题成立吗？解决方案不是一个真正的命题。0只能表明B是锐角，其他两个角度不确定。只有当三个角都是锐角时，这个三角形才能被判断为锐角三角形。2.本例中的命题改为：如果=0，ABC为三角形。答案是正

6、确的解析结果是从=0b=90，所以三角形是直角三角形。一个命题的内省和理解不是对就是错，它必须是其中之一。要判断一个命题为真，我们需要证明，而要判断一个命题为假，我们只需要举一个反例。跟踪培训2下列命题中的错误命题数为()(1)多边形的外角与边数有关；如果数量积AB=0，则向量A=0或B=0；二次方程a2x2 2x-1=0有两个不等的实根；如果函数f(x)在区间a，b中为零，则f(a)f(b)0。a1 b . 2 c . 3d . 4答案三因为=4 4a20，是正确的，而 是错误的，所以可以引用反例。第三类命题的结构形式解读例3以“如果P，那么Q”的形式写出下列命题。(1)最后一位是0或5的整

7、数，可以被5整除；(2)方程x2-x 1=0有两个实根。解(1)如果一个整数的最后一位是0或5，这个数可以被5整除。(2)如果一个方程是x2-x 1=0，那么它有两个实根。把命题改写成“如果p，那么q”形式的关键是找到条件“p”和结论“q”。在一些命题的陈述中，条件和结论不是很清楚，但是我们可以把它们改写成清楚的条件和结论的形式，这就要求我们区分一个命题的条件和结论是什么。追踪训练3将下列命题改写成“如果p，那么q”的形式，并判断它们是对还是错。(1)正n多边形(n3)的n个内角都相等；(2)负数的立方是负数；(3)已知x和y是正整数。当y=x-5，y=-3，x=2时。解(1)如果一个多边形是

8、正N边，那么正N边的N个内角都相等，这是一个真正的命题。(2)如果一个数是负的，这个数的立方就是负的，这是一个真正的命题。(3)已知x和y是正整数。如果y=x-5，那么y=-3，x=2。这是一个错误的提议。1.“垂直于同一条直线的两个平面是平行的”这个命题是以()为条件的A.两架飞机B.直线C.垂直的D.两个平面垂直于同一条直线答案D由分析给出的命题可以改为“如果两个平面垂直于同一条直线，那么它们就互相平行”，所以d .2.下列命题是真实命题()A.如果是ab，那么B.如果B2=交流电，那么甲、乙、丙就成了几何级数C.如果|x|b和ab0，得到；选项b，使a=b=c=0，这显然不是几何级数；选

9、项d，如果a=B0，结论显然是无效的，所以选择c .3.“关于X，方程AX2 2x 1=0有两个不等的实数解”的命题成立，那么实数A的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。答案是(-，0)(0，1)根据主题进行分析和了解因此，a的取值范围是(-，0)(0，1)。4.“函数y=log2 (x2-MX 4)的值域为R”的命题成立，那么实数m的值域为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。答案是(-，-4；4，)根据问题的含义，当条件满足时，要求方程x2-MX 4=0的判别式 0，即，(-m) 2-44 0，解为m4或m4。5.命题：3Mx2 MX 1

10、0是一个真命题，它是现实数m的值域.“3Mx2 MX 10”的解决方案是一个真实的命题，需要分类讨论。当m=0时，10是常数，所以m=0满足这个问题；当m0和=m2-12m0时，也就是说，00被建立，所以00D.梯形是平面图形吗？回答乙2.下列命题中的假命题是()A.如果ab=0 (a 0，b0)，则abB.如果| a |=| b |，则a=bC.如果ac2bc2，则abD.53回答乙当| a |=| b |成立时，a和b不一定相等，所以选项b是错误的。3.已知、和是三个不同的平面，命题“， ”是正确的。如果、和中的任意两个被直线代替，那么真正的命题是()A.0 B.1 C.2 D.3答案三当

11、和变为直线a和b时，命题可改写为“ab，A B ”。从直线垂直于平面的判断定理来看，这个命题是正确的。当和被直线a和b代替时，命题可以改写为“a，A BB ”，从而判断直线与平面之间的位置关系，这显然是错误的；如果用直线a和b代替和，命题可以改写为“a，B A B”，这显然是成立的。4.如果下面的命题是真的，那就是()A.如果ab=0，a2 B2=0B.if ab，acbcC.如果MN=M，那么MN=MD.如果Mn，那么mn=m答案D在分析A中，当A=0而b0时，A2 B2=0无效。在b中，c0无效；在c语言中，mn=m表示Mn，所以a、b和c都是错的。5.众所周知，a和b是两条不同的直线，和

12、是两个不同的平面，而a，b，那么下列命题中的假命题就是()A.如果ab，那么B.如果 ，那么A B。C.如果a和b相交，那么和相交D.如果和相交，那么A和B相交答案D如果和在解析D中相交，A和B可以相交或在平面外。6.对于任何平面向量A，B，下面的关系是()A.| ab | a | | b | b . | a-b | a |-| b | |C.(a+b)2=|a+b|2 D.(a+b)(a-b)=a2-b2回答乙解析地说，让向量A和B之间的角度为，因为AB=| A | | B |陪，| AB |=| A | | B | |陪 | | A | | B |，A成立；根据向量的算术定律，很容易知道C

13、和D成立，所以b .7.“AX2-2AX 30总是成立的”命题是一个假命题，所以实数A的取值范围是()a0或a3 B.a0或a3C.a0或a3 D.00是一个真实的命题。当A=0时，30符合问题的含义。当a0，a0和 0，且解为00。因此，当a0或a3时，命题AX2-2ax 30为假命题。8.众所周知，命题“直线L与平面有一个公共点”是一个真实的命题，所以下面的命题：(1)直线l上的所有点都在平面中；直线L上的某些点不在平面内；平面上的任何直线都不平行于直线L1 .真实命题的数量是()a3 b . 2 c . 1d . 0答案D解析直线l与平面有一个公共点，则直线l与平面相交或直线l在平面内，

14、所以可以判断 是假命题，所以d .第二，填空9.“函数Y=2x 1是递增函数”的命题是以_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _为条件的。答案函数是y=2x 1，这是递增函数10.以下主张：(1)面积相等的三角形是全等三角形；如果xy=0，| x | | y |=0；如果ab，ac2bc2；矩形的对角线相互垂直。虚假命题的数量是_ _ _ _ _ _ _ _。回答4解析等底等高的三角形是等面积的三角形，但不一定全等；当x和y之一为零而另一个不为零时，| x | | y |0；C=0时不成立；矩形的对角线不一定垂直。11.如果函数f (x)=

15、| 2x-2 |-b有两个零，实数b的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _。答案(0，2)解析函数f (x)=| 2x-2 |-b有两个零，相当于函数y=| 2x-2 |，图像y=b有两个不同的交点。函数y=| 2x-2 |和y=b的图像是在同一坐标系中生成的，如图所示。从图中可以看出b(0，2)。第三，回答问题12.将下列命题改写成“如果p，那么q”的形式，并判断这些命题是真还是假。(1)当acbc，ab；(2)当m，mx2-x 1=0时没有实根；(3)当ab=0时，a=0或b=0。解决方案(1)如果是acbc，则为ab。* acbc，c0，a，mx2-x 1=0没有实数根。=1-4m 0，这个命题是真的。(3)如果ab=0，那么a=0或b=0，命题为真。13.(1)已知“方程AX2 BX 1=0有解”是一个真命题，并得到了A和B满足的条件；(2)假设命题“如果x1”是一个假命题，找出A满足的条件。(1)因为ax2 bx 1=0有解。因此，当a=0时，bx 1=0有解，并且只有当b0时，这个方程有一个解x=-。当a0时，方程是二次方程。如果=B2-4a 0，则有一个解。综上所述，当a=0，b0或a0时，B2-4a 0，方程ax2 bx 1=0有一个解